三角函数总结教案

1 / 58 三角函数总结教案 正弦和余弦 一、素质教育目标 知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实 能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力 德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯 二、教学重点、难点 1重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实 2难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜2 / 58 边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论 三、教学步骤 明确目标 1如图 6-1，长 5 米的梯子架在高为 3 米的 墙上，则 A、 B间距离为多少米？ 2长 5米的梯子以倾斜角 CAB 为 30靠在墙上，则 A、 B 间的距离为多少？ 3若长 5 米的梯子以倾斜角 40 架在墙上，则 A、 B间距离为多少？ 4若长 5米的梯子靠在墙上，使 A、 B间距为 2米，则倾斜角 CAB 为多少度？ 前两个问题学生很容易回答这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级 这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用同时使学生对本章所要学习的内容 的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含 30角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其 他未知边角就可用学过的知识全部求出来 3 / 58 通过四个例子引出课题 整体感知 1请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算 30 、45 、 60 角的对边、邻边与斜边的比值 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长 2请同学画一个含 40 角的直角三角形，并测量、计算 40角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知 重点、难点的学习与目标完成过程 4 / 58 1通过动手实验，学生会猜想到 “ 无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的 ” 但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃对于这个问题，部分学生可能能解决它因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成 2学生经过研究，也许能解决这个问题若不能解决，教师可适当引导： 若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其 顶点 A1， A2， A3重合在一起，记作 A，并使直角边 AC1， AC2，AC3?落在同一条直线上，则斜边 AB1， AB2， AB3?落在另一条直线上这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知， B1C1B2C2B3C3? ，AB1C1AB2C2AB3C3? ， 形中， A 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值 通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透 5 / 58 而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计这一设计同时起到培养学生思维能力的作用 练习题为出来 sin60? 2 作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求 (四 )总结与扩展 1引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含 30角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值 也是固定的 教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识 6 / 58 2扩展：当锐角为 30 时，它的对边与斜边比值我们知道今天我们又发现 ，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个 “ 比值 ” ，有兴趣的同学可以提前预习一下通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣 四、布置作业 本节课内容 较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念 五、板书设计 正弦和余弦 (二 ) 一、素质教育目标 (一 )知识教学点 7 / 58 使 学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用 sinA、 cosA表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角 30 、45 、 60 角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数 (二 )能力训练 点 逐步培养学生 观察、比较、分析、概括的思维能力 (三 )德育渗透点 渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点 二、教学重点、难点 1教学重点：使学生了解正弦、余弦概念 2教学难点：用含有几个字母的符号组 sinA、 cosA 表示正8 / 58 弦、余弦；正弦、余弦概念 三、教学步骤 (一 )明确目标 1引导学生回忆 “ 直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的 ” 2明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值 正弦和余弦 (二 )整体感知 只要知道三角形任一边长，其他两边就可知 而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了 通过与 “30 角所对的直角边等于斜边的一半 ” 相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象 (三 )重点、难点的学习与目标完成过程 9 / 58 正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点 在上节课研究的基础上，引入正、余弦， “ 把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦 ” 如图 6 3： 请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力教师板书：在 ABC 中， C 为直角，我们把锐角 A的对边与斜边的比叫做 A 的正弦，记作 sinA，锐角 A的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦，记作 cosA 若把 A 的对边 BC 记作 a，邻边 AC 记作 b，斜边 AB 记作 c，则 引导学生思考：当 A 为锐角时， sinA、 cosA的值会在什么范围内？得结论 0 sinA 1， 0 cosA 1(A 为锐角 )这个问题对于较差学生来说有些难度，应给 学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来 10 / 58 教材例 1 的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问 “cosA 、 cosB” ，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点 例 1 求出图 6 4 所示的 RtABC 中的 sinA、 sinB和 cosA、cosB的值 【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数 教学三维目标： 一 .知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用 siaA、 cosA、 tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功 30 、 45 、 60 角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二 .能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三 .情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 11 / 58 1教学重点 : 正弦，余弦，正切概念 2教学难点 :用含有几个字母的符号组 siaA、 cosA、 tanA表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一探究活动 1课本引入问题，再结合特殊角 30 、 45 、 60 的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2归纳三角函数定义。 siaA= ?A的对边斜边 ,cosA= ?A的邻边斜边 ,tanA= ?A的对边 ?A的邻边 3 例 1.求如图所示的 RtABC 中的 siaA,cosA,tanA 的值。 12 / 58 4.学生练习 P21练习 1， 2， 3 二探究活动二 1.让学生画 304560 的直角三角形 ,分别求 sia 30cos45 tan60 2. 求下列各式的值 sia 30+cos302sia 45 -三拓展提高 P82例 4. 1. 如图在 ABC 中 ,A=30,tanB= 求 AB 四小结 五作业课本 p85 86 2,3,6,7,8,10 32 12 cos30(3) cos30sia45 00 13 / 58 +ta60 -tan30 ,AC=23, 解直角三角形应用 一教学三维目标 (一 )知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 (二 )能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力 (三 )情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 二、教学重点、难点和疑点 1重点：直角三角形的解法 2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用 14 / 58 3疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边 三 、教学过程 (一 )知识回顾 1在三角形中共有几个元素？ 2直角三角形 ABC 中， C=90 ， a、 b、 c、 A 、 B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ ac bc ab (1)边角之间关系 sinA=(2)三边之间关系 cosA= tanA= a2 +b2 =c2 (勾股定理 ) (3)锐角之间关系A+B=90 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于15 / 58 应用 探究活动 1我们已掌握 RtABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素 (至少有一个是边 )后，就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情 2教师在学生思考后，继续引导 “ 为什么两个已知元素中至少有一条边？ ” 让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请 学生概括什么是解直角三角形？ (由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 ) 3例题评析 例 1在 ABC 中， C 为直角， A 、 B 、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且 b= a=6，解这个三角形 例 2 在 ABC 中， C 为直角， A 、 B 、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 b= 20 16 / 58 ?B=35，解这个三角形 2 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演 完成之后引导学生小结 “ 已知一边一角，如何解直角三角形 ？ ” 答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底 例 3 在 RtABC 中， a=， b=，解这个三角形 (三 ) 巩固练习 在 ABC 中， C 为直角， AC=6， ?BAC 的平分线 AD=43，解此直角三角形。 解直角三角形是解实际应用题的基础，17 / 58 因此必须使学生熟练掌握为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力 (四 )总结与扩展 请学生小结： 1 在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素 (至少 有一个是边 )，就可以求出另三个元素 2解决问题要结合图形。 四、布置作业 p96 第 1， 2题 解直三角形应用 一教学三维目标 (一 )、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题 (二 )、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力 二、教学重点、难点和疑点 1重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题 18 / 58 2难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题 三、教学过程 回忆知识 1解直角三角形指什么？ 2解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理： a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系： A+B=90 (3)边角之间的关 系： tanA= 新授概念 1仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义 2例 1 如图 (6-16)，某飞机于空中 A 处探测到目标 C，此时飞行高度 AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点 B 的俯角=1631 ，求飞机 A到控制点 B 距离 (精确到 1米 ) AC 19 / 58 AC 1200 ?A的对边 ? A 的邻边 解：在 RtABC 中 sinB=AB ?AB=sinB=4221(米 ) 答：飞机 A到控制点 B的距离约为 4221米 例年 10月 15日 “ 神州 ”5 号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离 三角函数图像与性质 基础梳理 1 “ 五点法 ” 描图 (1)y sin x的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为 20 / 58 ?3 ， 1 ( ， 0) ? ， 1? (2 ， 0) (0,0) ?2?2? (2)y cos x的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为 ?3 ， 0 ， ( ， 1) ， ?0? ， (2 ， 1) (0,1)， ?2?2?2.三角函数的图象和性质 都有 f(x T) f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期 (函数的周期一般指最小正周期 ) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个 x 值都满足 f(x T) f(x)，其中 T是不为零的常数 .如果只有个别的 x 值满足 f(x T) f(x)， 或找到哪怕只有一个 x值不满足 f(x T) f(x)，都不能说 T是函数 f(x)的周期 . 函数 y Asin(x ) 和 y Acos(x ) 的最小21 / 58 正周期为 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是 1,1，因此对于 ?xR ，恒有 1sin x1 ， 1cos x1 ，所以 1 叫做 y sin x， y cos x的上确界， 1叫做 y sin x， y cos x的下确界 . 单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响 . 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如： y sin2x 4sin x 5，令 t sin x(|t|1) ， 则 y (t 2)2 11 ，解法错误 . 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如 yAsin(x ) (0) 的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间 .应特别注意，应在函数的定义域内考虑 .注意区分下列两题的单调增区间不同 ;利用换元法求复合函数的单调区间 (要注意 x系数的正负号 ) 2x ?； (2)y sin? 2x?. (1)y sin?4?4? 22 / 58 四典例解析 题型 1：三角函数的图象 例 1函数 y xcosx 的部分图象是 解析：因为函数 y xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除 A、 C，当 x 时， y xcosx 0。答案为 D。 2 题型 2：三角函数图象的变换 例 2试述如何由 y=sin 的图象得到 y=sinx 的图象。 3 ） 3 23 / 58 12 倍 ?横坐标扩大为原来的 ?y?sin 纵坐标不变 33 个单位 1?3?y?sinx 纵坐标不变 3 3 倍 ?纵坐标扩大到原来的 ?y?sinx 横坐标不变 另法答案： 先将 y=sin再将 y=sin2x上各点的 横坐标扩大为原来的 2倍，得 24 / 58 1 313 1 ）的图象 向右平移个单位，得 y=sin2x的图 363 y=sinx 的图象； 再将 y=sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍，即可得到 y=sinx 的图象。 