高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用课件理.ppt

理数课标版,第四节导数的综合应用,1.利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形.(2)构造新的函数h(x).(3)对h(x)求导.(4)利用h(x)判断h(x)的单调性或最值.,教材研读,(5)下结论.,2.一元三次方程根的个数问题令f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)=3ax2+2bx+c.,方程f(x)=0的判别式=(2b)2-12ac,(1)当0,即b23ac时,f(x)0恒成立,f(x)在R上为增函数,又易知存在x、xR,使f(x)f(x)0,即b23ac时,方程f(x)=0有两个实根,设为x1,x2(x1m).a.当m0时,方程f(x)=0有一个实根;b.当m=0时,方程f(x)=0有两个实根;c.当m0时,方程f(x)=0有三个实根;d.当M=0时,方程f(x)=0有两个实根;e.当M0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=bx+c.(3分),(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f(x)=3x2+8x+4.令f(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-.(4分)f(x)与f(x)在区间(-,+)上的情况如下表:,(6分),所以,当c0且c-0,f(x)在区间(-,x0)上单调递增;当x(x0,+)时,f(x)0,f(x)在区间(x0,+)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.,综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有=4a2-12b0.故a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要条件.(11分)当a=b=4,c=0时,a2-3b0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.(12分)因此a2-3b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.(13分),方法技巧利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置.(3)可以通过数形结合的思想去分析问题,使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.1-1(2015课标,21,12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线?(2)用minm,n表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论h(x)零点的个数.,解析(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f(x0)=0,即解得x0=,a=-.因此,当a=-时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当x(1,+)时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)内无零点.当x=1时,若a-,则f(1)=a+0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a-,则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0,所以只需考虑f(x)在(0,1)内的零点个数.(i)若a-3或a0,则f(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,故f(x)在(0,1)内单调.而f(0)=,f(1)=a+,所以当a-3时,f(x)在(0,1)内有一个零点;当a0时,f(x)在(0,1)内没有零点.(ii)若-30,即-a0,则f(x)在(0,1)内无零点;若f=0,即a=-,则f(x)在(0,1)内有唯一零点;,若f-或a-时,h(x)有一个零点;当a=-或a=-时,h(x)有两个零点;当-1时,f(x)cx.(12分),命题角度二不等式恒成立问题典例3(2016四川,21,14分)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).解析(1)f(x)=2ax-=(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0,有x=.此时,当x时,f(x)0,f(x)单调递增.,(2)令g(x)=-=,s(x)=ex-1-x.则s(x)=ex-1-1.而当x1时,s(x)0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)0,从而当x1时,g(x)0.,当a0,x1时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a0.当01.由(1)有f0,所以此时f(x)g(x)在区间(1,+)内不恒成立.,当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x1时,h(x)=2ax-+-e1-xx-+-=0.因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增.,又因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x)恒成立.综上,a.,方法技巧1.利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)-1,且x0,证明:g(x)0,f(x)单调递增;当x(0,+)时,f(x)0时,f(x)x.设h(x)=f(x)-x,则h(x)=-xex-1.当x(-1,0)时,0-x1,0ex1,则0-xex1,从而当x(-1,0)时,h(x)h(0)=0,即g(x)1.综上,总有g(x)0,故函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.(2)当x1时,f(x)axa+,令h(x)=+(x1),则h(x)=-=,令m(x)=x-xlnx-1(x1),则m(x)=-lnx,显然,当x1时,m(x)0,所以m(x)在1,+)上为减函数,所以m(x)m(1)=0,因此h(x)0,于是h(x)在1,+)上为减函数,所以当x=1时,h(x)有最大值h(1)=1,故a1,即a的取值范围是1,+).,考点三用导数解决实际生活中的优化问题典例4(2016云南玉溪一中月考)时下网校教学越来越受广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式为y=+4(x-6)2,其中2x6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值;(2)假设网校的员工工资、办公费用等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(精确到0.1),解析(1)因为x=4时,y=21,所以+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知,套题每日的销售量为y=+4(x-6)2,所以每日销售套题所获得的利润(单位:千元)为f(x)=(x-2)=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240 x-278(2x6)，,从而f(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(20,函数f(x)单调递增;在上,f(x)0,函数f(x)单调递减.所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.,规律总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0;(3)比较函数在区间端点和使f(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;(4)写出答案.,3-1某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采购成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2t5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25x40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.(1)求该工厂的日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式;(2)若t=5,则当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y