数学与应用数学毕业论文 (设计 )-极限思想的产生与发展.doc

临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 13届届 分 类 号: 单位代码:10452 临沂大学理学院 毕业论文 (设计 ) 极极限限思思想想的的产产生生与与发发展展 姓 名 学 号 年 级 专 业 数学与数学与应应用数学用数学 系 (院) 理学院理学院 指导教师 2012 年 12 月 17 日 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 摘 要 极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的 连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用 无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程 中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发 展进行探究，并对其在数学分析中的应用展开探索。 关键词关键词：极限思想；产生；发展；完善；应用 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 ABSTRACT Limit thought is the basic ideas of calculus in mathematical analysis, a series of limportant concepts, such as the continuity of a function, derivative and definite integral are defined with the help of limit thought. Limit thought application everywhere, understand and grasp and reasonable application of limit thought, can let us in the process of solving practical problems, can quickly find the methods to solve the problems, to enhance the actual effect. This paper focuses on the ultimate idea generation and development research, and its applicationin inmathematical analysis explores. Key words: Limit thought；geneeration；development；perfection；application 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 目 录 1.引言引言.1 2. 极限思想的产生与发展极限思想的产生与发展.1 2.1 极限思想的产生.1 2.2 极限思想的发展.2 2.3 极限思想的完善.3 2.4 极限思想的概念.5 3. 极限思想的应用极限思想的应用.5 3.1 极限思想在概念里的渗透.6 3.2 极限思想在导数中的应用.6 3.3 极限思想在积分中的应用.7 4总结总结.8 致致 谢谢.9 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 1 1.引言 极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、 极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。数学分析中的一系列 重要概念，如函数的连续性、导数等等都是借助于极限来定义的。同时极限思 想是微积分的基本思想，是微分与积分的基础, 贯穿整个微积分的内容。 理解 并掌握好其中极限的重要思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快 发现解决问题的方法, 提高实际效果。 2.极限思想的产生与发展 2.1 极限思想的产生 与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。关于极限思 想的起源,应追溯到公元前490年的古希腊的著名哲学家芝诺提出的阿基里斯悖 论，阿基斯悖论的意思是说，古代神话中有一位跑得最快的人叫阿基里斯，他 永远追不上爬得很慢的乌龟，阿基里斯的速度远大于乌龟，但乌龟比阿基里斯 先行一段距离 AB，阿基里斯在 A 点起跑，乌龟在 B 点起跑。当阿基里斯跑到 B 点时，乌龟已爬到 B1点；当阿基里斯跑到 B1点时，乌龟已爬到 B2点；当阿基 里斯跑到 B2点时，乌龟已爬到 B3点如此继续下去，以至于阿基里斯永远也 追不上乌龟。这样提出问题，其结论显然与我们的直觉相悖，并且不难用初等 数学的方法求出追赶时间和路程，从而对芝诺的悖论给予反驳：阿基里斯一定 能追上乌龟！然而芝诺把这样一个直觉上都不会产生怀疑的简单问题与无限纠 缠在一起，由于长期以来人们对与无限有关的极限概念缺乏深刻地认，因而不 能用辩证的观点解答芝诺的疑难，这不仅给当时的数学家和哲学家提出了诘难， 而且也使两千余年内的智者、哲人伤透了脑筋，使一代一代的数学家争论不休， 以至于不得不把“无限”这个怪物排除在数学之外，直至19世纪，当反映变量 无限变化的极限理论建立之后，才可用极限理论回答芝诺的挑战。这是极限思 想的萌芽。 在我国极限的观念,早在刘徽之前的春秋战国时代就已产生了。春秋战国时 期，由于各种学说创形成了一个百家争鸣的局面，不止有唯心主义学说，也有 朴素的唯物主义学说，还有不少关于逻辑学，物理学，天文发及数学的片断记 载。在庄子天下篇里就记载着惠施关于数学的一些论说，如： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取 它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。随着天数 的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 2 等于0。这更是从直观上体现了极限思想。 我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”就是建立在直 观基础上的一种原始的极限思想的应用。所谓“割圆术”就是用半径为 R 的 圆的内接正多边形的边数 n 一倍一倍地增多多边形的面积 An 就越来越接近于 圆的面积。在有限次的过程中用正多边形的面积来逼近圆的面积只能 2 R 达到近似的程度。但可以想象如果把这个过程无限次地继续下去就能得到 精确的圆面积，这是早期的极限思想。 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想， 但由于希腊人“对无限的恐惧” ，他们避免明显地“取极限” ，而是借助于间接 证法归谬法来完成了有关的证明。 到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊 人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法 的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方 向” 。 2.2 极限思想的发展 14 世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到 15 世纪中期，随着封建制 度的解体，欧洲的生产力得到了迅速的发展，开始了“文艺复兴”时代。由于 生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，围绕着力学为中心，在天文 学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究促进了 相关学科的发展。