例 3把曲线 ycosx+2y 1=0 先沿 x 轴向右平移位，再沿 y轴向下平移 1个单位，得到的曲线方程是 A sinx+2y 3=0 B sinx+2y 3=0 C sinx+2y+1=0 D (y+1)sinx+2y+1=0 解析：将原方程整理为： y= 25 / 58 1 3 13 ? 个单 2 1 ，因为要将原曲线向右、向下分别移 2?cosx 动 1? 个单位和 1个单位，因此可得 y= 1 为所求方程 .整理得 26 / 58 22?cos(x?)2 sinx+2y+1=0. 点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为： cos+2 1=0，即得 C 选 2 例 4已知函数 f=Asin在一个周期内的图象如图所示，求直线 y=3与函数 f图象的所有交点的坐标。 解析：根据图象得 A=2， T= 1x7? =4 ， = ， y=2sin， 2222 又由图象可得相位移为 ?1?， =， ?=. 即 y=2sin。 1224242 27 / 58 根据条件 3=2sin， x?=2k+(kZ) 或 x?=2k 3242424 + 52? ， x=4k+ 或 x=4k+ 。 366 所有交点坐标为或。点评：本 6 题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型 4：三角函数的定义域、值域 例 5已知 f的定义域为 0， 1，求 f的定义域； 求函数 y=lgsin 的定义域； 分析：求函数的定义域：要使0cosx1 ，要使 sin 0，这里的 cosx以它的值充当角。 解 析： 0cosx 1?2k 28 / 58 x2k+ ，且 x2k 。 22 ， 2k+ 且 x2k ， kZ 。 22 ， 2k+ ）， kZ 。 22 所求函数的定义域为 x x 2k 由 sin 0?2k cosx 2k+ 。又 1cosx1 ， 0 cosx1 。故所求定义域为 x xy=sin ； y= sin。 434 分析：要将原函数化为 y= sin 再 求之。可画出 y= |sin|的图象。解： y=sin= sin。 29 / 58 24334 2x39 2k+ 。 ?3k x3k+ ， 234288 2x3921 2k+ 。 ?3k+x3k+k 823428 39 ， 3k+ ， 88 为单调减区间；由 2k+ Z ），为单调增区间。 递减区间为 3k 递增区间为 3k+y= |sin。 30 / 58 88 3 ） |的图象的增区间为 k+ ， k+ ，减区间为 444 题型 6：三角函数的奇偶性 例 7关于 x 的函数 f=sin 有以下命题： 对任意的 ?， f都是非奇非偶函数； 不存在 ?，使 f既是奇函数，又是偶函数； 存在 ?，使 f 是奇 函数； 对任意的 ?， f 都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是 _.因为当 ?=_时，该命题的结论不成立。 ?答案： ， k ；或者 ， +k ；或者 ， +k 22 解析：当 ?=2k ， kZ 时， f=sinx是奇函数。当 ?=2 ， kZ31 / 58 时 f= sinx 仍是奇函数。当 ?=2k+ ? ， kZ 时， f=cosx，或 2 弧度制及任意角的三角函数小结 课时： 08 课型：复习总结课 【知识点】：弦长公式，扇形的面积公式、三角函数的定义、单位圆与三角函数线 【典例精讲】 1. 弦长公式、 ，扇形的面积公式 2.任意角的三角函数的定义： 3.三角函数线： 三条有向线段的位置： 三条有向线段的方向： 三条有向线段的正负： 三条有向线段的书写： 5.三角函数值在各象限的符号 32 / 58 【达标训练】 A 组 1已知角 ?终边上一点 P?的坐标为，求这个角的正弦值，余弦值，正切值 2作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 70 ； 110 ； ； ? 3给出下列 命题： 正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的； 设P(x,y)是角 ?终边上的一点，因为 sin?标 y成正比； 若 sin?cos? 0，则 ? 一定在第一象限； 两个角的差是 2?的整数倍，则这两个角的同一个三角函数的值必相等； 33 / 58 若角 ? 的终边落在 y 轴上，则角 ?的正弦线是单位长度的有向线段其中正确命题的序号是 ? 4确定下列各三角函数值的符号： 457 3 y ，所以 ?的正弦值与点 P的纵坐 r 7 ； 4 1025? sin980； cos； tan 36 sin182?； cos(?40)； tan ? 34 / 58 5求满足下列条件的角 x 的范围： sinx?tanx?0； |?cosx|?cosx 2 的始边与 x轴正半轴重合，顶点与原点 O 重合，角的终边上有一点 P， 3 |OP| 2，那么 P点的坐标为 6如果角 A B C D 7 ? 是第二象限角，其终边上一点为 P(x,)，且 cos? 2 则 sin? 的值为 ?x， 4 A 35 / 58 2 C D x B 4444 59 ?cos5?4Ptan ； 24 8求下列各式的值： 2 Pcos4?2Psin 4tan 2 1 ?cos2?sin2?cos 4326 36 / 58 6 2 9已知 f(x)?sinx?3cosx?2tan2x，则 f() _； f() _； f( 3 ) _ 2 10求证： 角 ? 为第三象限角的充分必要条件是 sin? 0且 tan? 0； 角 ? 为第二或第四象限角的充分必要条件是 sin?cos? 0 11求下列三角函数值： sin780?； tan(? 37 / 58 3523 ) ； cos； sin(?) ； 66 tan6?； cos 91113 ； cos(?) ； tan(?) ； 234 B 组 1下列对三角函数线的描述正确的是 A只有象限角，才存在三角函数线 B若 ?为第一象限角且 sin?用 MP 表示，则 ? ?的正弦应该用 PM表示 C用有向线段表示三角函数值，线段越长，则相应的三角函数值越大 D当角 ?终边落在 y 轴上时，正切线不存在 38 / 58 2作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 111121 ； ?； ? 445 3确定下列三角函数值的符号： sin1823 ； sin； tan(? 