人教版高中数学选修2－2数学归纳法教案和教案说明.doc

课题：2.3数学归纳法（1）教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修22一、教学目标1.知识与技能 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。2.过程与方法（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。3.情感、态度与价值观（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。二、教学重、难点1.重点（1）初步理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。（2）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。2.难 点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。三、教学方法与手段本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。四、教学过程（一）创设问题情景情景一：观察下列等式，12+1+1719，22+2+1723，32+3+1729，42+4+1737你能得出形如n2+n+17的数为什么数（质数）？进一步提问，你得出的结论对吗？请你将16代入检验，（得出猜想是错的）说明这种不完全归纳得出的结论不可靠。情景二：数列an的第1项a1=1且(n=1,2,3 ),通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想数列的通项公式. 学生通过计算得出： 由此猜想：由此引导学生分析，因不完全归纳得出的结论不可靠，哪能不能把n的所有取值代入检验行吗？因n的取值是无穷的不可能逐一验证，这需要我们寻找新的解决方法引入课题数学归纳法（1）。（二）探索解决问题的方法1. 多媒体演示多米诺骨牌游戏。师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件： （1）第一块要倒下; （2）当前面一块倒下时，后面一块必须倒下; 当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下。2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出问题情景二的证明（建立数学模型）。多米诺骨牌原理数列通项的证明探究（1）第一张骨牌倒下（1）n=1时，a1=1猜想成立（2）若第K张骨牌倒下，则相邻的第K+1张骨牌一定倒下（2）假设n=k是ak=成立，则证明n=k+1是有ak+1=成立。由（1）（2）知，不论多少张骨牌一定都能倒下。由（1）（2）知，对所有的正整数n，猜想都成立事实上在证明an=的探究中，只要（1）（2）成立，当n=1成立，就有n=2时成立；n=2时成立，就有n=3时成立；n=3时成立，就有n=4时成立以至对所有的n都成立。3、由类比获得数学学归纳法主要步骤（1）（归纳奠基）n取第一个值n0 (例如n-0=1)时命题成立;（2）（归纳递推）假设 n=k(kN*,kn0)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。 满足这两个条件后，命题对一切n均成立。（三）方法尝试 1. 师生共同用探究出的方法尝试证明书本P94例1例1：用数学归纳法证明 12+22+n2= 其中假设n=k时等式成立，证明n=k+1时等式成立的证明目标和如何利用假设主要由学生完成。注意:（1）.证明等式时第一步中时左右两边的形式，第二步中时应增加的式子；（2）.第二步中证明命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。2.课堂练习（1）用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)，当n1时，左边所得项是 ；当nk时，等式成立，即 当n从k增加到k+1时，等式左边增加的项为：_（2）用数学归纳法证明等式1+a+a2+an+1=,在验证n=1成立时左边_.（3）用数学归纳法证明等式(n2,nN )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是_.（4） 教师主要引导学生参与讨论的内容是：（1）当时，证明的目标是什么？（2 ）当n=k到时，左边增加了的项是什么？ （四）理解升华1.置疑 对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。2.论证（说理） 师生共同探讨数学归纳法的原理，理解他的严密性、合理性。从而由感性认识上升为理性认识。3.错例分析（让学生在改错中理解数学归纳法、提高数学归纳法的应用能力）错例1：用数学归纳法证明1+3+5+ +（2n-1)= n2-1 进行证明时采用了如下的方法本例证明过程中缺少递推基础这一步，事实上，当n=1时，左边1，右边0，左边右边。本题本身是错误的。证明：假设当n=k是等式成立，即1+3+5+（2k1）=k2-1那么，n=k+1时有1+3+5+（2k-1）+(2k+1)= k2-1+(2k+1)=(k+1)2-1所以n=k+1时等式成立。所以等式对一切自然数n均成立。说明：数学归纳法中第一步是基础，不能缺少，缺少了第一步，就失去了保证。错例2：用数学归纳法证明，当 1+3+5+ +（2n-1)= n2证明：当n=1时，左边1， 右边1 等式成立。 当n=k时第二步中没有用到归纳假设，没有证明递推关系，是错误的。当时，能否这样证明：时，等式成立 根据问可知，对nN*，等式成立在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效 (五）小结（师生共同完成）1数学归纳法是科学的证明方法；利用它可以证明一些关于正整数n的命题。2数学归纳法证明命题的两个步骤。3用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。4证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。 5证明n=k+1命题成立时，首先要明确证明的目标。（六）布置作业选修22 P96习题2.3A 1（必做题） B 2（选做题） 教案说明四会市四会中学 谭术明1.数学归纳法是一种用于证明与正整数n有关的命题的正确性的证明方法它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是数学归纳法的理解和方法的应用我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机数学归纳法产生的过程分两个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出两个步骤结束把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试 2.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明nk+1命题成立时必须用到nk时命题成立这个条件例如用数学归纳法，其中第二步采用下面证法：设nk时，等式成立，即，则当nk+1时，即nk+1时等式也成立这是不正确的因为递推思想要求的不是nk，nk+1时命题到底成立不成立，而是nk时命题成立作为条件能否保证nk+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立证明的主要部分应改为 以下理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向。因为没有步骤（1）命题成立就失去了基础；没有步骤（2）命题成立就失去了保证。3.在教学方法上，本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正