如哥白尼“日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由 于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等等， 他们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的诞生奠定了基础，为极限 思想和方法的发展及运用带来了机遇。 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的。16 世纪以后，欧洲 处于资本主义的萌芽时期，生产力得到极大发展。生产和科学技术中发生了大 量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题 等初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学 方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程 的新工具，这是促进了极限思想的发展。 众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，十七世纪下半叶，英国数学 家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结前人工作，创立新的学科-数学分析。 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 3 这个学科需要运用无线过程计算，即极限运算。思想分析的核心内容是微分学 和积分学，而微分和积分的概念是通过极限来定义的，但这些概念在当时是含 糊不清的，常常不能自圆其说。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建 立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了 极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动stts / 物体的平均速度，让无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出s 导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为 微积分的基础，他说： “两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等， 且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为 相等”1。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限 的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述： “如果当 n 无限增大时， n 无限地接近于常数 A，那么就说 n 以 A 为极限”。 这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常 采用这种定义。但是，这种定义过于直观，缺乏严密的逻辑基础，与数学上 追求严密的原则相抵触， 但他们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定 了坚实的基础。 2.3 极限思想的完善 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积 分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数 学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分 清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对 立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方 法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与 “非零”相互转化的辩证关系。 到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须 将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 4 贝尔的定义是： “一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值 更为接近第一个量 ”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无 法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19 世纪以前的算术和几 何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数 f 的导数定义为差商 yx 的极限 f（x） ，他强调指出 f（x）不是 两个零的商。 2 波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清 楚。 到了 19 世纪，数学陷入了巨大的矛盾之中，一方面，数学在描述和预 测物理现象方面取得巨大成就，另一方面，由于大量的数学结构没有逻辑基 础，因此不能保证数学是正确无误的。在德国数学家的倡导下，数学界对数 学进行了一场批判性的检查运动，对一些理论进行了严密的定义和严格的证 明。法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其 理论，他在分析教程中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个 定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其 他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛 到极限 0，就说这个变量成为无穷小 ”。 为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定 义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 nA，就是指： “如果对任何 0，总存在自然数 N，使得当 nN 时，不等式 nA 恒成立”。 这个定义，借助不等式，通过 和 N 之间的关系，定量地、具体地刻 划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为 科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅 仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了 “趋近”一词，不再求助于运动的直观。 在此之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，都 将分析基础归结为实数理论，并于十九世纪的七十年代各自建立了完整的实数 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 5 体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立 了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”的极限来定义无理数。 由此，沿柯西开辟的道路，建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分 析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从 而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。 重建微积分学基础这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜 利完成，极限理论的完善使微积分有了坚实的基础。 柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究， 都将分析基础归结为实数理论，并于十九世纪的七十年代各自建立了完整的实 数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建 立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”的极限来定义无理数。 由此，沿柯西开辟的道路，建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分 析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从 而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。 重建微积分学基础这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜 利完成，极限理论的完善使微积分有了坚实的基础。 2.4 极限思想的概念 极限是指无限趋近于一个固定的数值。极限可分为数列极限和函数极限。 定义定义 1 1 设为数列，a 为定数，若对任给的正数 ，总存在正整数 N， n a 使得当 nN 时有 |-a|0，存在正数 ，使得当 时有， 0 0 xx 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 6 Axf）（ 则称函数 f 当 x 趋于时以 A 为极限，记作 0 x 或Axflim n ）（）（）（ 0 xxAxf 3 极限思想在数学分析中的应用 2.1 极限思想在概念里的渗透极限思想在概念里的渗透 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都 离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连 续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念. （1） 如以函数在点连续的定义.记称为自变量（在点）( )yf x 0 x 0 xxx x 0 x 的增量或改变量，设，相应的函数（在点）的增量记为 00 ()yf xy 0 x ，可见，函数在点连续等价 0000 ( )()()()yf xf xf xxf xyy ( )yf x 0 x 于，是当自变量 得增量时，函数值得增量趋于零时的极限. 0 lim0 x y xxy （2）函数在点导数的定义.设函数在点的某邻域内有定义，( )yf x 0 x( )yf x 0 x 若极限存在，则称函数在点处可导，令， 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx f 0 x 0 xxx ，则可写为，所以， 00 ()()yf xxf x 0 00 0 ()() limlim xxx f xxf xy xx 0 fx 导数是函数增量与自变量增量之比的极限.yx y x （3） 函数在区间上的定积分的定义。设是定义在上的一个( )yf x, a bf, a b 函数，是一个确定的实数，若对认给的正数，总存在某一正数，使对的任何分J, a b 割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有，则T i T 1 n ii i fxJ 称函数为在上的定积分，记。是当分割细度趋于零时，积分和式f, a b( ) b a Jf x dx 的极限. 1 ( ) n ii i fx 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 7 （4）数项级数的敛散性是用部分和数列，的极限来定义的等等. n u n S n su 2.2 极限思想在导数中的应用极限思想在导数中的应用 导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数 概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线. （1） 瞬时速度：设一质点做直线运动，其运动规律为，若为某一确定的时 ( ) t ss 0 t 刻， 为邻近于的时刻，则是质点在时间段上的平均速度. t 0 t 0 0 ( )( )s ts t v tt 0, t t 若 时平均速度的极限存在，则称极限为质点时刻的瞬时t 0 tv 0 0 0 ( )( ) lim tt s ts t v tt 0 t 速度. （2）切线的斜率：曲线在其上一点处的切线 PT 是割线 PQ 当动)(xfy 00 ,p xy 点 Q 沿此曲线无限接近于点 p 时的极限位置. 由于割线 PQ 斜率为 0 0 ( )()f xf x k xx 因此当时如果的极限存在，则极限即为切线 PT 的斜x 0 xk 0 0 0 ( )() lim xx f xf x k xx 率. 给出导数的定义：设函数在点的某邻城内有定义，若极限)(xfy 0 x 存在，则称函数 在点处可导，并称该极限为函数在点处的导 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx f 0 xf 0 x 数，记作. 0 fx 令,则上式可改写为 0 xxx 00 ()()yf xxf x . 00 0 00 ()() limlim() xx f xxf xy fx xx 2.3 极限思想在积分中的应用极限思想在积分中的应用 积分是数学分析中的重要概念，其中的不定积分是求导数的逆运算而定积分则是某种 特殊和式的极限，下面给出在定积分中极限思想的重要应用. 定积分提出的背景：曲边梯形是由非负连续曲线.)(xfy 直线以及 x 轴所围成，求此曲边梯形的面积？byax , 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 8 （1） 将曲边梯形分成个小曲边梯形n （2） 当很大，且当所有的都很少小时，每个小时曲边梯形都可看n(1,2, ) i x in 成小矩形第个小曲边梯形面积其中，此时k()(1,2, ) kkk sf sx kn kkk xsx 1 . 1 () n kkk k ssfs AA1,2,kn（） （3）当 n 无限增大时，即当个无限趋近于 0 时， n xxTmax 就无限趋近于曲边梯形的面积，故.()(1,2, ) kk f sx kns 0 lim() kk T sf sx 定积分在闭区间内有个点，依次为它们把, a b1n 011nn axxxxb 分成个小区间， ，这些分点或这些闭子区间构成对, a bn 1,iii xx 1,2,in 的一个分割，记或。小区间长度为, a bT 01 , n x xx 12 , n i 并记设是定义在上的一个函数，是一个确定的实 1iii xxx 1 max i i n Tx f, a bJ 数，若对任给正数，总有在某一正数，使得对的分割，以及在其上任意选取, a bT 的点集，只要就有，则称函数在区间上可积， i Tf 1 n ii i fxJ , a b 数称为上的定积分，记作.J, a b( ) b a Jf x dx 4 总结 数学分析主要研究微分和积分，而极限思想又是微积分大厦的基石，没有 完整的极限思想就没有今天数学蓬勃发展的局面，所以极限思想的产生在数学 史上具有重要的意义，它的产生为数学发展提供了新动力，成为了近代数学思 想何方方的基础和出发点。极限思想从萌芽阶段到现在完整的极限理论， ，众多 数学家付出了大量心血，极限思想的演变过程，是数千年来人类认识世界和改 造世界的整个过程的一个侧面反应是人类追求真理、追求理想始终不渝地 求实、创古代新的生动写照。 参 考 文 献 1华东师范大学数学系数学分析上（第三版） 北京：高等教育出版社， 2001 临沂大学理学院 2013 届本科毕业论文 9 2许金泉数学分析中极限思想与极限概念教学A惠州学院数学系，2004 3赵军对高中生极限概念认知状况的调查研究D华中师范大学，2006 3朱卫平大学一年级学生对微积分基本概念的理解D华东师范大学， 2006 4徐礼卡极限概念学习困难的原因