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你完全可以理解量子信息出品 | 新浪科技科学大家撰文 | 袁岚峰，中国科学技术大学化学博士，中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家实验室副研究员，科技与战略风云学会会长。近年来，你肯定看到了越来越多与“量子”有关的科技新闻。2016年8月16日，我国发射世界上第一颗量子科学实验卫星“墨子号”，更是全球轰动。但你如果想了解量子科学，在网络上看到的又大多是各种玄而又玄、莫名其妙的说法，什么“没有人懂得量子力学”啦，“超时空的瞬间作用”啦，“上帝不掷骰子”啦，越看越糊涂。你不禁会嘀咕：也许这么高深的东西，本来就超出了我的理解范围？“墨子号”量子卫星发射对此，本文想说的是：不要放弃治疗！好啦，这是开个玩笑。实际的意思是，量子科学是完全可以理解的，绝不是什么无法言传的东西。只要认真阅读本文，我相信你一定可以对这门学科得到相当深入的理解。深入到什么程度呢？至少可以超过绝大多数的媒体记者和吃瓜群众。以后再看到相关的新闻，你就会明白说的是什么事，背景是什么，具有什么样的意义了。毕竟，科学的本质是朴实无华的，任何道理都可以向人解释清楚。如果你厌倦了种种故弄玄虚的炒作，真心想学习一些“干货”，那么本文绝对是你的菜。当然，完全读懂本文并不是一件像喝“鸡汤”那样容易的事。全文近4万字，你可能需要分几次才能读完。而且这篇文章讲的是货真价实的科学原理，真要透彻理解，还是需要具有一定的基础，并集中注意力去思考的。需要什么样的基础呢？也许是高中的水平如果你真的很用心去读，说不定初中也行！（小学生：不要歧视我们！）咳咳，无论你的基础是什么样的，只要认真阅读和思考本文，你肯定会有所收获。好，让我们开始这场量子之旅。扣好安全带，我们要发车了！一、“量子”是什么？量子科学之所以显得神秘，首先这个名字就是一大原因。看到“量子”这个词，许多人在“不明觉厉”之余，第一反应就是把它理解成某种粒子。但是只要是上过中学的人，都知道我们日常见到的物质是由原子组成的，原子又是由原子核与电子组成的，原子核是由质子和中子组成的。那么量子究竟是个什么鬼？难道是比原子、电子更小的粒子吗？其实不是。量子跟原子、电子根本不能比较大小，因为它的本意是一个数学概念。正如“5”是一个数字，“3个苹果”是一个实物，你问“5”和“3个苹果”哪个大，这让人怎么回答？正确的回答只能是：它们不是同一范畴的概念，无法比较。量子这个数学概念的意思究竟是什么呢？就是“离散变化的最小单元”。什么叫“离散变化”？我们统计人数时，可以有一个人、两个人，但不可能有半个人、1/3个人。我们上台阶时，只能上一个台阶、两个台阶，而不能上半个台阶、1/3 个台阶。这些就是“离散变化”。对于统计人数来说，一个人就是一个量子。对于上台阶来说，一个台阶就是一个量子。如果某个东西只能离散变化，我们就说它是“量子化”的。上台阶跟“离散变化”相对的叫做“连续变化”。例如你在一段平路上，你可以走到1米的位置，也可以走到1.1米的位置，也可以走到1.11米的位置，如此等等，中间任何一个距离都可以走到，这就是“连续变化”。显然，离散变化和连续变化在日常生活中都大量存在，这两个概念本身都很容易理解。那么，为什么“量子”这个词会变得如此重要呢？因为人们发现，离散变化是微观世界的一个本质特征。微观世界中的离散变化包括两类，一类是物质组成的离散变化，一类是物理量的离散变化。先来看第一类，物质组成的离散变化。例如光是由一个个光子组成的，你不能分出半个光子、1/3个光子，所以光子就是光的量子。阴极射线是由一个个电子组成的，你不能分出半个电子、1/3个电子，所以电子就是阴极射线的量子。在这种情况下，你似乎可以拿量子去跟原子、电子比较了，但这并没有多大意义，因为它是随你的问题而变的。原子、电子、质子、中子、中微子这些词本身就对应某些粒子，而量子这个词在不同的语境下对应不同的粒子（如果它对应粒子的话）。并没有某种粒子专门叫做“量子”！