N维空间几何体质心的计算方法..doc

N维空间几何体质心的计算方法摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题,通过微积分方面的知识来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。首先提出质心或形心问题,然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分一.质心或形心问题:这类问题的核心是静力矩的计算原理。1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心:静力矩的微元关系为,dMx yudl dMy xudl=.其中形如曲线L(,y f x a x b=的形状体对x轴与y轴的静力矩分别 为(ba yf x S= ,(by aM u f x=设曲线ABL的质心坐标为(,x y,则,y xM Mx yM M=其 中(baM u x d x u l=为ABL的质量,L为曲线弧长。若在式yMxM=与式xMyM=两端同乘以2,则可得 到22(ba yxl f x S= ,22(ba xyl f x S=,其中xS 与yS分别表示曲线ABL绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心:设f(x为,a b上的连续非负函数,考虑形如区域(,0(D x y a x b y f x=的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为1(,(,2y f y x y x x+,当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点1(,(2x f x处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有1(2xdM u f x f x dx=,(ydM uxf x dx=.两个静力矩为21(2bx aM u f x dx=,(bx aM u xf x dx=.设质心坐标为(,x y,则有(y baM ux xf x dxM M=,21(2y baM uy f x dxM M=.其中(baM u f x dx MA=为该均匀密度薄板的质量,A 为面积。 二.平面图形的重心: 给定一个曲线12(,(,y f x y f x x a x b =围成的图形,它是一个物质平面图形,我们考虑均匀的面密度,即单位面积的质量为常数,它在图形的各部分都等于.将所给图形用直线1,n x a x x x x b = ,划分成宽为12,n x x x 的窄条,每个窄条的质量等于它的面积和密度的乘积。如果每个窄条用以i x 为底,高为21(i i f f -的矩形来代替,其中12i ii x x -+=,则这窄条的质量将近似等于21(1,2,i i i i m f f x i n =-= ,这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重心上:21(,(2i i i i i c f f x y +=现在把每个窄条用一个质点来代替,它的质量等于对应窄条的质量,并且集中于该窄条的重心处,我们来求整个图形的重心坐标的近似值。2121(iiiic iiif f xx f f x-,1221211(2(i i i i i i c i i if f f f x y f f x +-当max 0i x 时取极限,则得2121(b acb ax f x f x dx x f x f x dx-=-,2121211(2(ba c ba f x f x f x f x dx y f x f x dx+-=-.这些公式任何均匀的平面图形都适用,可看出重心的坐标是与密度无关的。例:求抛物线与直线所围成的重心的坐标(如图解:在这种情况下, 21(f x f x =因此 052023525a c x a x= ,0c y =.三.重心1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点,在生产实际中,常常要确定物体的重心。例如:炼钢用钢水包的包轴位置,就与钢水包的重心有关,如果包轴低于重心,用天平调动钢包时就会翻转,如果包轴高于重心过多,则倒出钢水时翻转困难。因此,我们总是将包轴安装于略高于重心的地方,这时显然需要确定重心的位置。 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置,显然,若于其重心处支持之,则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。设均匀薄板是由曲线1(y y x =,2(y y x =和直线x b =围成的平面图形,我们要求此平面的重心(,G x y ,用u 表示此薄板单位面积的重量,则微面积s d 的重量为12(u y y dx -,其重心G 的坐标为12(,2y y x +,显然整个薄板的重量为12(b a u y y dx -,由力学知,合力对任一轴的力矩,等于各分力对该轴力矩之和,取对y 轴的力矩,得1212(b b a a u y y dx x ux y y dx -=-,取对x 轴的力矩得121212(2b ba a y y u y y dx y u y y dx +-=-,由此两式,即得确定薄板重心坐标的公式:1212122222121212(111(22(b b a ab ab b aaba x y y dx x y y dxx s y y dxy y dx y y dx y s y y dx-=-=-其中s 标薄板的面积,由公式(1知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关,而与薄板单位面积的重量无关。特别,若2(0y x ,则得曲边梯形薄板重心坐标公式:b ab a xydx x ydx =,212b ab a y dx y ydx =.例:试求半径为R 的半圆形均匀薄板的重心。解:由于22R s =,1y =2y =故知重心G 的坐标(,x y 为: 120232222(222(40.42332b R aRx y y dxx sR R x RR R -=-=-=,22121(20b ay y dx y s -=.四.利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心设有非均匀平面薄板D ,其上每点的密度为(,x y =,设薄板D 的重心坐标为(,x y ,考虑D 中微面积dD ,它的微质量为: (,dm x y dD =,它关于y 轴与x轴的力矩分别为:(,xdm x x y dD =与(,ydm y x y dD =把这些微质量的力矩加起来,即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为:(,(,DDDxdm x x y dD x x y dxdy=与(,(,DDDydm y x y dD y x y dxdy=薄板的总质量,于是根据重心的定义,得求重心坐标的公式:(,(,(2(,(,DDDD D D xdm x x y dxdy x mx y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy =特别,若薄板是均匀的,即(,x y =常数,则得求均匀薄板重心坐标公式:Dxdxdyx D=,Dydxdyy D=.对于均匀薄板,我们有21(21(y x bb ay x a Dxdxdy dx xdy x y x y x dx=-,2211(2(222121(2y x y x b ba y x a D y xb a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx = =-故(21b ax y y dxx D-=,(222112b ay y dx y D -=.五.设一立体在空间占据区域T ,那么立体的体积为TV d x d y d z=设(,x y z =,(,x y z T 是立体在点(,x y z 的密度,其中T 是它所占据的空间区域,那么该立体的质量为 (,TM x y z dxdydz =立体重心的坐标公式为:1Tx xdxdydzV=,1Ty ydxdydzV=,1Tz zdxdydzV=.这里x ,y ,z 是区域T 的几何重心的坐标。例:求平面0x =,0z =,1y =,3y =,23x z +=所围之棱柱的重心坐标。 解:先求棱柱的体积3332013330103203(321(3292z TV dxdydz dx dy dzxdx dy x dx x x -=-=-=-=现在求重心的坐标338201022199xT x xdxdydz xdx dy dz -=, 338201022299x T y ydxdydz dx ydy dz -=, 3382010221992x T z zdxdydz dx dy zdz -=.参考文献：微积分与解析几何 电子工业出版社， 1. ， 19