毕业设计（论文）-一些不同阶线性微分方程组的解.docx

楚雄师范学院本科论文（设计） 编号楚 雄 师 范 学 院 本科生毕业论文（设计） 题 目 一些不同阶线性微分方程组的解 专 业 数学与应用数学 年级班级 2011级1班 学 号 学生姓名 指导教师 职称： 副教授 教务处印制目录摘要3关键词3Abstract3Key words41、引言42、预备知识53、主要结果73.1拉普拉斯变换法73.2化为一阶线性方程组114、应用实例145、总结16参考文献17致谢18一些不同阶线性微分方程组的解摘要：解一些不同价线性微分方程组的问题, 一般很复杂也很困难。求微分方程组的解有三种方法：矩阵的特征值特征向量法、消元法、拉普拉斯变换法。但只要掌握微分方程组的一些特点和正确运用所学知识，就能比较容易解决。 这篇文章介绍了利用拉普拉斯变换法求解线性方程组的解。 关键词：不同阶；线性；微分方程组；解法；拉普拉斯变换法； Some different order linear differential equationsAbstract: The problem of linear differential equations of some different price generally very complex and difficult. There are three ways of solution of differential equations: matrix characteristic value of characteristic vector method, elimination method and Laplace transform method. But as long as the master some characteristics of the system of differential equations and the correct use of knowledge, can be easier to solve. This article introduces the solution of Laplace transform method is used to solve the linear system of equations.Key words: Different order; linear; System of differential equations; solution; The Laplace transform method;1、引言常微分方程是现代数学中一个重要的分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、物理、力学、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用，这些应用也为微分方程的进一步发展提出来新的问题，对微分方程要加与更深的研究，才能适应科学技术飞速发展的需求。常微分方程在所有自然领域和众多的社会科学领域都有着广泛的应用，凡是与变化率有关的问题几乎都可以用微分方程模型来研究。因此，了解线性微分方程组的解，以及能灵活运用一些不同阶线性微分方程组的计算就显得极其重要。常系数线性微分方程组的求解通常有2种基本方法:复若当标准形法和指数矩阵法。特别是高阶线性微分方程组转化为一阶线性微分方程组的应用广泛。在解一些不同阶线性微分方程组中，最重要的一种方法是利用拉普拉斯变换。在文【1】中，作者基于Riccati 方程的解，研究了其与一类变系数线性微分方程组一个非零解间的关系，基础上给出了这一类变系数线性微分方程组的基解矩阵的计算公式。在文【2】中，作者基于微分方程组解法的分析，给出一般方阵化Jordon 标准型过程中的非奇异矩阵过渡的求法，从而从另一个角度来分析微分方程X = AX基解矩阵新的求解方法。文【3】中，作者给出了常系数线性微分方程组新的求解方法。研究对基本方法作一些结构上的改进,以提高计算的效率。以广义特征向量链、指数矩阵和矩阵的秩为工具, 分三种情形讨论了重根情形下常系数线性微分方程组的解矩阵表示, 建立了统一的代数结构, 以说明方法的有效性。本文主要研究以下具有两个不同阶的线性常微分方程组xy=A11A12A21A22xy其中， xRn1， yRn2， A11Rn1n1，A12Rn1n2， A21Rn2n1，A22Rn2n2初始条件是：x0=x0， x0=0， y0=y0研究此方程组的解和基解矩阵，可推广到更一般的情形。2、预备知识定义1【4】： 设函数ft在t0上有定义，且积分Fs=0+f(t)e-stdt （s是复参变量）对复平面上某一范围的s收敛，则由这个积分所确定的函数可写为 Fs=0+f(t)e-stdt （2.1.1）称为函数ft的拉普拉斯变换，简称为ft的拉氏变换，并记作Lf(t)，即Fs=Lf(t)=0+f(t)e-stdt在式（2.1.1）中的Fs称为 ft的像函数，ft称为 Fs的像原函数.若Fs是ft的拉氏变换，则称ft为Fs的拉氏逆变换（或称为像原函数），记作f(t)=L-1Fs由式（2.1.1）可知，函数f(t)t0的拉氏变换，实际上就是函数ftu(t)e-t 的傅式变换.定义2【6】n 级方阵A称为可逆的，如果有n 级方阵B，使得AB=BA=E这里的E是n 级单位矩阵.如果矩阵B适合AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记为A-1.