反例与证明教案

1 / 9 反例与证明教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 反例与证明 一、教材、学情分析： 举反例和证明同样重要，注重反例教学以培养学生思维的缜密性、灵活性，以及注重反例构建培养学生思维的发散性、深刻性和创新性在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可。反例构建还是诱发学生创造力的很好载体。教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，这实际上是为学生创设了一种探索情境。因此，构建反例的过程也是学生发散思维的充分发挥和训练过程。 二、教学目标： （ 一）知识与技能 通过实际问题的分析，理解反例的意义和作用。掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的。 （二）教学思考 通过判定引入命题的真假培养学生的思维能力 ;在思考争论的过程中，学会合作，交流思想；通过独立思考与小组合作，小组竞赛培养学生独立自主精神、合作精神和竞争意识； （三）解决问题 会利用一些简单的例子，对一个命题作出合理的解释判断与2 / 9 证明；提高他们处理问题和解决问题能力； （四）情感与态度 通过数学知识的实际应用，渗透数学来源于生活又应用于生活的思想，体验学习数学的乐趣，从而激发他 们的学习兴趣。 【教学重点、难点】 重点：用反例证明一个命题是错误的 难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的因为要从条件出发又不能使其满足结论，要求学生对数学概念的理解能力较高。 【教学过程】 一、谈话引入，激发兴趣 读一读： 高斯说： “ 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是已达到的高度，而是继续不断地攀登 ” 。 师：高斯是伟大的数学家，他告诉我们要不断学习，学无止境，让我们继续不断地向上攀登吧！ （设计 意图：师生交流，联络感情，通过一起学习名人名言可缩小师生之间的距离，使学生体会到师生之间是平等的，另一方面通过学习名言可对学生进行思想教育，希望他们能继续努力，永攀高峰。） 二、师生交流，引入新课 3 / 9 高斯是伟大的数学家吗？这句话是命题吗？ （通过它来复习命题的概念，请学生将这句话改成一个命题） 高斯是伟大的数学家。再问这个命题正确吗？（学生答） 我们再来判断下列命题的真假 （ 1）会飞的动物都是鸟。 （学生会说是假命题。） 师问：为何是假命题？学生举出蝴蝶、苍蝇、蜻蜓等会飞，但不是鸟。 （设 计意图：让学生能够分辨一个命题的真假，能够举出适当的反例。使学生初步有通过举反例可以说明一个命题是假命题的思想，以便在解决下面三题时能想出举出反例。） （ 2）素数是奇数（学生答：假命题，举例 2） （ 3）黄皮肤、黑头发的人是中国人（学生答：假命题，举例韩国人，日本人等） （ 4）在不同顶点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形（学生答：假命题，等腰直角三角形等） 师：我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢？如上述四个命题你是如何来说明它是假命题的？（学生能够答：举个 例子说明） 今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题 反例与证明 三、师生互动，学习新知 4 / 9 1、小组合作，共同进步 师生总结：从引例知道判断一个命题是假命题只要举出一个例子即可。 学生讨论：怎么样例子才能判断一个命题是假命题？ 学生分小组讨论，教师巡回指导，每小组代表发言 师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子，这样的例子称为反例。 师：如可以举 2 是素数，但不是奇数，从而证明 “ 素数是奇数 ” 是假命题 . 韩国人，日本人也是黄皮肤、黑头发的人从而证明 “ 黄皮肤、黑头发的人是 中国人 ” 是假命题。这些例子都符合命题的条件但不具备命题的结论。 （设计意图：让学生充分讨论我们所需要的反例有什么要求，因为举反例有时比较困难。通过学生激烈的争论可以给学生一个举反例的指导方向，学生在争论中更易接受正确的知识，使学生能在判定具体命题真假时举出适当反例。） 