概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

试题A一、填空题1设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生 2设 A、B为随机事件， ，。则 3若事件A和事件B相互独立, ，则 4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量分布律为则A=_7. 已知随机变量X的密度为,且,则_ _8. 设,且,则 _9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_10.若随机变量在（1，6）上服从均匀分布，则方程x2+x+1=0有实根的概率是 11.设，则 12.用（）的联合分布函数F（x,y）表示 13.用（）的联合分布函数F（x,y）表示 14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。15.已知，则 16.设，且与相互独立，则 17.设的概率密度为，则 18.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在0，6上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，22），X3服从参数为=3的泊松分布，记Y=X12X2+3X3，则D（Y）= 19.设，则 20.设是独立同分布的随机变量序列,且均值为,方差为,那么当充分大时,近似有 或 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的，都精确有 或 .21.设是独立同分布的随机变量序列,且， 那么依概率收敛于 . 22.设是来自正态总体的样本，令 则当 时。23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 24.设X1,X2,Xn为来自正态总体的一个简单随机样本，则样本均值服从 二、选择题1. 设A,B为两随机事件，且，则下列式子正确的是 （A）P (A+B) = P (A); （B）（C） （D）2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/54. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则与也互不相容。 （B）若A，B相容，那么与也相容。（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。（D）若A，B相互独立，那么与也相互独立。5. 若，那么下列命题中正确的是 （A） （B） （C） （D）6 设,那么当增大时， A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。7设X的密度函数为，分布函数为，且。那么对任意给定的a都有 A） B） C） D） 8下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A） B） C） D） ，其中9 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).10已知随机变量X的密度函数f(x)=(0,A为常数)，则概率P（a0）的值 A）与a无关，随的增大而增大 B）与a无关，随的增大而减小 C）与无关，随a的增大而增大 D）与无关，随a的增大而减小11,独立,且分布率为 ,那么下列结论正确的是 A） ） C）以上都不正确12设离散型随机变量的联合分布律为 且相互独立，则 A） B） C） D） 13若，那么的联合分布为 A） 二维正态，且 B）二维正态，且不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对14设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max X,Y的分布函数是 A）FZ（z）= max FX(x),FY(y); B) FZ（z）= max |FX(x)|,|FY(y)| C) FZ（z）= FX（x）FY(y) D)都不是15下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。 A）f(x,y)=B) g(x,y)=C) (x,y)= D) h(x,y)=16掷一颗均匀的骰子次，那么出现“一点”次数的均值为 A） 50 B） 100 C）120 D） 15017 设相互独立同服从参数的泊松分布，令，则 A）1. B）9. C）10. D）6.18对于任意两个随机变量和，若，则 A） B）C）和独立 D）和不独立19设，且，则= A）1， B）2， C）3， D）020 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则是X和Y的 A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件； C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件21设其中已知，未知，样本，则下列选项中不是统计量的是 A） B） C） D）22设 是来自的样本，那么下列选项中不正确的是 A）当充分大时，近似有 B） C） D）23若那么 A） B） C） D）24设为来自正态总体简单随机样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是 A) B) C) D) 25设X1,X2,Xn，Xn+1, ,Xn+m是来自正态总体的容量为n+m的样本，则统计量服从的分布是 A) B) C) D) 三、解答题110把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。3）两套中至少有一套放在一起。3.调查某单位得知。购买空调的占15，购买电脑占12，购买DVD的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD占10%，购买电脑和DVD占5，三种电器都购买占2。求下列事件的概率。1）至少购买一种电器的；2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的；4仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。5 一箱产品，A，B两厂生产分别个占60，40，其次品率分别为1，2。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？6 有标号1n的n个盒子，每个盒子中都有m个白球k个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。7从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回8设随机变量X的密度函数为 ,求 (1）系数A, (2) (3) 分布函数。9对球的直径作测量，设其值均匀地分布在内。求体积的密度函数。10设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。11公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高,问车门的高度应如何确定？12 设随机变量X的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-). 求：（1）系数A与B； （2）X落在（-1，1）内的概率； （3）X的分布密度。13把一枚均匀的硬币连抛三次，以表示出现正面的次数，表示正、反两面次数差的绝对值 ，求的联合分布律与边缘分布。14设二维连续型随机变量的联合分布函数为求（1）的值， （2）的联合密度， （3） 判断的独立性。15设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=,求 （1）系数A；（2）落在区域D：的概率。16 设的联合密度为，（1）求系数A，（2）求的联合分布函数。17上题条件下：（1）求关于及的边缘密度。 （2）与是否相互独立？ 18在第16）题条件下，求和。19盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数的数学期望和方差。20 有一物品的重量为1克，2克，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?21 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。22设排球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？23一袋中有张卡片，分别记为1，2，从中有放回地抽取出张来，以表示所得号码之和，求。