拉普拉斯变换的性质【5】性质1（线性性质）设，是常数，F1s=Lf1(t), F2s=Lf2(t),则Lf1t+f2t=Lf1t+Lf2tL-1f1s+f2s=L-1f1s+L-1f2s性质2（微分性质）若Lft=Fs,此处假设fnt存在且连续，则Lft=sFs-f0Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f0-fn-10性质3（积分性质）设Fs=Lft，则L0tfd=1sFs性质4（位移性质）若Lft=Fs，则有Leatft=Fs-a，Res-ac0性质5（延迟性质）若Lft=Fs，又t0有Lfat=1aFsa Resac0公式1【1】如果A是一个nn 常数矩阵，就定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和：expA=k=0Akk!=E+A+A22!+Amm!+其中E为n阶单位矩阵，Am是矩阵A的m次幂.公式2【1】非齐次线性微分方程组x=Ax+ft 的解就是t=expt-t0A+t0texpt-sAfsds在这里A是nn 常数矩阵，ft是已知的连续向量函数，t0=是初值条件.3、主要结果3.1拉普拉斯变换法： 主要研究以下形式的方程组 xy=A11A12A21A22xy (1)期中，xRn1，yRn2，A11Rn1*n1，A12Rn1*n2， A21Rn2*n1，A22Rn2*n2初始条件是：x0=x0， x0=0， y0=y0 利用拉氏变换的微分性质Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f0-fn-10.先对方程组的两个方程两边取拉普拉斯变换： 设 Lxt=Xs， Lyt=Ys 并考虑到初始条件，则Lxt=s2Xs-sx0-x0Lyt=sYs-y0 把初始条件代入里面整理化简为Lxt=s2Xs-sx0Lyt=sYs-y0 于是，我们就可以把方程组（1）写为以下形式: A11A12A21A22XsYs=s2XssYs-sx0 y0 即： s2XssYs=A11A12A21A22XsYs+sx0 y0 s2XssYs-A11A12A21A22XsYs=sx0 y0 In1s200In2sX(s)Y(s)-A11A12A21A22X(s)Y(s)=sx0 y0 In1s2-A11-A12-A21In2s-A22XsYs=sx0 y0 其中，In1=11（其中未写出的元均为零），In1Rn1*n1；In2=11（其中未写出的元均为零），In1Rn2*n2；XsYs=In1s2-A11-A12-A21In2s-A22-1sx0 y0 (2)下面求In1s2-A11-A12-A21In2s-A22-1设A1A2B1B2In1s2-A11-A12-A21In2s-A22=In100In2 (3)把（3）式整理、化简并计算的过程如下：A1（In1s2-A11）+A2（-A12）A1-A12+A2In2s-A22B1（In1s2-A11）+B2（-A12）B1-A12+B2In2s-A22=In100In2根据矩阵对应相等得到下面的四个等式：A1（In1s2-A11）+A2-A12=In1 (4) A1-A12+A2In2s-A22=0 (5)B1（In1s2-A11）+B2-A12=0 (6) B1-A12+B2In2s-A22=In2 (7) 再由上面的四个式子可以分别求解出A1，A2，B1，B2先根据（4）和（5）两个式子把A1，A2求解出来，把（4）式的左右两边右乘（In1s2-A11）-1得到：A1+A2-A12（In1s2-A11）-1=（In1s2-A11）-1然后进行整理得：A1=（In1s2-A11）-1-A2-A12（In1s2-A11）-1 (8)再把（8）代入（5）中得到：（In1s2-A11）-1-A2-A12（In1s2-A11）-1-A12+A2In2s-A22=0化简得：（In1s2-A11）-1-A12-A2-A12（In1s2-A11）-1-A12+A2In2s-A22=0所以，通过整理、计算得到A2的解：A2=（In1s2-A11）-1-A12-A12（In1s2-A11）-1-A12-In2s-A22-1 (9)再把计算出来的9，A2的结果直接带入（8）中来计算出A1A1=（In1s2-A11）-1-（In1s2-A11）-1-A12-A12（In1s2-A11）-1-A12-In2s-A22-1-A12（In1s2-A11）-1再根据（6）和（7）两个式子把B1，B2求解出来.把（7）式的左右两边乘以-A12-1得到：B1+B2In2s-A22-A12-1=-A12-1然后进行整理得到：B1=-A12-1-B2In2s-A22-A12-1 （10）再把代换出来的（10）代入（6）中得到：-A12-1（In1s2-A11）-B2In2s-A22-A12-1（In1s2-A11）+B2-A12=0 进行化简，通过整理、计算得到A2的解：B2=-A12-1（In1s2-A11）In2s-A22-A12-1（In1s2-A11）-A12-1 （11）再把计算出来的11，B2的结果直接带入（10）中来计算出B1B1=-A12-1-A12-1（In1s2-A11）In2s-A22-A12-1（In1s2-A11）-A12-1In2s-A22-A12-1所以，我们就可以得到In1s2-A11-A12-A21In2s-A22-1=A1A2B1B2 （12） 然后把（12）带入到（1）中得到：XsYs=A1A2B1B2sx0y0即XsYs=A1sx0+A2y0B1sx0+B2y0上式两边取拉普拉斯逆变换得到：xtyt=L-1A1sx0+A2y0B1sx0+B2y03.2化为一阶线性方程组：把主要研究的以下形式的方程组xy=A11A12A21A22xy (1)期中，xRn1，yRn2，A11Rn1*n1，A12Rn1*n2， A21Rn2*n1，A22Rn2*n2初始条件是：x0=x0， x0=0， y0=y0研究此方程组的解和基解矩阵，可推广到更一般的情形，将方程组中的二阶项化为一阶，利用一阶线性方程组的方法来求解。