再来看第二类，物理量的离散变化。例如氢原子中电子的能量只能取-13.6 eV（eV 是“电子伏特”，一种能量单位）或者它的1/4、1/9、1/16 等等，总之就是-13.6 eV除以某个自然数的平方（-13.6/n2eV，n可以取1、2、3、4、5等），而不能取其他值，例如-10 eV、-20 eV。我们不好说氢原子中电子能量的量子是什么（因为不是等间距的变化），但会说氢原子中电子的能量是量子化的，位于一个个“能级”上面。每一种原子中电子的能量都是量子化的，这是一种普遍现象。氢原子能级发现离散变化是微观世界的一个本质特征后，科学家创立了一门准确描述微观世界的物理学理论，就是“量子力学”。现在你可以明白，这个名称是怎么来的，它其实是为了强调离散变化在微观世界中的普遍性。量子力学出现后，人们把传统的牛顿力学称为“经典力学”。对普通民众来说，量子力学听起来似乎很前沿。但对相关专业（物理、化学）的研究者来说，量子力学是个很古老的理论，已经超过一个世纪了！量子力学的起源是在1900年，德国科学家普朗克（Max Planck）在研究“黑体辐射”问题时，发现必须把辐射携带的能量当作离散变化的，才能推出跟实验一致的公式。在此基础上，爱因斯坦（Albert Einstein）、玻尔（Niels H. D . Bohr）、德布罗意（Louis V. de Broglie）、海森堡（Werner K. Heisenberg）、薛定谔（Erwin R. J. A. Schrodinger）、狄拉克（Paul A. M. Dirac）等人提出了一个又一个新概念，一步一步扩展了量子力学的应用范围。到1930年代，量子力学的理论大厦已经基本建立起来，能够对微观世界的大部分现象做出定量描述了。二、无处不在的量子力学量子力学和相对论是二十世纪的两大科学革命，对人类的世界观产生了强烈的震撼。但论公众中的知名度，量子力学似乎比相对论低得多。原因可能在于，相对论主要是由爱因斯坦一个人创立的，孤胆英雄的形象易于记忆和传播，而量子力学的主要贡献者有好几位，没有一个独一无二的代言人。爱因斯坦和相对论称得上妇孺皆知，而听说过量子力学中的“薛定谔的猫”、“海森堡测不准原理”这些词的人，已经算是科学发烧友了。但是，大多数人不知道的是，论应用的范围和研究者的人数，量子力学远远超过相对论。也就是说，相对论是一个名气较大而用得较少的理论，量子力学是一个名气较小而用得较多的理论。为什么会这样？看看这两种理论发挥作用的条件，就明白了。相对论在物体以接近光速运动时和强引力场条件下具有基础的重要性。可是日常生活中有多少机会遇到这些情况呢？大多数情况下，我们研究的对象还是在以低速运动，地球的引力场也不强。所以目前相对论的应用，局限在宇宙学、重元素的化学、原子钟、全球定位系统等少数领域。而另外一边，描述微观世界必须用量子力学，宏观物质的性质又是由其微观结构决定的。因此，不仅研究原子、分子、激光这些微观对象时必须用量子力学，而且研究宏观物质的导电性、导热性、硬度、晶体结构、相变等性质时也必须用量子力学。许多最基本的问题，是量子力学出现后才能回答的。例如：为什么原子能保持稳定，例如氢原子中的电子不落到原子核上？（因为氢原子中电子的能量是量子化的，最低只能取-13.6 eV，如果落到原子核上就变成负无穷，低于这个值了。）原子模型为什么原子能形成分子，例如两个氢原子H聚成一个氢气分子H2？为什么原子有不同的组合方式，例如碳原子能组合成石墨、金刚石、足球烯、碳纳米管、石墨烯？为什么食盐NaCl会形成离子晶体？为什么有些物质很稳定，而有些物质容易发生化学反应？为什么有些物质例如铜能导电，有些物质例如塑料不导电？为什么有些物质例如硅是半导体？为什么有些物质例如水银在低温下变成超导体？。为什么会有相变，例如水在0摄氏度以下结冰，0-100摄氏度之间是液体，100摄氏度以上气化？为什么改变钢铁的组成，能制造出各种特种钢？为什么激光器和发光二极管能够发光？为什么化学家能合成比大自然原有物质种类多得多的新物质？为什么通过观察宇宙中的光谱线能知道远处星球的元素组成？