2019届高三数学上学期第二次模拟考试试卷 文(含解析).doc

2019届高三数学上学期第二次模拟考试试卷 文(含解析)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得，故，故选A考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知点A（1，1），B（2，3），向量=（-4，-3），则向量=（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出，从而根据，即可求出向量的坐标【详解】由题意，点，所以，则BC=ACAB=(4,3)(1,2)=(5,5)，故选：A【点睛】本题主要考查了坐标求向量坐标的方法，向量坐标的减法运算，其中解答中熟记向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.设a，bR，那么“ab1”是“ab0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：a=2,b=1,ab1，但a1是ab0的必要不充分条件.考点：充要条件4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角，的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为（35，45）和（-45，35），则cos（+）的值为（）A. -2425B. -725C. 0D. 2425【答案】A【解析】cos=35,sin=45,cos=45,sin=35cos(+)=coscossinsin=2425 ，故选A。点睛：利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：(1)角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ；(2)纵坐标y；(3)该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)5.设a=log212，b=log23，c=(14)23，则（）A. cabB. bacC. acbD. cba【答案】C【解析】【分析】根据题意得到log2121,0(14)231，从而可得出a,b,c的大小关系，即可得到答案【详解】由题意，根据对数的运算，可得a=log212 log22=1 ，根据指数幂的运算，可得c=(14)-230，排除B选项.由于fe=2e2,fe2=2e23，fefe2，函数单调递减，排除C选项.由于fe100=2e1001010，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 43B. 42C. 4D. 433【答案】C【解析】由三视图复原几何体可得：它是一个侧放的四棱锥，它的底面是直角梯形，一条侧棱的长垂直于底面，高为2，这个几何体的体积：132+4222=4.故选C.点睛：根据几何体求体积，主要熟悉椎体的计算公式即可.10.在三棱锥P-ABC中，|PA|=|AB|=|BC|=1，|AC|=|PB|=2，|PC|=3，则异面直线PC与AB所成角的正弦值为（）A. 33B. 63C. 23D. 24【答案】B【解析】【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P-ABCD，其中PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，AD=2，BC=4，ADAB，AP=2，AB=2即可得出【详解】由题意，在三棱锥P-ABC中，PA=AB=BC=1，AC=PB=2，PC=3，则AB2+BC2=AC2，PA2+AB2=PB2，PA2+AC2=PC2，所以ABBC，PAAB，PAAC，ABAC=A，PA平面ABC，以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（22，22 ，0），C（0，2，0），P（0，0，1），AB=（22，22，0），PC=（0，2，-1），设异面直线PC与AB所成角为，则cos=33，则sin= 63异面直线PC与AB所成角的正弦值为63故选：B【点睛】本题考查了几何体的三视图及线面角的求解，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.11.已知f（x）=-x2-2x+3,x0x2-4x+3,x0，不等式f（x+a）f（2a-x）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (-,-2)B. (-,0)C. (0,2)D. (-2,0)【答案】A【解析】试题分析：二次函数y=x24x+3的对称轴为x=2，则该函数在(,0)上单调递减，则x24x+33，同样函数y=x22x+3在(0,+)上单调递减，-x22x+3f(2ax)得到x+a2ax，即2xa；则2xa在a,a+1上恒成立；则2(a+1)a,a1-f(x)知fx+f(x)1，exfx+exf(x)ex0,构造函数Fx=exfx，则exfxex，易知Fx在R上单调递增，且Fx=exfx任一点处斜率比y=ex相应点的斜率大，又f(0)=0，知F0=0，故作出y=exf(x)及y=ex-1的草图，如下：通过图像分析exf(x)ex-1的解集为(0,+)，故选A点睛：构造函数Fx=exfx，通过分析Fx与y=exf(x)的图像关系，作出图像，是解决本题的关键.