高考数学总复习 第八章 第7讲 空间中角与距离的计算课件 理.ppt

第7讲,空间中角与距离的计算,空间向量的应用.,(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.,(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平,面的垂直、平行关系,(3)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.,1.异面直线所成的角过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a与b.那么直线a与b所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所,(0，90,成的角，其范围是_.,(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成,的角等于0.,90,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.,2.直线与平面所成的角,从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是,直角的二面角叫做_.,直二面角,4.点到平面的距离点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.求点到平面的距离通常运用等积法，即构造一个三棱锥，将点到平面的距离转化为三棱锥的高.5.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.,3.二面角,1.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为,平面的法向量的是(,),B,A.(0,1,2)B.(3,6,9)C.(1，2,3)D.(3,6,8)解析：向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.,2.若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向,C,A.4C.8,B.6D.8,3.已知平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，则平面,的一个法向量为()A.(1，1,1)C.(2,1,1),B.(2，1,1)D.(1,1，1),C,4.如图871，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，,AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_.图8-7-1,考点1,线面所成角的计算,例1：(2014年福建)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图8-7-2.(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与,平面MBC所成角的正弦值.,图8-7-2,(1)证明：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.,又CD平面BCD，ABCD.,(2)解：如图D41，过点B在平面BCD内作BEBD.,图D41,由(1)知，AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.,设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，,【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方,法：,传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.,空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点，用传统的方法解决对于学生来说就比较有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.,【互动探究】1.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余,弦值为(,),解析：因为BB1DD1，所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等，设DO平面ACD1，由等体积,所以DO,记DD1与平面ACD1所成角为，,答案：D,考点2,面面所成角的计算,图8-7-3,例2：(2014年湖南)如图873，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，ACBDO，A1C1B1D1O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O底面ABCD；(2)若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值.,(1)证明：如图D42，因为四边形ACC1A1为矩形，,图D42,所以CC1AC.同理DD1BD.因为CC1DD1，所以CC1BD.而ACBDO，因此CC1底面ABCD.由题设知，O1OC1C.故O1O底面ABCD.,(2)解：方法一：如图D42，过O1作O1HOB1于H，连接HC1.由(1)知，O1O底面ABCD，所以O1O底面A1B1C1D1，于是O1OA1C1.又因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形，则A1C1B1D1.从而A1C1平面BDD1B1，所以A1C1OB1.于是OB1平面O1HC1，则OB1C1H.故C1HO1是二面角C1OB1D的平面角.不妨设AB2.,方法二：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，,所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD.,又O1O底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直.如图D43，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，不妨设AB2.,图D43,【规律方法】求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法.,(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小,【互动探究】,2.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.,图D44,考点3,空间距离的计算,例3：如图8-7-4，S是ABC所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且SA平面ABC，SA3a，求点A到平面SBC的距离.图8-7-4,解：方法一：如图8-7-5，作ADBC交BC延长线于点D，,连接SD.,图8-7-5,SA平面ABC，SABC.,又SAADA，BC平面SAD.又BC平面SBC，,平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.过点A作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理，可知：AH平面SBC.于是AH即为点A到平面SBC的距离.,于是h,方法三：如图8-7-6，以A为坐标原点，以AC，AS所在直线为y轴，z轴，以过A点且垂直于yOz平面的直线为x轴建立空间直角坐标系.,图8-7-6,在ABC中，ABBC2a，ABC120，,【互动探究】3.已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，1)，C(0，1,2)，则,点C到直线AB的距离为_.,难点突破,空间向量在开放性问题中的应用,例题：(2014年湖北)如图877，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02).(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.,图8-7-7,解：方法一(几何法)：,(1)证明：如图878，连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正,方体，知BC1AD1,当1时，P是DD1的中点，且F是AD的中点，,图8-7-8,图8-7-9,(2)如图8-7-9，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，,所以FPAD1.所以BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.,所以四边形EFPQ是等腰梯形.,同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.,分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GOPQ，HOPQ，而GOHOO，,故GOH是面EFPQ与面PQMN所成二面角的平面角.若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面,角，则GOH90.,如图8-7-8，连接EM，FN，,则由EFMN知，四边形EFNM是平行四边形.连接GH，因为H，G是EF，MN的中点，所以GHME2.,方法二(向量法)：,图8-7-1