高考数学 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件.ppt

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程,【知识梳理】1.必会知识教材回扣填一填(1)直线的倾斜角定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴_与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角;规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为_;范围:直线的倾斜角的取值范围是_.,正向,向上,0,0,),(2)直线的斜率定义:若直线的倾斜角不是90,则其斜率k=_;计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则k=_.,tan,(3)两直线的平行、垂直与其斜率的关系,k1=k2,k1k2=-1,(4)直线方程的五种形式,y-y1=k(x-x1),y=kx+b,Ax+By+C=0(A2+B20),2.必备结论教材提炼记一记(1)过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程若x1=x2,且y1y2时,直线垂直于x轴,方程为_;若x1x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为_;若x1=x2=0,且y1y2时,直线即为y轴,方程为_;若x1x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为_.,x=x1,y=y1,x=0,y=0,(2)直线系方程与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC).与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).,3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:直接法、待定系数法.(2)数学思想:数形结合、分类讨论、转化与化归.,(3)记忆口诀:已知两点求斜率已知两点求斜率,横纵坐标分求差.纵标差比横标差,直线斜率就是它.横坐标差若为零,没有斜率不要怕.倾斜角和斜率直线倾斜角斜率,概念不同有关联.倾角非直正切值,直线斜率k出现.,两条直线平行不重合的平行线,倾斜角等是必然.倾斜角皆非直角,斜率相等亦出现.两条直线垂直直线垂直看斜率,积负倒数必垂直.斜率为零不存在,两条直线亦垂直.,【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)当直线l1和l2斜率都存在时,若k1=k2,则l1l2.()(4)在平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程.()(5)任何直线方程都能写成一般形式.(),【解析】(1)正确.直线的倾斜角仅反映直线相对于x轴的倾斜程度,不能确定直线的位置.(2)错误.当直线的倾斜角为90时,其斜率不存在.(3)错误.当k1=k2时,两直线可能平行,也可能重合.(4)错误.当直线与x轴垂直(斜率不存在)时,不能用点斜式方程表示.(5)正确.无论依据哪种形式求解,最后直线方程都能写成一般形式.答案:(1)(2)(3)(4)(5),2.教材改编链接教材练一练(1)(必修2P89练习T2改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x-2y+4=0平行，则m的值为_.【解析】因为直线x-2y+4=0的斜率等于所以过点A(m,4)和点B(1，m)的直线的斜率也是解得m=3.答案：3,(2)(必修2P100T5改编)一条直线经过点A(2,-3),并且它的斜率等于直线x+y=0的斜率的2倍，则这条直线的方程为_.【解析】由x+y=0,得y=-x,故所求直线的斜率又该直线过点A(2,-3),所以这条直线的方程为y-(-3)=(x-2),整理得答案：,3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014福建高考)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0,【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3).直线x+y+1=0的斜率为-1,且直线l与该直线垂直,故直线l的斜率为1.即直线l是过点(0,3),斜率为1的直线,用点斜式表示为y-3=x,即x-y+3=0.,(2)(2015济南模拟)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行，则a等于()A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或-3【解析】选A.由题意知两条直线的斜率均存在，因为两直线互相平行，所以所以a等于1或-3.,(3)(2013辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0,b)，B(a,a3).若OAB为直角三角形，则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)(b-a3-)=0D.|b-a3|+|b-a3-|=0,【解析】选C.根据直角三角形的直角的位置求解.若以O为直角三角形顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不合题意.若A=,则b=a30,则B=，根据斜率关系可知a2=-1,所以a(a3-b)=-1,即b-a3-=0,以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件.,(4)(2015南昌模拟)已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2)，求第四个顶点D的坐标为_.,【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为ADCD,ADBC,所以kADkCD=-1，且kAD=kBC.所以解得所以,第四个顶点D的坐标为(2,3).答案：(2,3),考点1直线的倾斜角与斜率【典例1】(1)直线xcos+y+2=0的倾斜角的范围是()(2)(2015苏州模拟)若直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是.,【解题提示】(1)先求出直线的斜率,再求倾斜角的取值范围.(2)先确定直线PA,PB的斜率,再数形结合求解.,【规范解答】(1)选B.设直线的倾斜角为,则tan=-cos,又cos-1,1,所以-tan,又0,且y=tan在0,)及(,)上均为增函数，故,(2)如图,设PA与PB的倾斜角分别为,易求得直线PA的斜率是k1=5,直线PB的斜率是k2=-.当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由增至90,斜率的取值范围为5,+);当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90增至,斜率的变化范围是(-,-,故斜率的取值范围是(-,-5,+).答案:(-,-5,+),【一题多解】解答本题，你知道几种解法？解答本题，还有如下解法：设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.因为A,B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，所以(-2k+3+k+2)(3k-0+k+2)0,即(k-5)(4k+2)0,所以k5或k,即直线l的斜率k的取值范围是(-,-5,+).答案：(-,-5,+),【互动探究】若将本例题(2)中点P的坐标改为P(-3,2)，则直线l的斜率的取值范围是什么？【解析】因为P(-3,2),A(-2,-3),B(3,0)，则借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为,【规律方法】1.已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤(1)求出斜率k的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为90).