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，其中|=3，|=2，且（-），则向量和的夹角是_【答案】6【解析】【分析】利用向量垂直的数量积为0列出方程，利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角【详解】由题意，设两个向量的夹角为，因为|a|=3，|b|=2，且（a-b）a，所以（a-b）a=|a|2-ab=|a|2-|a|b|cos=3-23cos=0，解得cos=32，因为0，所以= 6 ，故答案为：6【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式，其中解答中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题14.曲线y=x+lnx在（1，f（1）处的切线方程为_【答案】y=2x-1【解析】【分析】求出函数的导数，计算f1=1,f1=2的值，即可求出切线方程【详解】由题意，函数fx=x+lnx，则fx=1+1x，且f1=1,f1=2，故切线方程是：y-1=2（x-1），即y=2x-1，故答案为：y=2x-1【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义，合理利用导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题15.若sin（6-）=13，则cos（23+2）的值为_【答案】79【解析】因为sin(6)=13 ,所以cos(3+)=sin2(6)=13 ,而cos(23+2)=cos2(3+)=2cos(3+)21=2191=79 .点睛:本题主要考查三角函数诱导公式以及二倍角公式, 属于中档题. 本题注意拆角技巧,3+=2(6) ,这是解答本题的关键.16.已知四边形ABCD中，AB=CD=1，AD=2BC=2，B+D=54，则BD的长为_【答案】655【解析】【分析】在ABD和CDB中，两次利用余弦公式，求得3cosA-sinA=1，将C=34A，代入求得cosA=35的值，可求得BD的长，得到答案【详解】在ABD中由余弦定理可知：BD2=AB2+AD2-2ABADcosA，在CDB中与余弦定理可知：BD2=DC2+BC2-2ABADcosC，将AB=CD=1，AD=2BC=2代入，整理得：2cosA-2cosC=1，B+D=54，则A+C=342cosA-2cos（34-A）=1，整理得：3cosA-sinA=1，两边平方（3cosA-sinA）2=9cos2A-6cosAsinA+sin2A=cos2A+sin2A，整理得：sinA 43=cosA，cosA=35，BD2=AB2+AD2-2ABADcosA=135，DB=655故答案为：655 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列an是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=2n(an+2)，求数列bn的前n项和Sn【答案】（1）an=2n（2）Sn=nn+1【解析】试题分析：（1）设数列an的公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项；（2）bn=2n(2n+2)=1n-1n+1，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和试题解析：(1)设数列an的公差为d，由a1=2且a2,a3,a4+1成等比数列，得(22d)2(2d)(33d)，解得d1或d2.当d1时，a30，这与a2，a3，a41成等比数列矛盾，舍去所以d2，所以ana1(n1)d2n，即数列an的通项公式为an2n，(nN*)(2)bn=2n(2n+2)=1n(n+1)=1n-1n+1，所以Sn=b1+b2+bn=(1-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1）已知数列的通项公式为an=1nn+1，求前n项和： an=1nn+1=1n1n+1；（2）已知数列的通项公式为an=12n12n+1，求前n项和：an=12n12n+1=1212n112n+1；（3）已知数列的通项公式为an=1n+n+1，求前n项和:.an=1n+n+1=n+1n18.