2、比一比，赛一赛（小组竞赛） 判断下列命题是真命题还是假命题，是真命题请证明，是假命题请举反例 . （ 1）三角形的外角和等于 360 （ 2）三线两两相交 ,必有三个交点 （ 3）若 ab 0，则 a 0,b 0 5 / 9 （ 4）任何三条线段都能 组成一个三角形 （ 5）若 x+y=0，则 （设计意图：通过学生竞赛，激发学生学习兴趣。趁热打铁，及时巩固，培养学生的动手能力和应用知识解决问题的能力，让学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例） 3、设置一个互动游戏：让一个学生出一个命题，另一学生判断真假。 （设计意图此处设置互动游戏，一方面是为了更好地以另一种方式促进学生的学习参与，另一方面也是为了调节课堂的气氛，因为这段时间学生在下午的学习总是感觉疲劳，兴趣不是很高，这样就可以更好地促进学生，调节气氛。） 师：我们已经能举出反例说明一个命题是假命题，如何在解题过程中将反例用数学语言规范的表述，请同学们尝试解决以下两题。 例题：判断下列命题的真假，并给出证明 (第一题较简单学生易举出反例，第二题学生需要构造出图形较为困难，老师巡视时给予适当引导。 ) （ 1）若 2x+y=0，则 x=y=0 （ 2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等 学生先自主解决，然后小组内交流纠错。老师巡视发现学生的表述不规范之处，予以纠正。挑出学生解题中普遍存在问6 / 9 题，用投影仪集体纠错，规范解题步骤。 （设计意图：学生先尝试数学问题中反 例的表述，使学生感觉到学习并不是一件很容易或很困难的事情。然后通过合作学习，为每位学生提供交流的空间，让他们能积极参与，勇于发表自己的观点，帮助其他同学修正错误，给学生以成就感。） 幻灯片给出具体解题过程 解（ 1）是假命题。 取 x=-1,y=2， 则 2x+y=2 （ -1） +2=0 但 x0 且 y0 。 即 x=-1， y=2具备 2x+y=0的条件， 但不具备命题的结论， 所以此命题为假命题 （ 2）假命题。 如图： ABc 和 A B c 中， c=A =75 B=c =45 AB=A B = 但很明显 ABc 和 A B c 不全等， 所以此命题为假命题 7 / 9 例题小结：如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解题的步骤，需要辅助几何表述，才能成为解题过程。 四、应用新知，体验成功 （设计意图：学生能够分辨一个命题的真假，对真命题能够证明，对假命题能够举出适当的反例。代数问题稍好解决，几何问题构造图形是学习中较为难解决的问题，予 以适当强化。） 判断命题 “ 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 ” 的真假，并给出证明。（学生小组讨论，构造反例。） 老师分析引导：这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例。 （老师巡视挑出解答较好的两个反例投影展示，请学生介绍解题思路。老师点评并做补充。） 本题可以从以下两方面考虑，如图 4 4 4（ 1）三角形 ABc中， AB=Ac，在底边 Bc延长线上取点 D，连 DA，这样在 ADB和 ADc 中， AD=AD， D=D ， AB=Ac，显然观察图形可知 ADB与 ADc 不全等，或者，在 Bc上任取一点 E（ E 不是中点），如图 4-4-4（ 2），则在 ABE 和 AcE 中， AB=Ac， B=c ，AE=AE，显然它们不全等。 8 / 9 解这是一个假命题，证明如下： 如图 4 4 4（ 1），在 ABc 中， AB=Ac，延长 cB 到 D，连结 AD。 则 AB=Ac，（已知） AD=AD，（公共边） D=D ，（公共角） 但 ADB 与 ADc 不全等。 评注能举反例说明一个命题是假命题，反例不在于多，只要能找到一个说明即可。 五、课堂小结，形成系统 畅所欲言：通过这节课的学习，谈谈你的收获与体会。 （设计意图：让学生自己总结本堂课的得失，一方面培养学生善于总结反思的良好习惯；另一方面可以提高学生的语言表达能力，为自己和其他同学梳理了知识体系，使其系统化，起到画龙点睛的作用。） 老师给出本节知识点： 1、判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。 2、反例是具备命题条件但不具备命题结论的例子。 3、涉及数的问题举出一些特殊值，一些几何问题可以构造出适当几何图形，构造的图形也是解