特征值特征向量的计算.ppt

定义1设A为n阶方阵，X是n维向量，如果存在数l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量,方程AX=lX,AX-lX=O,(A-lE)X=O,特征值:使n元齐次方程AX=lX有非零解的数l0,A的对应于l0的特征向量：,即不论l取何值，方程AX=lX一定有解,43矩阵的特征值和特征向量,例如：对，取l=4，代入方程AX=lX,(A-4E)X=O,有非零解,所以，l=4是矩阵A的一个特征值,对，取，得一个基础解系,则方程(A-4E)X=O的全部解为：,c为任意常数,A的属于l=4的特征向量：,c0,1、求n阶方阵A的特征值：,数l0是A的特征值,l0使方程AX=lX有非零解,因此：l0是A的特征值,l0使成立,求A的特征值步骤：,(1)计算n阶行列式,解得方程的根l1，l2，ln，,则l1，l2，ln即是A的特征值,设,则方程即是的n次方程,在复数域上，方程一定有n个根。,方程,定义2设A为n阶方阵，为其特征值组，则其特征方程可表示为：,则称为的代数重数(重数)，而特征子空间的维数称为几何重数(度数)。,显然：,解：,令，得l1=-1，l2=7,则A的特征值为l1=-1，l2=7,【例1】求的特征值,2、求A的属于特征值l的特征向量,设li是A的特征值，则方程AX=li,X有非零解.,即方程(A-liE)X=O有非零解，,方程组(A-liE)X=O的全部非零解,A的对应于特征值li的特征向量:,2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系V1、V2、Vs,步骤：1）把l=li代入方程(A-liE)X=O,得一齐次线性方程组(A-liE)X=O,3）A的属于特征值li的特征向量为：,是不全为零任意常数,【例2】求矩阵的特征值与特征向量,解：,得l1=2，l2=l3=1（二重根）,则A的特征值为l1=2，l2=l3=1,把l1=2代入方程(A-lE)X=O，得,(A-2E)X=O,得一基础解系,于是，A的属于l1=2的全部特征向量为：,把l2=l3=1代入方程(A-lE)X=O，得,(A-E)X=O,于是，A的属于2=1的全部特征向量为：,解：,得1=-2，2=3=7（二重根）,则A的特征值为1=-2，2=3=7,把l1=-2代入方程(A-lE)X=O，得,(A+2E)X=O,【例3】求矩阵的特征值与特征向量,于是，A的属于l1=-2的全部特征向量为：,把l2=l3=7代入方程(A-lE)X=O，得,令分别取,，得基础解系,于是，A的属于l2=l3=7的全部特征向量为：,定理1n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。,即若是属于特征值l1的特征向量,是属于特征值l2的特征向量,证明：设l1、l2、lm是A的m个不同的特征值，a1、a2、am是分别属于l1、l2、lm的特征向量，,即是方程的非零解,要证：线性无关,设：,即有，且,在(1)式两边左乘A，得,在(2)式两边左乘A，得,做矩阵乘积:,，即B可逆,不同特征值对应的特征向量线性无关,所以：,则：,定理2设l是A的特征值，a是A的属于l的特征向量，则:(1)kl是kA的特征值(k为任意常数)(2)lm是Am的特征值(m为正整数)(3)当A可逆时，l0，且l-1是A-1的特征值,因为a是A的属于l的特征向量，,即a是方程AX=lX的非零解，,所以有Aa=la且a0,证（1）：kl是kA的特征值,且a0,，所以a是方程kAX=klX的非零解,kl是kA的特征值,因为(kA)a,要证方程(kA)X=(k)X有非零解,=k(Aa),=k(la),=(kl)a,先证当A可逆时，l0：,反证：若不然，l=0,由Aa=la,，得Aa=0,证（3）当A可逆时，l0，且l-1是A-1的特征值,再证l-1是A-1的特征值：,因为Aa=la，,两边左乘A-1，得,即a是方程A-1X=l-1X的非零解,故l-1是A-1的特征值,【例4】设四阶方阵A满足求的一个特征值。,解：,即A可逆,由,所以l=-3是A的一个特征值,且由,再由定理2的（1）可知：,定理3矩阵A与其转置矩阵A有相同的特征值,证明：,即A与A有相同的特征多项式,故A与A有相同的特征值,定理4设l1、l2、ln是A的n个特征值，则,说明（1）利用本定理结论(1)可检验所求的特征值是否正确。,（2）由结论(2)可得性质：,（1）l1+l2+ln=a11+a22+ann,（2）l1l2ln,定义3若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若：,则称A与B相似。,定理5若矩阵A、B相似，则A、B具有相同的本征值。