机械陀螺的力学基础.ppt

2019年11月23日,惯性器件原理,主讲教师：黄卫权哈尔滨工程大学,惯性系统的两个基本的组成部件：陀螺加速度计,惯性技术中的许多问题可视为刚体绕定点的转动。所以，我们首先需要以力学知识为基础，在运动学上给予适当的描述。,第二章力学基础知识,2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.2惯性技术中常用的坐标系2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,2.1.1定点转动刚体的自由度,自由度：确定物体在某坐标系中位置所需的独立坐标数目。一个物体在空间运动共有六个自由度，即3个位移自由度，3个转动自由度。,陀螺的自由度：自转轴可绕其自由旋转的正交轴的数目。试给出下列陀螺的自由度数目：,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,2.1.2用方向余弦描述定点转动刚体的角位置,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,x,y,z,R,i,j,k,i,j,k为单位矢量,由图可得,其中，,空间矢量的分解,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,空间坐标系，绕任一轴旋转一个角度后到达新的位置，即有新的坐标系。将新坐标系三个坐标轴分别投影到原坐标系中的三轴上，即,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,进而，可化为矩阵形式：,即称为由坐标系到坐标系的方向余弦矩阵。,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,方向余弦矩阵是，具有以下性质：两个方向余弦矩阵互为转置矩阵:两个方向余弦矩阵互为可逆矩阵:方向余弦矩阵的转置阵与可逆阵相等:,因而可以得到矩阵等式：,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,正交矩阵,2.1.3用欧拉角描述定点转动刚体的位置,刚体坐标系相对参考坐标系的角位置，可用三次独立转动的三个转角来确定，即欧拉法。这三个独立的转角即欧拉角。,第一种欧拉角,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,最终得到0系与r系的坐标转换关系：,最早的转动矩阵放在最右边,具体表达式是,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,第二种欧拉角,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,最终得到0系与r系的坐标转换关系：,最早的转动矩阵放在最右边,具体表达式是：,2.1定点转动刚体角位置的表示方法,第二章力学基础知识,2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.2惯性技术中常用的坐标系2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4哥氏加速度、绝对加速度和比力方程,2.2.1惯性参考坐标系（i系）,惯性坐标系即满足牛顿力学定律的坐标系，一般取地球球心为原点。,2.2惯性技术中常用坐标系,2.2.2地球坐标系（e系）,原点在地心，z轴沿地轴方向，x、y轴在赤道平面内，x轴指向零度子午线，y轴指向东经90度。坐标系与地球固连。,2.2惯性技术中常用坐标系,2.2.3地理坐标系（t系）,原点位于载体在地球变面的位置点（或在地表的投影点），x轴沿当地指东，y轴指北。,载体相对地球的运动会使地理坐标系相对地球坐标系转动，它包括两部分：1.地理坐标系相对地球坐标系的转动角速度；2.地球坐标系相对惯性坐标系的转动角速度。,2.2惯性技术中常用坐标系,2.2.4地平坐标系（n系）,原点位于载体所在点，x、y轴在当地水平面内，y轴沿载体航向方向，z轴沿当地垂线向上。,2.2惯性技术中常用坐标系,2.2.5载体坐标系（b系）,原点与载体质心重合，x轴沿载体横轴向右，y轴沿载体纵轴向前，z轴与之形成右手坐标系。,2.2惯性技术中常用坐标系,2.2.5陀螺坐标系,第二章力学基础知识,2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.2惯性技术中常用的坐标系2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4哥氏加速度、绝对加速度和比力方程,2.3.1定点转动刚体的动量矩,绕定点o转动的刚体内所有质点动量对o点之矩的和，称为刚体对该点的动量矩。,表达式为,又因为故，,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,刚体质点的和可在动坐标系下分解为,同样地，动量矩在动坐标系下可分解为,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,当动坐标系的各轴与刚体的惯性主轴重合时，刚体对各动坐标系的惯量积都等于零。此时，定点转动刚体动量矩表达式可简化为,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,2.3.2动量矩定理,将动量矩表达式对时间求一阶导数，,等式最右边第一项为零。第二项表示外力对o点的力矩和，用表示。故有,这就是矢量形式的动量矩定理：,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,动量矩定理表明：刚体对任一定点的动量矩对时间的导数，等同于绕同一点作用于刚体的外力矩。,注意：动量矩的变化率是以惯性坐标系为参考系,动量矩定理另一种表达将看成动量矩矢量端点的速度，即于是，动量矩定理又可写成定理表明：刚体对定点的动量矩的矢量速度，等于绕同一点作用于刚体的外力矩。,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,2.3.3刚体定点转动的欧拉动力学方程,刚体动量矩在动坐标系中可表示为,惯性系中动量矩对时间求导：,动坐标系中动量矩对时间求导：,刚体定点转动的欧拉方程，实际即为动量矩定理在动坐标系中的表述。,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,容易看出,所以有,最后可以写出动量矩的绝对导数和相对导数的关系：,根据动量矩定理，可得,这就是矢量形式的欧拉动力学方程,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,沿动坐标系各轴投影，可以得到：,动系各轴与刚体惯性主轴重合时，进一步得到：,2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程,第二章力学基础知识,2.1定点转动刚体角位置的表示方法2.2惯性技术中常用的坐标系2.3动量矩、动量矩定理及欧拉动力学方程2.4哥氏加速度、绝对加速度和比力方程,2.4.1哥氏（Coriolis）加速度产生分析,2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程,2.4.1哥氏（Coriolis）加速度,哥氏加速度是由于相对运动和牵连运动相互影响而形成的,哥氏加速度一般表达式：,2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程,2.4.2绝对加速度的表达式（哥氏定理）,由图，可以写出位置矢量方程,在惯性系中，对时间求一阶导,其中,所以，,2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程,对时间再次求导，有,又因为,最终得到载体绝对加速度的表达式：,2.4哥氏加速度、绝对加速度与比力方程,当动点的牵连运动为转动时，动点的绝对加速度应等于相对加速度、牵连加速度与哥氏加速度的矢量和：,2.4.3比力方程,惯导系统中，加速度是由加速度计测量的。加速度计实际测量点不是载体的加