44 )； 3 cos 129 ; sin2016； cos2016 5 4判定下列各式的值是正还是负： 39 / 58 97?cos 52 ?tan cos40 cos140 ； cos； 79 tan?tan; 95 cos cos2 sin2； sin 5求下列三角函数值： cos720?； tan(? 735 ?cos?tan 654 3717 40 / 58 ) ； sin63 cos(? 7? ) ； sin(?1071)； tan1865? 2 6在直角坐标系中，角 ?的终边过点 P(?3a,4a)，则 sin? _ 7设 ? 为第一象限角，那么在 sin2?、 cos2?、 tan2?、sin定取正值的有 ? 2 、 cos ? 41 / 58 2 、 tan ? 中一 2 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 8由下 列 条 件 决 定 的 ? 角 中 ， 一 定 是 第 二 象 限 角 的是 A sin?cos? 0 B sin?0 且 cos? 0 C 2? 是第四象限角 ? D |sin?|tan? ?2 sin?|tan?| 9化简求值 sin?|cos?|tan? 42 / 58 ? |sin?|cos?|tan?| 10设 P(2,x)是角 ?的终边上的点，按下列条件求cos? sin? 2； tan? ? 25 3 ?， ?，求下列各式的值： 443 )； sin(?)?2sin(?)?4cos2?3cos(? 444 ?设 ? 43 / 58 tan(?)?3tan(?2?)?5cos(?) 12已知 x,y 都是实数，且 (x?6)2?(y?2)2?0，求 xcos(?的值 【拓展练习】 1若角 ? 的终边经过直线 2x?3y?7?0 和直线 3x?2y?4?0 的交点，则 tan? 2已知 ?、 ?均为第二象限角，且 sin? sin?，则 A tan? tan? B cos? cos? C cos? cos? D ? ? 3已知 sin? sin?，那么下列命题成立的是 ? A若 ?、 ?是第一象限角，则 cos? cos? B若 ?、 ?是第二象限角，则 tan? tan? C若 ?、 ?是第三象限角，则 cos? cos? D若 ?、 ?是第四象限角，则 tan? tan? 4已知角 ? 的顶点在原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边为射线 4x?3y?0，求 5sin? 3 tan? 2cos?的值 ? ? 44 / 58 5二次函数 y?f(x)当 x分别取 0、此二次函数 2515)?ytan(?)34 、 ?时，它的函数值与 sinx 的相应值相同，求 2 三角函数图像与性质 1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2三角函数的单调区间： ? 2k?(k?Z)，递减区间是 y?sinx 的递增区间是 ?2k?，22?3? 2k?， 2k?(k?Z)； ?22? 45 / 58 2k?(k?Z)，递减区间是 y?cosx的递增区间是 ?2k?， ?2k?， 2k?(k?Z)， ? y?tanx 的递增区间是 ?k?， k?(k?Z)， 22? 3函数 y?Asin(?x?)?B 最大值是 A?B，最小值是 B?A，周期是 T? 2? ? ，频率是 f? ? 46 / 58 ，相位是 2? ?x?，初相是 ?；其图象的对称轴是直线 ?x?k? 与直线 y?B的交点都是该图象的 对称中心。 ? 2 (k?Z)，凡是该图象 4由 y sinx 的图象变换出 y sin(x ?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现 x 而言，即图象变换要看 “ 变量 ” 起多大变化，而不是 “ 角变化 ” 多少。 途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换 ) 先将 y sinx的图象向左 (? 0)或向右 (? 0平移 ?个47 / 58 单位，再将 1 倍 ( 0)，便得 y sin(x ?)的图象。 ? 途径二：先周期变换 (伸缩变换 )再平移变换。 1 先将 y sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍 ( 0)，再沿 x轴向 ? |?| 左 (? 0)或向右 (? 0平移个单位，便得 y sin(x ?)的图象。 图象上各点的横坐标变为原来的 48 / 58 ? 5由 y Asin(x ?)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式 y=Asin 的题 型，有时从寻找 “ 五点 ”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。 ? 6对称轴与对称中心： y?sinx 的对称轴为 x?k?，对称中心为 (k?,0) k?Z； y?cosx 的对称轴为 x?k?，对称中心为 (k?2,0)； 对于 y?Asin(?x?)和 y?Acos(?x?)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、 ?的正负利 用单调性三角函数大小一般要化为同名函数 ,并且在同一单调区间； 8求三角函数的周期的常用方法： 49 / 58 经过恒等变形化成 “y?Asin(?x?) 、 y?Acos(?x?)” 的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9五点法作 y=Asin 的简图： 五点取法是设 x=x+? ，由 x取 0、 、应的 y 值，再描点作图。 四典例解析 题型 1：三角函数的图象 例 1函数 y xcosx的部分图象是 2 3 、 2 来求相应的 x值及对 2 解析：因为函数 y xcosx 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除 50 / 58 A、 C，当 x 时， y xcosx 0。答案为 D。 2 题型 2：三角函数图象的变换 例 2试述如何由 y=sin 的图象得到 y=sinx 的图象。 3 ） 3 12 倍 ?横坐标扩大为原来的 ?y?sin 纵坐标不变 33 个单位 1?y?sinx 纵坐标不变 3 51 / 58 3 倍 ?纵坐标扩大到原来的 ?y?sinx 横坐标不变 另法答案： 先将