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA-2cosCcosB=2c-ab（1）求sinCsinA的值（2）若cosB=14，b=2，求ABC的面积S【答案】（1）2 （2）S=154【解析】第一问中利用cosA-2cosCcosB=2c-ab,正弦定理化为角的关系式，然后得到比值因为cosA-2cosCcosB=2c-ab=2sinCsinAsinB(cosA-2cosC)sinB=(2sinCsinA)cosBsinCsinA=2第二问中，因为cosB=14，b=2c=2ab2=a2+c22accosB=4a2a=1,c=2,S=12acsinB=154结合余弦定理和面积公式得到。19.已知数列an满足a1=1，且点P（an，an+1）在函数f（x）=x+2上；数列bn的前n项和为Sn，满足Sn=2bn-2，nN*（）求数列an、bn的通项公式；（）设数列cn满足cn=anbn，求数列cn的前n项和为Tn【答案】（1）an=2n-1，bn=2n；（2）Tn=6+（2n-3）2n+1【解析】【分析】（1）由题意可得an+1-an=2，由等差数列的定义和通项公式可得an，运用数列的递推式和等比数列的和通项公式可得bn； （2）求得cn=（2n-1）2n，由数列的错位相减法求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】（1）点P（an，an+1）在函数f（x）=x+2上，可得an+1-an=2，即有an为以1为首项，2为公差的等差数列，可得an=2n-1，又Sn=2bn-2，可得b1=S1=2b1-2，即b1=2，n2时，Sn-1=2bn-1-2，又Sn=2bn-2，两式相减可得bn=2bn-2-2bn-1+2，即bn=2bn-1，可得bn=2n；（2）cn=anbn=（2n-1）2n，前n项和为Tn=12+34+（2n-1）2n，2Tn=14+38+（2n-1）2n+1，作差可得-Tn=12+2（4+8+2n）-（2n-1）2n+1=2+24(1-2n-1)1-2-（2n-1）2n+1，化简可得Tn=6+（2n-3）2n+1【点睛】等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，数列的递推式的运用，数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题20.已知等腰梯形ABCE（图1）中，ABEC，AB=BC=12EC=4，ABC=120，D是EC中点，将ADE沿AD折起，构成四棱锥P-ABCD（图2）（）求证：ADPB（）当平面PAD平面ABCD时，求三棱锥C-PAB的体积【答案】（）见解析；（）8【解析】【分析】（）取AD中点K，连接PK、BK，BD，由已知可得PKAD，BKAD，再由线面垂直的判定可得AD平面PBK，则ADPB； （）由平面PAD平面ABCD，利用面面垂直的性质可得PK面ABCD，分别求出三角形ABC的面积与PK的长度，再由等积法求三棱锥C-PAB的体积【详解】（）证明：取AD中点K，连接PK、BK，BD，PA=PD，K为AD中点，PKAD，又AD=AB，DAB=60，ADB为等边三角形，则AB=BD，则BKAD，又PKBK=K，AD平面PBK，则ADPB；（）解：由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PK平面PAD，PKAD，得PK平面ABCD，由已知AB=BC=4，ABC=120，得SABC=43，又PK=23，VC-PAB=VP-ABC=134323=8【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，着重考查了推理与论证能力，及运算与求解能力，属于基础题21.已知函数f（x）=ex-alnx-e（aR），其中e为自然对数的底数（1）若f（x）在x=1处取到极小值，求a的值及函数f（x）的单调区间；（2）若当x1，+）时，f（x）0恒成立，求a的取值范围【答案】（）见解析;（）(,e. 【解析】【试题分析】（1）令f1=0可求得a的值.利用二阶导数求得函数fx点的单调区间.（2）对fx求导，并对a分成a0,0e，三类讨论函数的最小值，由此求得a的取值范围.【试题解析】（）由f(x)=ex-alnx-e(aR)，得f(x)=ex-ax因为f(1)=0，所以a=e，所以f(x)=ex-ex=xex-ex 令g(x)=xex-e，则g(x)=ex(1+x)，当x0时，g(x)0，故g(x)在x(0,+)单调递增，且g(1)=0,所以当x(0,1)时,g(x)0.即当x(0,1)时，f(x)0.所以函数f(x)在(0,1)上递减，在(1,+)上递增. （）【法一】由f(x)=ex-alnx-e，得f(x)=ex-ax（1）当a0时，f(x)=ex-ax0，f(x)在x1,+)上递增f(x)min=f(1)=0（合题意） （2）当a0时，f(x)=ex-ax=0，当x1,+)时，y=exe当a(0,e时，因为x1,+)，所以y=axe，f(x)=ex-ax0.f(x)在x1,+)上递增，f(x)min=f(1)=0（合题意） 当a(e,+)