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第三章正交函数集及信号在正交函数集上的分解,.1信息分解的物理意义,在分析一个事物的过程中，我们经常把事物的属性分解开来分析，例如，衡量钢材的质量，经常要分析它的韧性、强度等指标，分析一个人的体质，经常要看他的力量、耐力、速度、反映的灵敏度等等。再如水（H2O）可以看做是由份的和份的组成,所谓正交函数集中的函数，可以理解为某一特征的指标，也可以理解为一种成分而分解后得到的系数，就是事物在这一指标上的值或者是包含这种成分的多少。,3.正交函数集,1、正交集,举例：,“正交”与“垂直”的关系正交的概念更为广泛，而垂直一般而言是正交在几何学中的反映但现在学术界一般将正交与垂直等价起来，也可以说函数之间有垂直关系,如果集合中的元素仍为集合，并定义“点积”为交集中元素的个数定义集合A为桃树，集合B为杏树，集合C为苹果树，集合D为梨树集合S=A，B，C，D便构成了一个标准正交集,2、正交函数集,下面给出正交函数集的定义,3.信号在正交函数集上的分解,1、一般意义上的正交集上的分解,从线性代数的知识可知：C1=1，0，0，C2=0，1，0，C3=0，0，1构成了三维矢量空间上的正交集。其点积的定义为：C1C2=C1TC2任意一个三维矢量都可以由上述三个正交矢量线性表出：x,y,z=xC1+yC2+zC3这就是正交集上的分解,再比如A为桃树，集合B为杏树，集合C为苹果树，集合D为梨树那么E=果树A+B+C+D由此可以看出，在正交集的取值空间中的元素，有可能能够由某正交集合中的元素准确地表出（通过线性叠加），也有可能不能够由某正交集合中的元素完全准确地表出。,如果取值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。不完备的情况再比如：在三维线性空间中，C1=1，0，0，C2=0，1，0所构成的正交集就不完备。,不完备情况下，一般要以一定的准则（最常用的是最小均方误差准则）来完成元素的分解。例如：矢量D=2，3，9要在上述的正交函数集上分解，显然可以分解成：2C1+3C2=2，3，0令为D1,此时的均方误差定义为：|D1-D|2=|0，0，9|2=02+02+92=81尽管误差很大但已经是最小的均方误差了。所以在此正交集上的分解有：D2C1+3C2,2、正交函数集上的分解,3、举例,将下列方波信号f(t)在上述的正交函数集上分解sint，cost,0,t,f(t),如图：,3.4小结,正交集、正交函数集、标准正交集
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