现代社会硕果累累的技术成就，几乎全都与量子力学有关。你打开一个电器，导电性是由量子力学解释的，电源、芯片、存储器、显示器的工作原理是基于量子力学的。走进一个房间，钢铁、水泥、玻璃、塑料、纤维、橡胶的性质是由量子力学决定的。登上飞机、轮船、汽车，燃料的燃烧过程是由量子力学决定的。研制新的化学工艺、新材料、新药，都离不开量子力学。可以这么说：与其问量子力学能用来干什么，不如问它不能干什么！以上是就应用的范围比较量子力学和相对论。另一个观察的角度，是研究和学习的人数。现在所有的物理专业学生和许多相关专业（尤其是化学）的学生，都要学习量子力学，而学习广义相对论的只有理论物理、天文学等专业的学生（学习狭义相对论的学生还是很多的）。量子力学的研究活跃度也大大高于相对论。在媒体报道中你会发现，量子领域日新月异，相对论领域的大新闻却是验证爱因斯坦100年前预测的引力波！双黑洞合并产生引力波三、方兴未艾的量子信息既然量子力学出现已经超过了一个世纪，为什么最近在媒体上变得如此火热？回答是：量子力学与信息科学的交叉学科量子信息。这两门学科为什么可以交叉起来？因为对于信息科学来说，量子力学是一种可资利用的数学框架。量子信息的目的，就是利用量子力学的特性，实现经典信息科学中实现不了的功能，例如永远不会被破解的保密方法（就是后面要解释的“量子密码术”）、科幻电影中的“传送术”（是的，传送术原则上是可以实现的，它的专业名称叫做“量子隐形传态”）。正如经典的信息科学包括通信和计算两大主题，量子信息的研究内容也可以分成两大块：量子通信和量子计算。量子信息学科内容量子信息的大发展，把量子变成了舆论热词。在科学界内部其实很少用“量子科技”这个说法，因为如前所述，现代社会的所有技术成果都离不开量子力学，哪里有不“量子”的科技呢？科学家们更喜欢用有明确定义的“量子力学”和“量子信息”等词汇。你在媒体上看到“量子科技”的时候，指的往往就是量子信息。四、微观世界运行的操作手册你可能听说过不少渲染量子力学如何难以理解的说法，如“连爱因斯坦都理解不了量子力学”，“费曼说，没有人理解量子力学”。但对初学者来说，这些说法有点误导，会让你以为量子力学是一种玄学、禅机，一种类似脑筋急转弯或者诡辩的东西。实际上，量子力学是一套清晰的数学框架，可以比作微观世界运行的一本操作手册。全世界有数以百万计的科技人员熟悉这本操作手册，就像全世界有数以百万计的管道工熟悉管道操作一样。根据这本操作手册，我们能对微观世界的运行做出精确的预测，跟实验符合得极好，常常准确到小数点后第9位甚至更多。英国物理学家狄拉克的名著量子力学原理那么难理解的是什么呢？是这本操作手册“为什么”是这样，这是个哲学层面的问题。而这本操作手册本身，是十分清楚的。好比你拿到九阴真经，虽然不明白里面很多地方为什么这么写，但你照着练就能成为武林高手。从信息科学的角度看来，量子力学中能够利用的是三个非常违反宏观世界日常经验的要点：叠加、测量和纠缠。我们不妨称之为“三大奥义”。这不是说量子力学中只有这三个奥义，当然还有其他的，只是跟信息科学的关系不是那么大，本文中就不介绍了。这三大奥义虽然违反“常识”，但微观世界的许多实验早已验证了它们的正确性。在阅读下文时，每当你感到“这怎么可能”、“这不是胡说八道吗”的时候，请记住，这些原理不是某个科学家的心血来潮向壁虚构，而是已经经过近百年来的无数实验反复证明的，其应用范围几乎涉及我们身边所有事物。所以，在目前的认识范围内，科学界把这些原理视为真理。如果你想问“如果这些理论是错的会怎么样”，回答是：你的电视就开不了机，手机就通不了信，计算机就算不了东西，灯管就发不了光。所以，你希望这些理论是错的，还是对的呢？下面我来具体解释这“三大奥义”，其中要用到一些数学符号，因为这是最容易理解的方式。如果用日常语言来描述，会多费很多口舌，还说得不清不楚。许多文章令人越看越糊涂，就是这个原因。而用数学语言来描述，就能准确简洁地了解这“三大奥义”。如果你真心想理解量子信息，超出吃瓜群众的水平，你就一定要跨越这个心理障碍，勇敢地面对数学。这样做了以后，你就会发现，其实并不难，你完全可以做到！