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第三节矢量场的通量与散度,1.通量2.散度,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,闭曲面分内侧和外侧,能区分出曲面的侧的曲面叫做双侧曲面.,曲面还有左侧和右侧，前侧和后侧.,选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面.,用表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相反侧的定向曲面用表示.,注意：与是不同的曲面.,1.通量,设表示流体的流速场，为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内流体由曲面负侧经曲面流向正侧的流量。,实例:流向曲面一侧的流量.,任取一典型的微元在其上任取一点设其面积也记成曲面在点处的单位法向量,M,dS,单位时间流经曲面微元的流量可近似地看做一细柱体，底面为，高为故,求和单位时间流经的流量：,取极限,定义设是一向量场，是场中的一定向曲面，称为向量场流经曲面的通量.,记,当是电位移向量，则就是穿过曲面的电通量，,当是磁感应强度，则就是穿过曲面的磁通量.,则在单位时间流经曲面的通量为,Gauss公式,设是空间的有界闭区域，其边界由有限光滑或分片光滑的曲面所组成，取外侧，,(2.1),例3求向量场穿过由曲面和所围成立体表面外侧的通量。,由Gauss公式,利用球坐标系，,设是一个不可压缩的稳定的流速场，对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光滑封闭曲面，取外侧，记所围的区域为，这时，表示单位时间从经流向外侧的流量，而,(2.2),2.散度,表示单位时间从单位体积流出的平均流量，称为在的平均源强，越小，(2.2)就能越好地近似描述场在点M处的源的强度，令收缩到M,记成,所得极限,就可用来刻划在点M处的源的强度。,(2.3),定义设是一个向量场,若极限(2.3)存在且与无关，则称之为场在点M处的散度,记为，即,(2.4),下面我们建立散度在直角坐标系下的表达式,定理设则在点M处的散度,Gauss公式可写成,(2.6),它有明显的物理意义，设为不可压缩的稳定的流速场，(2.6)右端的三重积分表示单位时间内所产生的流体的总量，而左边的曲面积分表示单位时间流体通过的边界曲面流向外侧的流量，二者应当相等。所以(2.1)和(2.6)又称为散度定理.,散度的性质,例6设表示在原
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