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,第二节标准正交基,设V是一个n维欧氏空间，在V中取定一个基为1,2,n，则对于V中任意两个向量和，有,从而由内积的性质，得,上式表明与的内积可以通过基向量之间的内积以及向量在这个基下的坐标来表示。,若令,记,则与的内积可表示为,其中,分别为，在基1,2,n下的坐标向量，称矩阵A为基1,2,n的度量矩阵。,例1设1，2，3，4是欧氏空间V的一个基，其度量矩阵为,是V中的两个向量，试求（,）.,解,容易看出，如果度量矩阵A是单位矩阵E,那末向量内积的表达形式最简单。,定义5在欧氏空间V中，一组非零的两两正交的向量组称为欧氏空间的一个正交向量组。,定义6在n维欧氏空间V中，由n个两两正交的非零向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量构成的正交基称为标准正交基。,对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。设1,2,n是一个标准正交基，由定义，有,因此，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵。,在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来。设,则,于是，,在标准正交基下，向量的内积有特别简单的表达式。设,于是，,定理2设1,2,n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，若,则向量组1,2,n是V的一个标
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