数学建模-随机微分方程法.ppt

13.常见的数学建模方法(8)-随机微分方程法,实例:股票价格模型,1.股票价格的随机变化过程,股票价格的马尔科夫性质,在实际经济生活中,投资者都非常密切地注视着股票市场的变化,总想试图通过各种各样的分析,从股票市场的变化中寻找有用的信息而从中获利.,但事实上,这是不可能的!,因为假定根据过去一段时间内某种股票价格变化的情况,可以判断出在未来的一段时间内,例如在一个月后，这种股票将从现在价格每股10元上涨到每股15元左右.,由于一个成熟的市场上,所有的信息在市场上都能有效地(均匀、同时地)传播,这种股票价格变动的特征立即会被众多的投资者发现,投资者第二天开市就会马上买入这种股票,对这种股票的需求也会立即增加,从而导致这种股票的价格当即上扬,变成了每股20元，结果这种所谓已被“察觉”的一个月后必然获利机会瞬间就会消失.,这说明上面的“根据股票价格的历史发展情况可以推断出股票价格的今后发展情况”的假定是不成立的.,股票价格变化的这个性质被称为“股价具有弱市场有效性”(theweakformofmarketefficiency).,弱市场有效性主要是有两点内涵:,其一,现在的价格是过去所有信息的完全反映,没有任何信息的作用会持续到以后;,其二,对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出反映.,从数学上来说,这是一种称之为马尔科夫随机过程所具有的性质.,马尔科夫过程(Markovprocess)是一种特殊类型的随机过程.这个过程表明只有变量的当前值与未来的预测有关,而变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不相关.或者说,随机变量过去的取值与今后的取值是相互独立的.,因此,在建立股票价格的数学模型时,通常的假设是:股票价格遵循马尔科夫过程.在以下提及的一个的实例中，我们可以看到，这样的假设能经受实践的检验。,(2)维纳(Wiener)过程,i)基本维纳过程,在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它被称为基本维纳过程(wienerprocesses).物理学中最早用它来描绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为布朗运动(Brownianmotion).,如果变量z遵循基本维纳过程,则z必须满足两个基本性质:,其中是服从标准正态分布的一个随机变量.,当t0时,方程(*)可以写为:,.,(b)对于任何两个不同时间间隔t,z的值是相互独立的.,从性质(a),我们推得z本身具有正态分布,其中:,z的均值=,z的方差=,z的标准差=,.,性质(b)则隐含z遵循马尔科夫过程.,下面我们考虑在一段相当长的时间T中z值的变化量,我们将它表示为:z(T)z(0).,这可以被看作是在N个长度为t的小时间间隔中z的变化总量.这里N=T/t.,因此,z(T)z(0)=,其中i服从标准正态分布,且是相互独立的.,由此可得z(T)z(0)是正态分布的,且:,z(T)z(0)的均值=,z(T)z(0)的方差=,=Nt=T,因此,遵循维纳过程的随机变量,在任意长度为T的时间间隔内的变化量服从于均值为0、标准差为,的正态分布.,当t0时,体现维纳过程性质(a)的方程(*)可以写为:,.,对于维纳过程而言,我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该变量在该时刻的“平均漂移”,而称在单位时间处的平均漂移为该维纳过程的漂移率;同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该维纳过程的方差率.上面讨论到的维纳过程,其漂移率应是0,方差率应是1.这里,漂移率为0,意味着在未来任何时刻,z的期望值等于它的当前值;方差率为1,意味着在长度为T的一段时间段后,z的变化的方差为1T=T.,漂移率为0、方差率为1的维纳过程,我们常称之为基本维纳过程.生成基本维纳过程的Mathematica软件程序可以写为：,ii)一般化维纳过程(generalizedwienerprocess)在基本维纳过程的基础上,还可以定义一个广义类型的维纳过程.,dx=adt+bdz(#),设随机变量x满足以下等式:,其中a和b为常数,变量z遵循基本维纳过程,则称变量x遵循一般化维纳过程.,从一般化维纳过程的定义式(#)可以看出,adt项表明x是时间t的线性函数,而bdz项可被看作是添加到x的变动轨迹上的噪声或波动.换言之,一个线性变化过程与一个基本维纳(随机)过程的叠加结果便是一个一般化维纳(随机)过程.,生成一般化维纳过程的Mathematica软件程序可以写为：,随机微分方程(#)也可改写为:,容易看出,x的均值=at,x的方差=b2t,x的标准差=,类似i)中的讨论可得:x(T)x(0)的均值=aT,x(T)x(0)的方差=b2T,x(T)x(0)的标准差=,由此可以说,遵循一般化维纳过程的随机变量x,在任意长度为T的时间间隔内的变化量x(T)x(0)服从于均值为aT,方差为b2T的正态分布.