高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用课件 文 北师大版.ppt

3.3导数的综合应用,考纲要求:1.会用导数解决实际问题.2.会利用导数研究函数的零点、方程的根及不等式证明类问题.,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1利用导数证明不等式例1已知函数f(x)=ax-ex(a0).(1)若a=,求函数f(x)的单调区间;(2)当1a1+e时,求证:f(x)x.,(1)解:当,令f(x)=0,得x=-ln2.当x0;当x-ln2时,f(x)0,f(x)x成立.当1ln(a-1)时,F(x)0,F(x)在(-,ln(a-1)上递减,在(ln(a-1),+)上递增.F(x)F(ln(a-1)=eln(a-1)-(a-1)ln(a-1)=(a-1)1-ln(a-1),10,1-ln(a-1)1-ln(1+e)-1=0,F(x)0,即f(x)x成立.综上,当1a1+e时,有f(x)x.,考点1,考点2,考点3,知识方法,(方法二)令g(a)=x-f(x)=-xa+x+ex,只要证明g(a)0在1a1+e时恒成立即可.g(1)=-x+x+ex=ex0,g(1+e)=-x(1+e)+x+ex=ex-ex,设h(x)=ex-ex,则h(x)=ex-e,当x1时,h(x)0,h(x)在(-,1)上递减,在(1,+)上递增,h(x)h(1)=e1-e1=0,即g(1+e)0.由知,g(a)0在1a1+e时恒成立.当1a1+e时,有f(x)x.,考点1,考点2,考点3,知识方法,思考:利用导数证明不等式的常用方法有哪些?解题心得:证明不等式的常用方法:(1)若证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),如果F(x)0,则F(x)在(a,b)上是减函数,同时若F(a)0,则有F(x)0,即证明了f(x)g(x).(2)若证明F(x)0,可变形为F(x)=f(x)-g(x)0,即f(x)g(x),只需证f(x)maxg(x)min.(3)若证明F(x)0时,exx2-2ax+1.,(1)解:由f(x)=ex-2x+2a,xR知f(x)=ex-2,xR.令f(x)=0,得x=ln2,于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:故f(x)的递减区间是(-,ln2),递增区间是(ln2,+),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=-2ln2+2a=2(1-ln2+a).,考点1,考点2,考点3,知识方法,(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR.由(1)知当aln2-1时,g(x)的最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内递增.于是当aln2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0).而g(0)=0,从而对任意x(0,+),g(x)0,即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点2利用导数解决不等式恒成立问题例2已知函数f(x)=x3-3x2+bx+c在x=1处的切线是y=(3a-3)x-3a+4.(1)试用a表示b和c;(2)若函数在1,3上恒成立,求实数a的取值范围.,解:(1)因为f(x)=3x2-6x+b,所以f(1)=-3+b=3a-3,f(1)=b+c-2=1,即有b=3a,c=-3a+3.,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,解题心得:利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.,思考:利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点3利用导数求与函数零点有关的参数范围例3已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a)处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.,解:由f(x)=x2+xsinx+cosx,得f(x)=x(2+cosx).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a)处与直线y=b相切,所以f(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.,考点1,考点2,考点3,知识方法,(2)令f(x)=0,得x=0.f(x)与f(x)的情况如下:所以函数f(x)在区间(-,0)上递减,在区间(0,+)上递增,f(0)=1是f(x)的最小值.当b1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b1时,f(-2b)=f(2b)4b2-2b-14b-2b-1b,f(0)=11时,曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+).,考点1,考点2,考点3,知识方法,思考:如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?,解题心得:与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图像与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数交点问题),进而确定参数的取值范围.,考点1,考点2,考点3,知识方法,对点训练3已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,求a的取值范围.,考点1,考点2,考点3,知识方法,对点训练3设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在0,2上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,考点1,考点2,考点3,知识方法,1.利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,结合不等式的结构特征,直接或等价变形后构造相应的函数,将不等式的部分或者全部投射到函数上.通过导数运算判断出函数的单调性,利用单调性证明,或利用导数运算来求出函数的最值,利用