xy=A11A12A21A22xy=A11x+A12yA21x+A22y所以，原方程课变形为x=A11x+A12yy=A21x+A22y令x1=x ， x2=x ， x3=y，则元初值问题可化为：x1=x=x2x2=A11x1+A12x3x3=A21x1+A22x3 且 x10=x0=x0x20=x0=0y10=y0=y0即：x=010A110A12A210A22x求出x=010A110A12A210A22x 的基解矩阵.因为 A=010A110A12A210A22=00000000A22+010000000+000A1100000+000000A2100+00000A12000这五个矩阵是可以交换的，我得到：expAt=exp00000000A22texp010000000texp000A1100000texp000000A2100texp01000A12000t下面先分别求出每一个矩阵级数的值：exp00000000A22t =100010001+00000000A22t+00000000A222t22+00000000A223t36=100010001+A22t+00000000t22A222+00000000t36A223=100010001+A22t+t22A222+t36A223exp010000000t=100010001+010000000t+0100000002t22+0100000003t36=1t0010001exp000A1100000t=100010001+000A1100000t+000A11000002t22+000A11000003t36=100A11t10001exp000000A2100t=100010001+000000A2100t+000000A21002t22+000000A21003t36=100010A21t01exp00000A12000t=100010001+00000A12000t+00000A120002t22+00000A120003t36=10001A12t001接着计算出矩阵指数 expAt 如下：100010001+A22t+t22A222+t36A2231t0010001100A11t10001100010A21t0110001A12t001=1t0010001+A22t+t22A222+t36A223100A11t10001100010A21t0110001A12t001=1+A11t2t0A11t10001+A22t+t22A222+t36A223100010A21t0110001A12t001=1+A11t2t0A11t10A21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A22310001A12t001=1+A11t2tA12t2A11t1A12tA21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A223所以解出了expAt=1+A11t2tA12t2A11t1A12tA21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A223代入公式 t=expt-t0A+t0texpt-sAfsds 得t=1+A11t2tA12t2A11t1A12tA21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A223x00y0计算上面矩阵乘积如下：t=x0+A11t2x0+A12t2y0A11tx0+A12ty0A21tx0+A212t2x0+t32A21A222x0+t46A223x0+y0+A22ty0+t22A222y0+t36A223y04、应用实例例 求解下面微分方程组xy=1001xy初始条件是：x0=1， x0=0， y0=1解 利用拉氏变换的微分性质Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f0-fn-10.先对方程组的两个方程两边取拉普拉斯变换： 设 Lxt=Xs， Lyt=Ys 并考虑到初始条件，则Lxt=s2Xs-sx0-x0Lyt=sYs-y0 把初始条件代入里面整理化简为Lxt=s2Xs-sLyt=sYs-1 于是，我们就可以把xt，yt代入题目中得到如下形式：1001XsYs=s2XssYs-s1s2XssYs-1001XsYs=s1 s200sX(s)Y(s)-1201X(s)Y(s)=s1 s2-100s-1 XsYs=s1 XsYs=s2-100s-1-1s1 （13）根据求解出来的（13）我们知道只要把s2-100s-1-1求解出来，便可以利用拉普拉斯逆变换解出此研究的问题.下面求s2-100s-1-1s2-100s-1100110011s2-1001s-1所以，s2-100s-1-1=1s2-1001s-1代入（13）中得到：XsYs=1s2-1001s-1s1解此方程组得到：XsYs=ss2-11s-1把它分别写出来为：Xs=ss2-1Ys=1s-1然后再取拉普拉斯逆变换得到：xtyt=L-1ss2-11s-1对于Ys=1s-1取它的逆变换便可以得出所求函数yt，故yt=L-11s-1=et对于Xs=ss2-1取它的逆变换便可以得出所求函数xt，故xt=L-1ss2-1=ch t所以，原方程组的解为xt=ch tyt=et5、总结线性微分方程组可以用拉普拉斯变换来解, 但是方程的个数要与未知函数的个数相同。首先要对方程组中的每一个方程进行拉普拉斯变