(当a=0、b=1时,这个一般化维纳过程即成为基本维纳过程),iii)ITO过程,还可以考虑另一种类型更为复杂的马尔科夫随机过程,即著名的ITO过程(ITOprocess).如果变量x=x(t)服从ITO过程,则它的数学定义式为如下的随机微分方程:,dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz,其中参数a和b均是标的变量x和时间t的函数.,(3)股票价格的随机模型,在对任何资产（例如股票）进行投资时，投资者所关心的是对资产投资的回报率多大，而不是该资产的绝对增加量多大。例如，有两种股票A与B,假定它们每年每股都平均增加10元，股票A的市价为100元/股，股票B的市价为1000元/股。显然，股票A是投资者的最佳选择，因为它的回报率为10%，而股票B的回报率只有1%。,这个日投资回报率将遵循什么样的随机变化过程？我们来看一个实例。在图1中显示了阿根廷联合大企业股票PerezCompanc从1995年2月到1996年11月的价格走向趋势。图2显示了该股票在这一段时间中的日回报率随时间变化情况。图3显示了该股票日回报率具体计算过程。图4显示了日回报率经过标准化处理后的量的频率分布图，其中的函数曲线是标准正态分布密度函数。标准化处理后的量是指：,）,在进行股票投资时，如果记Si是第i天的股票价格，则投资的日回报率为：,根据与标准正态分布密度函数图像的对照，可以说统计数字反映出日回报率近似于正态分布，故我们可以假定：回报率是一个服从于正态分布的随机变量。也就是说：Ri=均值+标准差,其中是一个标准正态分布变量.,如果时间步长不是以天计算，而是为t，则回报率的均值应该与时间步长的大小相关，时间间隔越大，资产偏移平均而言也会越大，我们可以假定：均值=t,其中是一个常数。,在一个较长的时间段T上，根据数理统计学理论，回报率的样本标准差为：,这里M=T/t,为各时间点上的样本值，,为样本的算术平均值.,为了当t趋于零时，这个标准差成为有限值，上面表示式中和式的每一项从无穷小量纲级别上讲，必须是O(t),而由于每一项是回报率的平方，所以在小时段t上，资产回报率的标准差应该是O(),即可以表示为：,标准差=,，其中是一个常数。,这样就有：,，,也就是：,或者说，在连续意义下有：,这表明股票价格S=S(t)遵循ITO过程:dS=Sdt+Sdz,其中和均为常数,dz遵循(基本)维纳过程.这是一个特殊的ITO过程，随机变量服从这样的ITO过程，也被称为该随机变量服从“几何布朗运动”.,2.随机微积分中的ITO引理,(1)ITO引理的内容及其推导,任何一种衍生证券的价格都是这些衍生证券标的资产这个随机变量和时间的函数.如果标的资产随机变量服从Ito过程,则它的函数应服从什么样的随机过程?这方面的重要理论结果是一个日本数学家Ito在1952年所发现,称为Ito引理.,ITO引理假设变量x=x(t)遵循ITO过程:dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz,则函数G(x,t)遵循如下的ITO过程:,说明:（1）在普通微积分中,对于二元函数G(x,t)的微分dG应有,将dx=adt+bdz代入应得,但Ito引理指出,在随机微积分中,不是这个结论,右端应多一项:,.,（2）Ito引理还指出，以变量的随机过程作为基础的维纳过程恰好与以变量的函数的随机过程作为基础的维纳过程完全相同，两者都受同样的不确定性因素的影响。这在金融衍生产品的定价过程中具有非常重要的意义。,证明:根据二元函数的泰勒展开式,有:,因为,故,所以,这里,有性质:,它的方差,因此,具有非随机特征性质,并且当t趋向于零时,可以用它的期望值,替代.,它的期望,于是当t趋向于零时,就有:,(2)股票价格的对数正态分布特性,利用ITO引理立即可推导出股票价格的对数值所应遵循的随机过程为:,从而,这是因为如考虑S的函数G(S,t)=lnS,这里，股票价格S遵循几何布朗运动(ITO过程):dS=Sdt+Sdz,其中和均为常数,dz遵循(基本)维纳过程.根据ITO引理,由于,所以,这个方程表明,G(S,t)=lnS遵循一个一般化维纳过程,它的漂移率为,方差率为,根据上面对于一般化维纳过程的探讨可知,在当前时刻t和将来某一时刻T之间G(S,t)=lnS的变化量lnST-lnS是正态分布的,它的均值为:,方差为:,因此,也就是:,.换言之,股票价格服从于对数正态分布.,例.某一种股票,初始价格为40元,预期收益率为每年16%,波动率为每年20%.问:（1）六个月后,股票价格在什么范围内变动(95%的可能性)?（2）投资股票效益高于现金存入银行效益的可能性有多大？（假定银行半年期的储蓄利率为0.02）,解.(1)由股票价格服从于对数正态分布规律知,六个月后股票价格ST的概率分布为:,正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为95%,因此,置信度为95%时,3.759-20.1