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文档简介

一、矩母函数,矩母函数和特征函数,1定义,称的数学期望,为随机变量X的矩母函数。,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对逐次求导，并计算在点的值：,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量的矩母函数分别为，,则其和,的矩母函数为,4.母函数定义：设X是非负整数值随机变量，分布律PX=k=pk，k=0,1,则称为X的母函数。,性质：(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定(2)设P(s)是X的母函数，若EX存在，则EX=P(1)若DX存在，则DX=P(1)+P(1)-P(1)2,(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非负整数值随机变量，则的母函数H(s)=G(P(s),EY=ENEX1其中G(s),P(s)分别是N,X1的母函数。,证明：(1),(2),设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1,，则Z=X+Y的分布律为PZ=k=ck,其中ck=p0qk+p1qk-1+pkq0设X,Y,Z的母函数分别为PX(s),PY(s),PZ(s)，即有,(3),(4),欧拉公式：,二、特征函数,1.特征函数,设X为随机变量，称复随机变量的数学期望,为X的特征函数，其中t是实数。,还可写成,分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量X，特征函数为概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为,对于n维随机向量X=(X1,X2,Xn)，特征函数为,性质：(1)。(2)在（-，）上一致连续。(3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则,kn当k=1时，EX=；当k=2时，DX=。,(4)是非负定函数。(5)若X1,X2,Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2+Xn的特征函数为(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定。,如果随机变量X为连续型，且其特征函数绝对可积，则有反演公式：,（相差一个负号的傅立叶逆变换）,（相差一个负号的傅立叶变换）,例1,设随机变量X服从参数为的泊松分布，求X的特征函数。,解,由于,所以,麦克劳林公式,例2,设随机变量X服从a，b上的均匀分布，求X的特征函数。,解,X的概率密度为,所以,例3：设X服从二项分布B(n,p)，求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX。,解:X的分布律为P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,n,例4：设XN(0,1)，求X的特征函数。解:,例5：设随机变量X的特征函数为gX(t)，Y=aX+b，其中a,b为任意实数，证明Y的特征函数gY(t)为。证：,例6：设随机变量YN(,2)，求Y的特征函数为gY(t)。,解：XN(
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