《配方法(2)》名师教案.doc

21.2.1 配方法解一元二次方程（王鹏鹏）第二课时一、教学目标（一）学习目标1.进一步理解配方法和配方的目的.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.（二）学习重点用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程.（三）学习难点配方法的综合应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为1：两边同除以 二次项的系数 ；（2）移项：将含有的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；（3）配方：方程两边同时加上一次项系数 一半的平方 ；（4）将原方程变成的形式；（5）判断右边代数式的符号，若，可以直接开方求解；若原方程无解.2.预习自测（1）【知识点】配方法【思路点拨】常数项是一次项系数一半的平方.【解题过程】【答案】（2） 【知识点】配方法【思路点拨】常数项是一次项系数的一半的平方.【解题过程】【答案】(3) 【知识点】配方法【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方.【解题过程】【答案】(4)【知识点】配方法【思路点拨】先将二次项系数提出来，再按照二次项系数为1的进行配方.【解题过程】【答案】(二)课堂设计1.知识回顾(1).根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx + n）2=p（p0）的一元二次方程.(2).用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.(3).在用方程解决实际问题时，方程的根不一定全是实际问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.2.问题探究探究一：配方法解一元二次方程的规律活动 以旧引新(1)能用上节课学过的二次项系数为1的二次三项式的配方法将问题（1）解决吗？学生答：常数项等于一次项系数的一半的平方，是，所以结果为：老师问：根据二次项系数为1的二次三项式的配方法，小组讨论一下我们怎么将系数不为1的二次三项式配方？学生答：先将二次项的系数提出来，将括号内的二次三项式的二次项系数化为1.再按照二次项系数为1的二次三项式的配方法进行配方.那我们请一位同学给大家演示一下.(2)解：【设计意图】由二次项系数为1的二次三项式配方得出二次项系数不为1的二次三项式配方的方法.活动 大胆猜想，探究新知那我们试着解一下方程：（3）有的学生采用的方法（一）： 有的学生采用方法（二）： 比较两种方法哪种更简单【设计意图】问题（3）学生联想、尝试、对比在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锻炼了学生的思维能力.通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想重要意义.活动 集思广益，归纳方法用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；（2）移项：将含有的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）将原方程变成的形式；（5）判断右边代数式的符号，若，可以直接开方求解；若原方程无解.【设计意图】体会数学思想方法在数学中的地位和作用探究二 利用配方法解一元二次方程. 活动 配方法的练习例1已知，求的值.【知识点】 配方法【解题过程】 【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方.【答案】 （1）18，2，3【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.练习1.已知，求的值.【知识点】 配方法【解题过程】【思路点拨】将二次项系数不为1的二次三项式配成完全平方式，先将二次项系数提出来，括号内部分再按照常数项为一次项系数一半的平方.【答案】 （1）-4，-1，2【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.例2. 二次三项式的值（ ）A.小于1 B.大于1 C.大于等于1 D.不大于1【知识点】 配方法【解题过程】【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值.【答案】 C练习2. 已知代数式是完全平方式，则等于（ ）A.12 B. C.24 D.【知识点】 完全平方式【解题过程】【思路点拨】根据，一次项的系数等于2倍系数乘积.【答案】 D【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.活动 利用配方法解一元二次方程例3 . 用配方法解方程：【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】解：【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成的形式，直接开方法求解.【答案】 【设计意图】感受配方法解系数不为1的一元二次方程的本质.练习3.用配方法解方程：【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】【思路点拨】将二次项系数不为1的一元二次方程两边同除以二次项系数，化成二次项系数为1的一元二次方程，再将方程化成的形式，直接开方法求解.【答案】 【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.例4.在方程的两边同时加上4，用配方法可求得实数解的方程是（ ）A. B. C. D. 【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】，无实数解；，有实数解，但方程两边同时加上的数不是4；有实数，且方程两边同时加上的数是4；，无实数解.【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成的形式.若，则有实数解.同时注意所加的数是否是4.【答案】C 练习4.下列配方有错误的是（ ）【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成的形式.【答案】D 【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，让学生用类比的方法解决问题.活动 综合应用例5. 若代数式，则的值是 .【知识点】 二次项系数不为1的配方法【解题过程】【思路点拨】将方程化成的形式.【答案】-3 【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.练习5. 已知实数满足，求的值.