2017年度大梦杯福建省初中数学竞赛试题答案.doc

2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2017年3月19日 9001100 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1设，则的整数部分为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】 B 【解答】由，知。于是，。因此，的整数部分为2。（注：）2方程的所有实数根之和为（ ）A B3 C5 D7【答案】 A 【解答】方程化为。即，。解得。经检验是原方程的根。 原方程所有实数根之和为1。3如图，、三点均在二次函数的图像上，为线段的中点，且。设、两点的横坐标分别为、（），则的值为（ ）A3 B C D【答案】 D （第3题）【解答】依题意线段的中点的坐标为。由，且，知点坐标为。由点在抛物线上，知。整理，得，即。结合，得。4如图，在中，为线段的中点，在线段内，与交于点。若，且，则的值为（ ）A B C D【答案】 B 【解答】如图，过作与的延长线交于点。则由可得，。（第4题） 。又由为中点，得为中点。 。 。 。或解：对直线及应用梅涅劳斯定理得，。由为线段的中点，知。又，因此，。结合，利用勾股定理得，。所以，。5如图，为的外接圆的圆心，为外接圆半径，且。直线、分别交的边于、，则的值为（ ）A B C D【答案】 C 【解答】由条件及等比定理，得，（第5题）同理，。 。又， 。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6记函数（）的最大值为，最小值为，则的值为 。【答案】 8 【解答】 ， 时，取最小值，即；时，取最大值，即。 。7已知二次函数（）的图像与轴交于不同的两点、， 为二次函数图像的顶点，。若是边长为2的等边三角形，则 。【答案】 【解答】依题意有两个不同的实根，设为，则。 ， ，即。又由，及，知，即。 ，。8如图，在中，为边上的高，为线段的中点，且。若，则内切圆的半径为 。【答案】 【解答】依题意，易知为中点，。又平分， 。结合，得。（第8题） ，。 ，。 内切圆半径为。9若二次函数（）的图像与直线在轴左侧恰有1个交点，则符合条件的所有的值的和为 。【答案】 【解答】依题意，关于的方程，即恰有1个负根或者两个相等的负根。有下列三种情形：（1）方程有两个相等的负根。则，解得或。均满足。因此，符合要求。（2）方程两根中一根为零，另一根为负数。则，解得。满足。因此，符合要求。（3）方程两根中一根为正数，另一根为负数。则，解得。不满足。综合（1）、（2）、（3），得符合条件的的值为，。因此，符合条件的所有的值的和为。10若正整数恰有90个不同的正因数（含1和本身），且在的正因数中有7个连续整数，则正整数的最小值为 。【答案】 【解答】 任意连续7个正整数的乘积能被整除， 的正因数中必定有，这四个数。 正整数具有形式：（，为正整数，）。由正整数恰有90个正因数，知，其中为正整数。而90分解为4个大于1的正整数的乘积的分解式只有一种：。 ，。 的最小值为，此时有连续正因数1，2，3，4，5，6，7。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11求方程的正整数解。【解答】方程化为。将方程视为的方程，得为完全平方数。 5分 为完全平方数。设（为非负整数），则。 。 为质数， ，或。 10分又为非负整数，且。 ，或。 15分 （舍去），或。将代入方程，得，解得，或。 原方程的正整数解为，或。 20分12如图，在等腰三角形中，是边的中点，是边上一点，直线、交于点，且。求证：（1）；（2）。【解答】（1）如图，连结。由条件知，。（第12题） 。 5分 ， 。 。又， 。 。 10分又由，知。 。由此可得，即。 ， 。 15分（2）由（1），知， 。又由（1），知。结合（1）中，可得。 。 20分13若存在正整数，（）使得成立，其中，为不超过的最大整数。（1）求的最小值；（2）当取最小值时，求使成立，且的正整数的个数。【解答】（1） 对任意正整数，。 5分 对任意正整数，。 存在正整数，（）使得成立， 存在正整数，使得。于是，。 又时， 的最小值为12。 10分（2）时，由知，。 （为非负整数）。 当取最小值12时，当且仅当（为非负整数）时，成立。 15分由知，。因此，符合条件的正整数有个。 20分 14将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明：（1）对任意正数，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段；（2）无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形；（3）无论如何染色，平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形？【解答】（1）在平面内任作一个边长为的等边。则的三个顶点、中必有两点同色。所以，存在两端点同色，且长为的线段。因此，对任意正数，无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段。 5分（2）对任意正数，如图，设、同色，且（由（1）知，、存在）。以为直径作圆，设为圆的内接正六边形。若、中存在一点与、同色，不妨设点与、同色，则为直角三角形，其中，且三顶点同色。 10分若、都与、异色，则、四点同色.则为直角三角形，其中，且三顶点同色。因此，无论如何染色平面上总存在三个顶点