(2)利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围.,2.直线的斜率与倾斜角的关系(1)当0,)且由0增大到()时，k由0增大到+.(2)当(,)时，k也是关于的单调函数,当在此区间内由()增大到()时，k由-趋近于0(k0).,【变式训练】(2014阜阳模拟)直线axbyc0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足()Aab0，bc0Bab0，bc0Cab0，bc0Dab0，bc0,【解析】选A.直线方程变形为y如图，因为直线同时要经过第一、二、四象限，所以,【加固训练】1.已知直线l的倾斜角满足条件sincos则l的斜率为(),【解析】选C.由sin+cos=得sincos=因为0180,所以sin0,cos0，所以90180.,2.若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()【解析】选B.依题意，可设P(x，1)，Q(7，y)，又因为线段PQ的中点坐标为(1，1)，所以2x7，21y.解得x5，y3.所以P(5，1)，Q(7，3)，直线l的斜率为,考点2两条直线平行、垂直的关系【典例2】(1)若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210平行，则a_.(2)若直线l3：(a2)x(2a)y1与直线l4：(a2)x(3a4)y=2互相垂直，则a的值为_.,【解题提示】(1)由两直线的斜率相等，在y轴上的截距不等即可求解.(2)由两直线垂直，则两直线的斜率之积等于1或一条直线的斜率等于0，另一条直线的斜率不存在,求解.,【规范解答】(1)直线l1：ax2y60的斜率为在y轴上的截距为3.又因为直线l1与直线l2平行，所以直线l2:x(a1)ya210的斜率存在且等于在y轴上的截距为-(a1).由两直线平行得，解得a2或a1.答案：2或1,(2)当a=2时，l3：xl4：y1.所以l3l4.当a=时，l3：y5x，l4:x=3.所以l3不垂直于l4.解得a=3.综上可知:a=2或3.答案：2或3,【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还有如下解法:因为直线l3:(a+2)x+(2-a)y=1与直线l4:(a-2)x+(3a-4)y=2互相垂直,所以(a+2)(a-2)+(2-a)(3a-4)=0,解上式得:a=2或a=3.答案:2或3,【规律方法】由一般式确定两直线位置关系的方法,【变式训练】(2015德阳模拟)若直线l1：x+ay-1=0与l2：4x-2y+3=0垂直，则a等于()A.B.-2C.2D.-【解析】选C.因为直线l1:x+ay-1=0与l2:4x-2y+3=0垂直，则14+(-2)a=0,解得：a=2.故选C.,【加固训练】1.直线l1的斜率为2，l1l2，直线l2过点(1,1)且与y轴交于点P，则点P的坐标为()A.(3,0)B.(3,0)C.(0,3)D.(0,3)【解析】选D.因为l1l2，且l1的斜率为2，所以l2的斜率为2，又因为l2过点(1,1)，所以l2的方程为：y12(x+1)，即y2x3，令x0得y3，所以点P的坐标为(0,3).,2.已知直线l的倾斜角为直线l1经过点A(3，2)，B(a,1)，且l1与l垂直，直线l2:2xby10与直线l1平行，则ab等于()A.4B.2C.0D.2,【解析】选B.依题意得l的斜率为1，因为l1与l垂直，所以l1的斜率为1，又因为直线l1经过点A(3，2)，B(a,1)，所以kAB1，解得：a0.由直线l2与直线l1平行，得1，b2，所以ab2.,考点3直线的方程知考情直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查,考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等.题型多为选择题或填空题.,明角度命题角度1:已知两个独立条件求直线方程【典例3】(2015沈阳模拟)若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为.【解题提示】可以选用直线方程的截距式,也可以选用直线方程的点斜式.,【规范解答】方法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.由题意得M(3,2).若a=0，即l过点(0,0)和(3，2)，所以直线l的方程为y=x，即2x-3y=0.若a0，设直线l的方程为因为直线l过点M(3,2),所以所以a=5,此时直线l的方程为=1,即x+y-5=0.综上，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,方法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k0，则直线l的方程为y-2=k(x-3).令y=0,得x=3-；令x=0，得y=2-3k.所以3-=2-3k,解得k=-1或所以直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.答案：x+y-5=0或2x-3y=0,命题角度2:与直线方程有关的最值问题【典例4】(2015苏州模拟)已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,O为坐标原点,则当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程为.【解题提示】利用点斜式表示出直线l的方程,求出A,B两点的坐标,根据条件“|MA|2+|MB|2取得最小值”即可确定直线的斜率,进而求出直线l的方程.,【规范解答】设直线l的斜率为k,则k0，直线l的方程为y-1=k(x-1),则A(),B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=(1-1+)2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+2+2=4,当且仅当即k=-1时，|MA|2+|MB|2取得最小值4，此时直线l的方程为x+y-2=0.答案：x+y-2=0,悟技法1.求直线方程的方法(1)直线法:根据已知条件选择恰当的直线方程形式,直接求出直线方程.(2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组),求出待定系数,从而求出直线方程.,2.解决直线方程问题的注意点(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在.(2)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.,通一类1.(2015太原模拟)已知直线l的斜率为1,在y轴上截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为()A.y=x+2B.y=x-2C.y=x+D.y=-x+2,【解析】选A.因为x-2y-4=0的斜率为,所以直线l在y轴上的截距为2,所以直线l的方程为y=x+2,故选A.,2.(2015长沙模拟)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,把直线l绕点M逆时针方向旋转45,得到的直线方程是()A.3x+y-6=0B.3x-y+6=0C.x+y-3=0D.x-3y-2=0,【解析】选A.由已知,得M(2,0),tan=2,090,所以450),则有所以a+b=(a+b)()=2+2+2=4,当且仅当即a=b=2时取“=”.所以直线方程为x+y-2=0.,4.(2015南充模拟)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点.下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号).存在这样的直线,既不与坐标轴平行,又不经过任何整点;如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;存在恰经过一个整点的直线.,【解析】令y=x+,既不与坐标轴平行又不经过任何整点,所以本命题正确.若k=,b=,则直线y=x+经过(-1,0),所以本命题错误.设y=kx为过原点的