五、第一大奥义：叠加“比特”是计算机科学的基本概念，指的是一个体系有且仅有两个可能的状态，一般用“0”和“1”来表示。典型的例子，如硬币的正、反两个面或者开关的开、关两个状态。但在量子力学中，情况出现了本质的不同。量子力学有一条基本原理叫做“叠加原理”：如果两个状态是一个体系允许出现的状态，那么它们的任意线性叠加也是这个体系允许出现的状态。现在问题来了，什么叫做“状态的线性叠加”？为了说清楚这一点，最方便的办法是用一种数学符号表示量子力学中的状态，就是在一头竖直一头尖的括号“|”中填一些表示状态特征的字符。这种符号是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”。在量子信息中，经常把两个基本状态写成|0和|1。而|0和|1的线性叠加，就是a|0 + b|1，其中a和b是两个数。“线性”意味着用一个数乘以一个状态，“叠加”意味着两个状态相加，所以“线性叠加”就是把两个状态各自乘以一个数后再加起来。叠加原理说的是：如果一个体系能够处于|0和处于|1，那么它也能处于任何一个a|0 + b|1，这样的状态称为“叠加态”。这里a和b可以取任何数，对它们唯一的限制，就是它们的绝对值的平方和等于1，即|a|2+ |b|2= 1。叠加原理乍看起来完全和常识相反。假如用|0代表你在北京喝茶，|1代表你在巴黎喝茶，那么(|0 + |1)/2就意味着你同时在北京与巴黎喝茶！这种状态怎么可能存在呢？但量子力学的一切实验结果都表明，叠加原理是正确的，是一条必不可少的基本原理，至少在微观世界中是如此。一个电子确实可以“同时位于两个地方”（这句话实际的意思，要到下一节讲“测量”时才能完全明白）。至于宏观世界里为什么没见过一个人同时位于两处，那是另一个深奥的问题，我们在本文中不做进一步的讨论。量子力学中的“叠加”在叠加原理的框架下，经典的比特变成了“量子比特”。也就是说，这个体系的状态不是只能取“0”或取“1”了，而是可以取任意的a|0 + b|1状态，例如(|0 + |1)/2、(|0 - |1)/2、(|0 + 3|1)/2、(3|0 - |1)/2等等。从两个选择到无穷多个选择，这是个巨大的扩展。显然，一个量子比特包含比一个经典比特大得多的信息量。为了更方便地理解这个概念，我们可以把一个量子力学的状态理解成一个矢量（请回忆高中数学，矢量就是既有大小也有方向的量，例如牛顿力学中的力、速度、位移都是矢量）。实际上，狄拉克符号|正是为了让人联想到矢量而设计的。以后我们就把表示量子力学状态的矢量称为“态矢量”。我们可以认为，所有的a|0 + b|1态矢量都属于同一个平面。而在这个平面上，|0和|1定义了两个方向，相当于xy两个坐标轴上的单位矢量。在|a|2+ |b|2= 1的条件下，a|0 + b|1就是从原点到半径为1的单位圆上一点的矢量。看清楚这个几何图象，我们立刻就明白，单位圆上任何一点的地位都是相同的，没有一个态比其他态更特殊，可谓“众生平等”。回忆一下高中学的解析几何。在那里我们首先要画出坐标系，确定两个坐标轴的方向，但具体的选择完全是随意的。任何两个方向都可以作为x轴和y轴，只要它们互相垂直。无论你怎么选择坐标轴，最终的计算结果都不会变（当然，计算过程的繁简程度可能不同）。在这里也是一样，你选择哪两个矢量作为|0和|1都可以，唯一的要求就是它们互相垂直。叠加原理和基组我们可以定义两个状态|+ = (|0 + |1)/2和|- = (|0 - |1)/2，从图中可以看出，它们相当于把|1和|0向左旋转45度。如果把|+和|-当作基本状态，用它们的线性叠加来表示单位圆上所有的状态，同样是可行的，这就相当于把坐标系向左旋转了45度。在这个新的坐标系下，|0 = (|+ + |-)/2，|1 = (|+ - |-)/2。事实上，一种常见的实现量子比特的方法，就是用光子的“偏振态”。光是一种电磁波，不断地产生电场和磁场。如果电场位于某个确定的方向，我们就说这个光子是偏振的。四个状态|0、|1、|+和|-，分别对应光子的偏振处于0度、90度、45度和135度。