小波与多分辨分析.ppt

数字信号处理(DigitalSignalProcessing),信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地,信号时频分析,问题的提出短时傅里叶变换小波展开与小波变换小波变换与多分辨分析小波变换与滤波器组基于小波的信号处理及应用,为了从数学概念和工程概念上更好地理解小波分析，将通过多分辨率的概念来阐述小波理论。,尺度函数(scalingfunction)f(t),多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA),小波函数(waveletfunction)y(t),小波变换与多分辨分析,定义:多分辨分析(Multi-ResolutionAnalysis，MRA),1)存在一组嵌套的子空间，满足,2)尺度不变性x(t)Vjx(2t)Vj+1,3)位移不变性x(t)V0x(t-k)V0,4)存在尺度函数(scalingfunction)f(t)，使得f(t-k)；kZ是V0的一个规范正交基。,由以上性质可得：fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ是Vj规范正交基,尺度函数与多分辨分析,多分辨分析空间嵌套关系示意图,尺度函数与多分辨分析,例：Haar多分辨分析(分段常数函数构成的MRA),V0:在区间上k,k+1),kZ分段常数函数构成的构成的空间V1:在区间上k/2,(k+1)/2),kZ分段常数函数构成的构成的空间V2:在区间上k/22,(k+1)/22),kZ分段常数函数构成的构成的空间Vj:在区间上k/2j,(k+1)/2j),kZ分段常数函数构成的构成的空间,V0的一个规范正交基为fH(t-k)；kZ为,称fH(t)为Haar尺度函数。,fj,k(t)=2j/2f(2jt-k)；kZ是Vj规范正交基,尺度函数与多分辨分析,信号在嵌套子空间Vj中的正交投影：,对任意x(t)L2，由于f1,k(t)=21/2f(2t-k)；kZ是V1规范正交基，所以x(t)在V1中的正交投影可表示为,一般地，x(t)在Vj中的正交投影可表示为,例：Haar多分辨分析,函数x(t)在子空间V0和V1在的正交投影,h0n:尺度函数系数(scalingfunctioncoefficient)，也称为尺度滤波器(scalingfilter)。,尺度函数f(t)的MRA方程,尺度函数与多分辨分析,f(t)V0,f(t)V1,由f1,k(t)kZ的正交性可得,scalingequationdilationequationrefinementequation,例：试求Haar多分辨分析系统中的h0k。,解：,小波函数与正交补空间,由于V0V1，定义空间V0在V1中的正交补空间为W0，即V1=V0W0,对给定的多分辨分析系统，则存在小波函数y(t)，使得y(t-k);kZ是W0的正交基。,一般地，空间Vj在Vj+1中的正交补空间为Wj，即Vj+1=VjWjyj,k(t)=2j/2y(2jt-k)；kZ是Wj的正交基。,例：试求Haar多分辨分析中的小波函数yH(t)。,解：由定义可知V1=W0V0所以yH(t)V1，即yH(t)在区间0,1/2，1/2,1必须是常数。又由于yH(t)必须与V0正交，所以yH(t)的一个解为,小波函数与正交补空间,小波函数y(t)的MRA方程,V1=W0V0,W0V1,y(t)W0V1,y(t)可用V1空间的正交基f1,k(t);kZ表示为,h1k称为小波函数系数(waveletfunctioncoefficient)。,由f1,k(t)kZ的正交性可得,例：试求Haar多分辨分析系统中的h1k。,解：,h0k与h1k的关系为,小波函数与正交补空间,离散小波变换,若x(t)V2，则有V2=W1V1=W1W0V0所以f0,k(t)，y0,k(t)，y1,k(t);kZ构成了空间V2的一个正交基，x(t)可表示为,小波函数与正交补空间,离散小