【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】【思路点拨】将方程化成的形式.【答案】 【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.3. 课堂总结知识梳理用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化为的形式；2.把常数项移到方程右边；3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；5.原方程变形为（x+m）2=n的形式；6.若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.重难点归纳1.用配方法解一元二次方程的一般步骤:1）一化：化二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；x2+x+=02）二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；x2+x=3）三配：配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x2+x+()2 =+()2的形式；方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；4）四解：用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数，否则原方程无解；x+= 分别解这两个一元一次方程，求出两根；2.配方法的理论依据是完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)23.配方法解方程的步骤可以灵活运用，有时可不必将二次项系数化为1，而是将方程配成（mx+n）2=n的形式，再直接开平方降次求解.4.一元二次方程的配方是两边同时除以a，而二次三项式的配方是提取a，要注意区别.（三）课后作业基础型 自主突破1下列方程中，一定有实数解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D【知识点】直接开方法判断有无实数解.【解题过程】【思路点拨】原方程变形为（x+m）2=n的形式；若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.【答案】B2将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3 B、（x+2）2-4 C、（x+2）2-5 D、（x+2）2+4 【知识点】配方法的应用【解题过程】解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=(x+2)2-5【思路点拨】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算【答案】C3. 用配方法解一元二次方程3x2+4x+1=0的第一步是把方程的两边同时除以【知识点】解一元二次方程-配方法【解题过程】解：3x2+4x+1=0，方程两边同时除以3得：x2x=0，则此方程用配方法解时的第一步是把方程的两边同时除以3【思路点拨】配方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后在方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解【答案】-34. 用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0，变形为（x+h）2=k，则h=，k=【知识点】解一元二次方程-配方法【解题过程】解：原方程可以化为：，移项，得x2+x=，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+x+=+，配方，得比较对应系数，有：；【思路点拨】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方【答案】故答案是：、5. 用配方法解一元二次方程4x21=12x【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】解：4x21=12x，4x212x=1，x23x=，x23x+=+，（x）2=，x=，x1=，x2=；【思路点拨】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【答案】x1=，x2=；6.用配方法解下列关于x的一元二次方程：9x212x=1【知识点】解一元二次方程-配方法【解题过程】解：方程变形得：x2x=，配方得：x2x+，即（x）2=，开方得：x，解得：x1=，x2=【思路点拨】方程变形后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解【答案】x1=，x2=能力型 师生共研7.用配方法解方程：【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】【思路点拨】先将方程化成一般形式，然后再用配方法解一元二次方程.【答案】8.求 的最小值 .【知识点】配方法【解题过程】【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值.【答案】探究型 多维突破9. 求代数式的最大值.【知识点】配方法求最值【解题过程】解：原式=【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值.【答案】10. 用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0【知识点】解一元二次方程-配方法.【解题过程】解：关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，a0由原方程，得x2+x=，等式的两边都加上，得x2+x+=+，配方，得（x+）2=，当b24ac0时，开方，得：x+=，解得x1=，x2=，当b24ac=0时，解得：x1=x2=；当b24ac0时，原方程无实数根【思路点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方.【答案】当b24ac0时，x1=，x2=，当b24ac=0时，x1=x2=；当b24ac0时，原方程无实数根自助餐1.已知关于的方程的一个解为，求方程的另一个解.【知识点】方程的根、配方法解一元二次方程【解题过程】把代入一元二次方程中可求出，原方程为【思路点拨】将方程的解代入原方程，求出待定系数。然后再用配方法解一元二次方程.【答案】另一个根是22.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-2【知识点】配方法解方程【解题过程】【思路点拨】将方程化成的形式.【答案】23试说明：不论x、y取何值，代数式4x2+y2-4x+6y+11的值总是正数.你能求出当x、y取何值