在这个体系中，上面的图就不仅是个比喻，而且直接对应实验了。取一组矢量，如果其他所有的矢量都能表示成这组矢量的线性叠加，那么这组矢量就叫做“基组”。|0和|1构成一个基组，|+和|-也构成一个基组，这样的基组有无穷多个。根据上面的图，我们还可以做一个比喻：经典比特是“开关”，只有开和关两个状态（0和1），而量子比特是“旋钮”，就像收音机上调频的旋钮那样，有无穷多个状态（所有的a|0 + b|1）。显然，旋钮的信息量比开关大得多。六、第二大奥义：测量在经典力学中，测量固然是一种重要的操作，但我们不会认为测量过程跟其他过程服从不同的物理规律。无论你看或不看某个物体，你都相信它具有某些确定的性质，如位置、速度，而且你看了以后这些性质不会变化。总之，你可以随便看。可是在量子力学中，测量跟其他过程有本质的区别，描述测量要用与众不同的物理规律！你不能随便看了，你看或不看某个体系，会造成很大的区别。量子力学中的测量，特殊在哪里呢？首先，在量子力学中，每一次测量都必须对应某个基组。两次测量可以用不同的基组，比如你可以这次用|0和|1，下次用|+和|-，这是允许的，但每次你都必须确定当前用的是哪个基组。确定了基组，然后呢？这时有两种情况，取决于待测量的态是不是基组中的一个态。如果是，那么测量后这个态不变。比如说在|0和|1的基组中测量|0，必然得到|0。然而，如果待测量的态不是基组中的一个态，比如说在|0和|1的基组中测量a|0 + b|1，其中a和b都不等于0，也就是说这个态既不是|0也不是|1，会怎么样？答案是：这个态会发生突变！也常有人把这个突变称为“塌缩”、“坍缩”或类似的词。这个突变是瞬间发生的，是一个真正意义上的突然变化。变成什么？变成基组中的一个态，即|0或|1中的某一个。更具体地说，以|a|2的概率变成|0，以|b|2的概率变成|1。请注意，我们无法预测特定的某次测量变成|0还是|1，能预测的只是概率。由于只可能有这两种结果，所以这两个概率相加等于1，这就是|a|2+ |b|2= 1的原因。上一节中说，一个电子可以“同时位于两个地方”。实际的意思就是，一个电子可以处于两个位置的叠加态，测量它的位置时，会以一定的概率发现它位于这里，以一定的概率发现它位于那里。量子力学中的“测量”测量导致状态突变之后，再在同样的基组下测量，就回到了第一种情况（待测的态是基组中的一个态），所以就不会变了。也就是说，如果你第一次测得的是|0，那么以后你再在|0和|1的基组中测量多少次，都仍然是|0；如果你第一次测得的是|1，那么以后你再在|0和|1的基组中测量多少次，都仍然是|1。我们可以把测量理解为强迫叠加态“削足适履”：给你一组状态，跟你都不一样，而你必须在其中选择一个，就只好随机挑了。八仙中铁拐李的故事，用在这里意外的合拍。铁拐李原本是一位翩翩公子，F4级别的帅哥。由于修仙有成，应邀去参加太上老君的“学术活动”。临走时，他告诉学生自己要元神出窍七天，要学生照看好自己的身体。参加完学术活动回来，却发现学生已经把自己的身体火化了。（难道是因为考试没给他过？）这时鸡马上就要叫，如果他找不到可附体的对象就要魂飞魄散。这时他发现周围有几个可附的尸体，他只得在其中随便选择一个！（原来的故事是只有一个尸体，但一个基组至少要有两个态可供选择。）不料是个拐子，于是帅哥李就变成了铁拐李。结论是：学术活动害死人（大误）铁拐李测量中的突变，意味着我们对因果律的理解需要改变。举个例子，在|0和|1的基组中测量|+ = (|0 + |1)/2，会以一半的概率得到|0，一半的概率得到|1。概率的意思是，如果你制备很多个处于|+的体系，把这个实验重复很多次，那么可以预测你有接近一半的次数得到|0，接近一半的次数得到|1。但对于单独的一次实验，你没办法做出任何预测。是的，同样的原因可以导致不同的结果！这种内在的随机性是量子力学的一种本质特征。在经典力学中，一切演化都是决定性的，同样的原因必然导致相同的结果，量子力学却不是这样。有人在这里可能要问：经典力学中也有随机性，掷硬币不就是一半概率朝上，一半概率朝下吗？