函数的概念及相关典型例题.doc

函数的概念及相关典型例题一、知识点1、函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系，对于集合A中的任意一个数，在集合B中都存在唯一确定的数和它对应，那么就把对应关系叫做定义在集合A上的函数，记作，或， A。习惯上我们称是的函数。 2、函数的三要素： 、定义域：取值的集合A叫做函数的定义域，也就是自变量 的取值范围； 、对应关系（对应法则）：对应关系是核心，它是对自变量进行“操作”的“程序”，是连接与的纽带。 、值域：就是函数值的集合，。x A B 对应关系 定义域A 值域 3、常见函数的定义域和值域 一次函数:定义域R, 值域R; 反比例函:定义域, 值域; 二次函数:定义域R值域：当时，；当时， 4、 相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么我们就称这两个函数相等或称这两个函数为同一函数。（与表示自变量的字母无关，例如：与表示同一函数。） 5、复合函数：如果函数=的定义域为A，函数t=()的定义域为D，值域为C，则当C=A时，称函数=为与在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=()叫内函数，=叫外函数。（内函数的值域等于外函数的定义域） 6、区间。定 义名 称符 号数 轴 表 示x|axb闭区间a，b x|axb开区间(a，b) x|axb左闭右开区间a，b） x|aa，xb，xb，R的实数x的集合分别表示为a，+，（a，+）,(- ,b,(- ,b),(-，+）。2、 典型例题（1） 、判断变量间的关系。1、 函数关系 多对一 非函数关系：一对多 一对一2、 根据图形判断对应关系是否为函数关系的方法。 作垂直于轴直线在定义域内移动只有一个交点的是函数关系，有两个或两个以上交点的不是函数关系。3、 判断一个对应关系是否为函数的方法。 判断A、B是否为非空数集判断A中任一元素在B中的是否有元素与之对应判断A中任一元素在B中的对应关系是否是唯一确定的。（2） 求函数的定义域1、 求给出解析式的函数的定义域（求使解析式各部分都有意义的自变量的取值范围）分式中分母不为零；偶次根式中，被开方数非负；x0中，x0；整式部分自变量的取值范围为R.2、 求抽象函数的定义域。已知的定义域是a，b，求的定义域。解，即为所求的定义域。已知的定义域是a，b，求f(x)定义域。方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。已知f(g(x)定义域a，b，求f(h(x)的定义域。用题型的方法根据y=f(g(x)定义域求y=f(x)的定义域，用题型的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x)的定义域。（注：在同一法则下，与f(h(x)中()与h(x)的范围是相同的。）已知的定义域，求四则运算型函数的定义域。若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例：若的定义域为，求的定义域解：由的定义域为，则必有解得所以函数的定义域为练习：已知函数定义域是，求的定义域。分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。解：由已知，有，即函数的定义域由确（比较两个区间左右端点，取交集）函数的定义域是3、 求实际问题中的函数的定义域。满足解析式；实际意义对自变量的限制（处理几何图形的周长、面积、体积等问题时，切记各线段的长度均为正数。）4、 函数定义域的逆向思维（已知所给函数的定义域，求解析式中参数的取值范围。） 解法：当二次函数的二次项系数不确定时，需要对其是否为0进行分类讨论；运用转化思想，把函数定义域问题转化成恒成立问题。例1、 已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切xR都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是 综上可知。例2、已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须0恒成立，因为的定义域为R，即无实数当k0时，恒成立，解得；当k=0时，方程左边=30恒成立。综上k的取值范围是。（三）求函数值1、已知函数的解析式求值。 方法：将自变量的值直接代入求解。（求f(g(x)时，一般遵循先内后外的原则.）2、 抽象函数求值。 赋值法：根据条件和结论对变量赋一个特殊的值。 思路：从条件中自变量的极端值开始取值、计算出对应的函数值，再结合条件逐步深入，最后使问题获解。3、 与求值有关的含参问题。 方法：利用方程思想求解.（4） 求函数的值域。 1. 直接观察法方法：、利用熟悉的函数的值域；、利用图像的最高点和最低点。 例1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是： 2. 配方法 对于二次函数型的解析式，通过配方含有自变量的平方式与常数的和，然后根据自变量的取值范围确定函数的值域。 例2. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，83. 判别式法 此法常用于求分子或分母的最高次数为二次的分式型函数的值域，求解时把函数看成是一个关于自变量的二次方程，根据原函数的定义域为非空数集，可知此方程有解，即0，从而求出原函数的值域。 例3. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（y-1)-+(y-1)=0（1）当时，解得：（2）当y=1时，而故函数的值域为4、 分离常数法就是把函数式分子中含x的项分离掉，即分子中不含x项（在分子中写出一个和分母一样的式子，然后变形），此法常用于求形如=(0)的函数的值域.。例4.求函数的值域解：=-1+0此函数值的值域为5、 反解法（反函数法） 形如=(0)的函数的值域，也可使用反解法。例5. 求函数值域。解：由原函数式可得：故所求函数的值域为：6、 换元法其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.例6. 求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为7、 函数的有界性法 此法将函数变形成一边为某个有界函数，另一边为含y的代数式的形式，再利用函数的有界性构造关于y的不等式求解。例7.求函数的值域解：由函数的解析式可知，函数的定义域为R，对函数进行变形可得：因为，所以=，所以，所以所以函数的值域为8、 数形结合法 根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域9、 函数的单调性法 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（五）函数值域的逆向思维 求函数值域的逆向问题，主要利用已知函数的值域，求出满足条件的参数的值。 解法：1、数形结合思想.根据解析式画出图像，结合已知条件，利用数形结合思想。2、 分式型函数：把所求值域问题和一元二次方程根与系数的关系联系起来求参数。（6）