24设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=求： 常数k， 及. 25设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在到之间的概率。26一系统是由个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为，且必须至少由 的部件正常工作，系统才能正常工作，问至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 ？27甲乙两电影院在竞争名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于。28设总体服从正态分布，又设与分别为样本均值和样本方差，又设，且与相互独立，求统计量 的分布。29在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以表示次称量结果的算术平均值，为使成立，求的最小值应不小于的自然数？30证明题 设A，B是两个事件，满足，证明事件A，B相互独立。31证明题 设随即变量的参数为2的指数分布，证明在区间（0，1）上服从均匀分布。20试题A一、填空题1设 是来自总体 的简单随机样本，已知，令 ，则统计量服从分布为 （必须写出分布的参数）。2设，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体中抽取的样本，则的矩估计值为 。3设，是从总体中抽取的样本，求的矩估计为 。4已知，则 。5和都是参数a的无偏估计，如果有 成立 ，则称是比有效的估计。6设样本的频数分布为X01234频数13212则样本方差=_。7设总体XN（，），X1，X2，Xn为来自总体X的样本，为样本均值，则D（）_。8设总体X服从正态分布N（，），其中未知，X1，X2，Xn为其样本。若假设检验问题为，则采用的检验统计量应_。9设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, ，xn）落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_。10设样本X1，X2，Xn来自正态总体N（，1），假设检验问题为：则在H0成立的条件下，对显著水平，拒绝域W应为_。计算题1.已知某随机变量服从参数为的指数分布，设是子样观察值，求的极大似然估计和矩估计。（10分）2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（，）（8分）3.某包装机包装物品重量服从正态分布。现在随机抽取个包装袋，算得平均包装袋重为，样本均方差为，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（）（）（8分）4.设某随机变量的密度函数为 求的极大似然估计。（6分）5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）试题A参考答案一、填空题1 （1） （2） （3） 或 2 0.7， 33/7 ， 44/7! = 1/1260 ， 50.75， 6 1/5， 7，1/2， 80.2， 92/3， 104/5， 11， 12F(b,c)-F(a,c)， 13F (a,b)， 141/2， 151.16， 167.4， 171/2， 1846， 198520； 21， 22，1/8 ， 23=7，S2=2 ， 24， 二、选择题 1A 2D 3B 4D 5D 6C 7B 8B 9C 10 C11C 12A 13C 14C 1 5B 16B 17C 18B 19A 20 C21C 22B 23A 24B 25C 三、解答题 1. 8/15 ； 2. （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21; 3. （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72; 4. 0.92;5. 取出产品是B厂生产的可能性大。 6. m/(m+k);7.（1）123410/13(3/13)(10/12)(3/13)(2/12)(10/11)(3/13)(2/12)(1/11)（2） 8. （1）A1/2 ， （2） ， （3） 9. ， 10. 11. 提示：，利用后式求得（查表）12. A=1/2，B=； 1/2； f (x)=1/(1+x2)12313/83/83/431/81/81/41/83/83/81/8113.14. （1） ；（2） ；（3） 独立 ；15. (1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8) 16. （1） （2） 17. （1） ； （2）不独立18. ； 19. 20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场23. ; 24. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/14425. 0.9475 26. 0.9842 27. 537 28. 29. 1630. 提示：利用条件概率可证得。31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为 ，利用的反函数即可证得。试题A参考答案一、填空题1， 2=1.71， 3， 40.5， 562 ， 7， 8(n-1)s2或， 90.15 ， 10，其中三、计算题1（分）解：设是子样观察值 极大似然估计： 矩估计：样本的一阶原点矩为：所以有：2（分）解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为： 由题得： 代入即得：所以为：3（分） 解：统计量为：，：，代入统计量得 所以不成立，即其方差有变化。4（6分）解：极大似然估计： 得 5（分） 解： 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为： 由题意得：代入计算可得 化间得：概率论与数理统计B一单项选择题（每小题3分，共15分）1设事件A和B的概率为 则可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/62. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对3投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D)以上都不对4某一随机变量的分布函数为，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）(A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对二填空题（每小题3分，共15分）1设A、B是相互独立的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则= .2设随机变量，则n=_.3随机变量的期望为，标准差为，则=_.4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_.5设连续型随机变量的概率分布密度为，a为常数，则P(0)=_.三(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率(1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四(本题10分) 设随机变量的分布密度为(1) 求常数A; (2) 求P(1)； (3) 求的数学期望.五(本题10分) 设二维随机变量(,)的联合分布是1=24500.050.120.150.0710.030.100.080.1120.070.010.110.10(1) 与是否相互独立? (2) 求的分布及；六(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90，其他9盒为20.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5，某人要采购一批零件，他希望以95的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：,)九(本题6分)设事件A、B、C相互独立，试证明与C相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为_.十测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度.估计，求总体温度真值的0.95的置信区间. (注：,) 概率论与数理统计B答案一1（D）、2.（D）、3.（A）、4.（C）、5.（C）二10.85、2. n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/4三把4个球随机放入5个盒子中共有5