回答是：同样是概率，背后的原因不一样，可改进的余地也不一样。掷硬币的结果难以预测，是因为相关的外界因素太多：硬币出手时的方位、速度、空中的气流状况等等。也就是说，经典力学中的概率反映的是信息的缺乏。你可以通过减少这些因素的干扰来增强预测能力，例如在真空中掷，消灭气流，用机器掷，固定方向和力度。最终，你可以确定地掷出某一面，或者至少使掷出某一面的机会显著超过另一面。（赌神是怎样炼成的！）赌神但在量子力学中，测量结果的概率是由体系本身的状态决定的，不是由于外界的干扰，不是由于缺少任何信息，因此完全无法“改进”。给你一个处于|+的粒子，问你有什么办法保证这次在|0和|1的基组中测量它时得到|0，回答只能是：没有任何办法。（卡门：爱情是一只不羁的鸟儿，任谁都无法驯服）所以再次强调，这种随机性是内在的，是量子力学的一种本质特征！卡门：爱情像一只自由的小鸟七、第三大奥义：纠缠前面说的都只是一个量子比特的体系，已经有这么多不可思议之处。多个量子比特的体系，可想而知会更加奇怪。这就引出了“量子纠缠”现象，你听说过这个词，对不对？量子纠缠在许多文章中被传得神乎其神，几乎成了心灵感应、神秘主义的代名词。但其实量子纠缠是一个有明确定义的概念，是一种被量子力学预言必然出现也早就观测到了的现象。它的物理原理很清楚，绝大部分神秘感都是被故弄玄虚的媒体强加上去的。看了下面的解释，你就明白它实际上是什么了。我们先来看一个数学问题。拿出一个二元函数F(x, y)，你来试着把它写成一个关于x的函数f(x)与一个关于y的函数g(y)的乘积，也就是说，寻找f(x)和g(y)，使得F(x,y) = f(x) g(y)。如果可以，我们就说F(x, y)是可以“分离变量”的。如果不行，我们就说它不能分离变量。同样的定义可以推广到二元以上的函数，例如F(x, y, z) 是否可以写成f(x) g(y) u(z)，就是这个三元函数能不能分离变量。显然，有些二元函数是可以分离变量的。例如F(x, y) = xy，你取f(x) = x和g(y) = y就可以了。（这是道送分题！）又如F(x, y)= xy + x + y + 1，仔细看看你就会发现它等于(x + 1) (y + 1)，所以取f(x) = x + 1和g(y) = y + 1即可。然而，如果F(x, y) = xy + 1呢？这时你就会发现，无论如何也不能把它表示成f(x)g(y)。对此可以用反证法证明如下：假设F(x, y) = f(x) g(y) ，那么对y取两个值y1和y2时，F(x, y1) = f(x)g(y1)，F(x, y2) = f(x) g(y2) 。这两个式子相除，就会把f(x) 消掉，得到F(x, y1) / F(x, y2) = g(y1) / g(y2) 。等式的右边g(y1) / g(y2) 是一个与x无关的数，因此等式的左边F(x, y1) / F(x, y2) 也必须是个与x无关的数。可是对于F(x, y) = xy + 1，设y1 = 0，得到F(x, y1) = 1，设y2= 1，得到F(x, y2) = x + 1。两者相除得到F(x, y1) / F(x, y2) = 1 / (x + 1) ，跟x有关。因此初始的假设不对，F(x, y) = xy + 1不能分离变量。有了以上的数学准备，我们就可以解释量子纠缠是什么了。在量子力学中，体系的状态（没错，就是前面说的态矢量）可以用一个函数来表示，称为“态函数”（是的，你既可以把它理解为一个函数，也可以把它理解为一个矢量，两者不矛盾，怎么方便怎么来）。单粒子体系的态函数是一元函数，多粒子体系的态函数是多元函数。如果这个多元函数可以分离变量，也就是可以写成多个一元函数直接的乘积，我们就把它称为“直积态”。如果它不能分离变量，我们就把它称为“纠缠态”。直积态和纠缠态的区分为什么重要？我们举些例子来说明。在量子力学中，我们常常用类似|00的狄拉克符号来表示两粒子体系的状态，其中第一个符号表示粒子1所处的状态，第二个符号表示粒子2所处的状态，|00就表示两个粒子都处于自己的|0态。