概率论与数理统计第3章.ppt

第3章多维随机向量及其概率分布,3.1随机向量及其联合分布函数,3.3随机向量的独立性,3.2二维离散型和连续型随机向量,3.4随机向量的函数及其概率分布,3.1随机向量及其联合分布函数,一、多维随机向量,以后除非特别声明，一般只讨论二维随机向量,同样，从右边的图中，不难得到,实例1炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).,说明,实例3,X,Y,Z都是随机变量，则称(X,Y,Z)是三维随机向量.,在三维空间中，飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标X,Y,Z）来确定的.,二、随机向量联合分布函数的性质,不难验证其具有如下性质,定义2.,三、随机向量的边缘分布函数,设,边缘分布函数也称为边际分布函数或边沿分布函数,3.2二维随机离散型和连续型随机向量1,为讨论方便，仍然只分离散型和连续型两大类,一、二维离散型随机向量的联合概率分布,定义1.若随机变量X和Y的所有可能取值为有限个或可列个，则称(X,Y)为二维离散型随机向量.,设X的所有可能取值为,Y的所有可能取值为,则称,为二维随机向量(X,Y)的联合概率函数或联合概率分布,联合概率函数的表格形式，称为(X,Y)的联合分布律或联合分布列,二维离散型随机向量的联合概率函数具有下列性质:,二维离散型随机向量的联合分布函数为,例1,一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球,若进行不放回取球,例2一袋中装有4只球,依次标有号码1,2,2,3,从袋中有放回取求两次,X,Y分别表示两次取得球上的号码,则(X,Y)的联合概率分布为,思考,将本例中有放回取球改为不放回取球,结果会如何?,二、二维离散型随机向量的边缘概率分布,若(X,Y)为二维离散型随机向量,X的所有可能取值为,Y的所有可能取值为,联合概率函数为,则分别称,离散型随机变量的边缘分布列可以在联合分布列的基础上增加，即,也可以将X,Y分开后分别表示，即,例3.,在本节例1.中,本节例2.的边缘分布也是一样,解,例4,由乘法公式得,解,下面求边缘分布,若随机向量具有如下的多元分布列,其中，则称随机向量服从多项分布。,两个常用的离散型多元分布,（一）多项分布,若随机向量具有如下的多元分布列,其中，为自然数，则称随机向量服从多元超几何分布。,（二）多元超几何分布,三、二维连续型随机向量的联合概率分布,定义2.,二维随机变量的联合密度函数具有以下性质,从而,用联合密度函数的图形分析以上性质,设随机向量(X,Y)具有联合密度,解,例4,设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,解：,例5,四、二维连续型随机向量的边缘概率分布,与离散型随机向量一样，X,Y也是单个的随机变量,3.2二维随机离散型和连续型随机向量2,从上面的分析不难得到X和Y的密度函数为,例6求随机向量(X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数，已知其联合分布函数为,解,边缘分布函数分别为,边缘密度函数为,例7求随机向量(X,Y)的边缘密度函数，已知其联合密度函数为,解,由边缘密度函数和联合密度函数的关系可知,所以,同理,1.均匀分布,定义设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在D上服从均匀分布.,两个常用的分布,例8已知随机向量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.,解,所以(X,Y)的分布函数为,练习,设(X,Y)在圆域D=(x,y)|x2+y2r2上服从均匀分布.(1)判断X与Y是否相互独立.,解,(2),2.二维正态分布,若二维随机向量(X,Y)具有概率密度,二维正态分布的联合密度函数的图象如右图:,二维正态分布随机向量的边缘分布均是正态分布,例9,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,练习设有概率密度（1）试验证符合概率密度的两个性质；（2）试求和的边际密度。,解（1）显然，,因为和都是分布的密度，所以根据一元密度的性质，有,又由于和都是奇函数，从而,故而,（2）,同理有,所以和都服从分布。,作业,P89练习3.2123,3.3随机变量的独立性,定义1.,否则称不相互独立或相依,对于离散型随机变量和连续型随机变量也分别有,定理1.,即,显然,例1.,一袋中装有2只白球和3只黑球,进行有放回取球,如果进行无放回取球,X和Y是否独立?,若进行不放回取球,在有放回取球中,第二次取的球的颜色不受第一次取球结果的影响,故X和Y相互独立,而在不放回取球中,第二次取到球的颜色当然受第一次取球结果的影响,故X和Y不相互独立.,例2.,解:,所以,根据联合分布列和边缘分布列的关系,不难得到X和Y的联合分布列,由于,所以X,Y不相互独立,99年考研题,8分,思考,设A,B为两事件,且相互独立,试证X,Y相互独立.,定理2.,证明:,(1)必要性,所以,(2)充分性,例3.,解:,(1)由联合密度函数的性质,可知,显然,所以,定理3.,证明,设二维随机向量,f(x,y)为其联合密度函数,证明X与Y独立的充要条件是=0,证明由题意得,充分性,将=0代入f(x,y)即得f(x,y)=fX(x)fY(y).,必要性若X和Y相互独立,则f(x,y)=fX(x)fY(y),例4.设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,其中参数,这个分布称为二维指数分布,试讨论X和Y的独立性.,解:由已知可得边缘分布函数,例6某码头能容纳一只船,现预知某日将独立地来到甲,乙两船,且在24小时内各时刻来的可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小时,试求有一船要在江中等待的概率.,关于X的边缘密度函数,关于Y的边缘密度函数,解:设X表示甲船到达码头的时间.Y表示乙船到达码头的时间.由题中条件,X与Y都服从0,24上的均匀分布,因为X与Y相互独立,故(X,Y)的联合密度函数为,事件有一只船在江中等待=YXY+4+XYX+3,表示:甲船来时,乙船已在码头,表示:乙船来时,甲船已在码头,定义称随机变量序列X1,X2,Xn,为相互独立的,如果它们中任意m(m=2,3,)个随机变量都是相互独立的.特别若每个Xi(i=1,2,)的分布也相同,则称之为独立同分布(i.i.d)的随机变量序列。,随机变量序列独立性的概念,作业,P94练习3.31234,3.4随机向量的函数及其概率分布,分离散型和连续型形式分别进行讨论,一、随机变量和的分布,1.离散型随机变量和的分布,将问题一般化,例1,解,等价于,概率,结论,例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为,求随机变量Z=X+Y的分布律.,解,解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,例4,X,Y相互独立,证明,由前面的例题可知,例5,例6,设X和Y相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求Z=X+Y的分布.,我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法.,解,从问题的背景出发得到的结果更直接，更容易理解.,更一般地，,连续型随机变量函数的概率分布,1.已知(X,Y)f(x,y)，求Z=(X,Y)的概率分布.,若Z为连续型随机变量,则在f(z)的连续点处,解,例7,X,Y相互独立,设Z的分布函数和概率密度分别为,2.连续型随机变量和的分布,同样也有,因此,由公式,解,例8设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.,得,推论有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.,即:若XiN(i,i2),(i=1,2,.n),X1,X2,.Xn相互独立,实数