同理，|01表示粒子1处于自己的|0态、粒子2处于自己的|1态，|11表示两个粒子都处于自己的|1态，如此等等。这些状态都是直积态，体系整体的二元态函数就是两个粒子各自的一元态函数的乘积。对于直积态，你在测量粒子1的时候，不会影响粒子2的状态，所以你可以说“粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态”。这就是分离变量的结果。下面我们来考虑这样一个状态：|00 = (|00 + |11)/2，它是|00和|11的一个叠加态（是的，叠加原理对多粒子体系也成立）。这个态是不是直积态呢？也就是说，(|00 + |11)/2能不能写成(a|0 + b|1) (c|0 + d|1)（前一个括号中是粒子1的状态，后一个括号中是粒子2的状态）？你立刻就会发现，不能。假如可以的话，因为这个状态中不包含|01，所以ad = 0，于是a和d中至少有一个等于0。但是如果a = 0，|00就不会出现；而如果d = 0，|11又不会出现。无论如何都自相矛盾，所以假设错误，|00不是直积态，而是纠缠态，不能分离变量。这就意味着，不能用“粒子1处于某某状态，粒子2处于某某状态”这样的语言来描述|00，你只能说这个体系整体处于|00状态。真正惊人的事情，发生在对|00做测量的时候。你对它测量粒子1的状态，会以一半的概率使整个体系变成|00，此时两个粒子都处于自己的|0；以一半的概率使整个体系变成|11，此时两个粒子都处于自己的|1。你无法预测单次测量的结果，但你可以确定，粒子1变成什么，粒子2也就同时变成了什么。两者总是同步变化的。好比成龙的电影双龙会中有心灵感应的双胞胎，一个做了某个动作，另一个无论相距多远都会做同样的动作。成龙双龙会在许多科普文章中，也经常用另一个态(|01 + |10)/2作例子，我们可以把它记为|01。这个态的特点是，你对它测量粒子1的状态，会以一半的概率发现粒子1处于|0，粒子2处于|1，另一半概率发现粒子1处于|1，粒子2处于|0。你无法预测单次测量的结果，但你可以确定，粒子1变成什么，粒子2就同时变成了相反的状态。下面的漫画表现的就是这个态。量子力学中的“纠缠”有趣的是，纠缠这个重要的量子力学现象，是由几位反对量子力学的科学家提出的，而且其中的“带头大哥”就是爱因斯坦！天龙八部带头大哥如前所述，爱因斯坦是量子力学早期的奠基人之一。实际上，他得诺贝尔奖不是因为提出相对论，而是因为提出光量子（即光子）理论（这是诺贝尔奖委员会做过的最搞笑的事情之一）。但随着量子力学的发展，爱因斯坦对量子力学的许多特性产生了深深的怀疑。他认为每个粒子在测量之前都应该处于某个确定的状态，而不是等到测量之后，否则就不能叫做“物理实在”。爱因斯坦的一个经典问题是：“你是否相信，月亮只有在我们看它的时候才存在？”1935年，爱因斯坦（Albert Einstein）、波多尔斯基（Boris Podolsky）和罗森（Nathan Rosen）提出了一个思想实验，后人用他们姓的首字母把他们三人合称为EPR。先让两个粒子处于|00态，这样一对粒子称为“EPR对”。把这两个粒子在空间上分开很远，可以任意的远。然后测量粒子1。如果你测得粒子1在|0，那么你立刻就知道了粒子2现在也在|0。EPR问：既然两个粒子已经离得非常远了，粒子2是怎么知道粒子1发生了变化，然后发生相应的变化的？EPR认为两个粒子之间出现了“鬼魅般的超距作用”，信息传递的速度超过光速，违反了狭义相对论。所以，量子力学肯定有毛病。这是个深邃的问题，量子力学的另一位奠基人玻尔为此跟爱因斯坦进行过激烈的辩论。玻尔的回答是：处于纠缠态的两个粒子是一个整体，绝不能把它们看作彼此独立无关的，无论它们相距有多远。当你对粒子1进行测量的时候，两者是同时发生变化的，并不是粒子1变了之后传一个信息给粒子2，粒子2再变化。所以这里没有发生信息的传递，并不违反相对论。玻尔与爱因斯坦仔细想一想，你就会明白EPR实验没有传输信息。如果A希望把一比特的信息“0”或“1”传给远处的B，那么双方需要事先约定好如何表示这个信息，比如说A想传“0”时就让B测得粒子2处于|0，A想传“1”时就让B测得粒子2处于|1。假如A能控制测量的结果，比如说这次A一定会让粒子1处于|0，那么A同时就让粒子2处于了|0，A确实就给B传了一个“0”。但是，量子力学的精髓恰恰在于测量的结果是随机的，你不能控制，所以EPR实验不能这么用。A测量粒子1得到的是一个随机数，B测量粒子2得到的也是一个随机数，只不过这两个随机数必然相等而已。你想传一个比特，可是EPR对完全不听你指挥，所以你传不了任何信息。既然没传输信息，当然就不违反狭义相对论了。在爱因斯坦和玻尔的时代，人们只能对EPR问题进行哲学辩论（这是好听的说法，说得通俗一点就是“打口水仗”），无法通过实验做出判断。1964年，贝尔（John S. Bell）指出，可以设计一种现实可行的实验，把双方的矛盾明确表现出来。对两粒子体系测量某些物理量之间的关联程度，如果按照EPR的观点，这些物理量在测量之前就有确定的值，那么这个关联必然小于等于2；而按照量子力学，这个关联等于22，大于2。这个“关联小于等于2”的不等式叫做贝尔不等式，而量子力学不满足贝尔不等式。漫画：贝尔不等式从1980年代开始，阿斯佩克特（Alain Aspect）等一系列的研究组在越来越高的精度下做了实验，结果都是在很高的置信度下违反贝尔不等式，量子力学赢了。EPR的思想实验最初是用来批驳量子力学的，结果却证实了量子力学的正确！类似的故事在科学史上也常有。十九世纪的时候，泊松（Simeon-Denis Poisson）主张光是粒子，菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）主张光是波动，两个阵营打得不可开交。1818年，菲涅耳计算了圆孔、圆板等形状的障碍物产生的衍射花纹。泊松指出，按照菲涅耳的理论，在不透明圆板的正后方中央会出现一个亮点。从常识来看，不应该是暗的吗？于是泊松宣称波动说推出了荒谬的结果，已经被驳倒了。但是菲涅耳和阿拉果（Dominique F. J. Arago）立即做实验，结果显示那里真的有一个亮斑（学过光学的同学能够理解，这是因为所有到达那里的衍射光都经过同样的路程，发生同相的叠加，互相加强）。于是波动说大获全胜，粒子说被打入冷宫（1905年被爱因斯坦复活了，这就是他得诺贝尔奖的原因）。后人很有幽默意味地把这个亮点称为泊松亮斑。这正应了尼采的话：“杀不死我的，使我更强大！”泊松亮斑EPR现象既然是一个真实的效应，而不是爱因斯坦等人以为的悖论，人们就想到利用它。现在，EPR对是量子信息中一个非常有力的工具。对此我们只能说，伟人连错误都是很有启发性的！就像大话西游中的名言：跑都跑得那么帅大话西游紫霞仙子：跑都跑得那么帅，我真幸福现在科学家们认为，纠缠是一种新的基本资源，其重要性可以和能量、信息、熵或任何其他基本的资源相比。不过目前还没有描述纠缠现象的完整的理论，人们对这种资源的理解还远不够深入。有人把纠缠比喻为“青铜时代的铁”，它可能会在下一个历史时代大放异彩。对量子纠缠的种种误解，经常出现在各种半吊子“科普”文章或者装神弄鬼的文章中。这里来稍稍解释一下。最经常见到的误解是：量子纠缠是个非常神奇的现象，没有人知道它的机制是什么。实际情况是：量子纠缠的机制就是上面说的这些，叠加原理，测量时的突变，直积态和纠缠态的区别。其实量子纠缠是一个被理论预言然后确实观察到了的现象，而不是意外的实验发现，所以，科学家怎么可能不知道它的机制呢？如果你觉得这些不像个“机制”，那么请你想想，2 + 3 = 5的机制又是什么？我们只能说，2 + 3 = 5是自然数理论的必然推论，自然数理论就是它的机制。量子纠缠现象就是量子力学原理的必然推论，你不可能把量子力学之外的东西搞成它的机制。经常有人脑洞大开地提议，量子纠缠的机制是，两个相距遥远的粒子在高维空间里连在一起，或者说它们的“内部距离”为零，我们平时看到的三维空间是高维空间的投影。这种说法看起来很机智，实际上没有什么用处。因为它完全是为了解释量子纠缠这一个现象而提出来的，而且只是定性解释，不能给出任何定量预测，也不能用到任何别的现象上。这只是一种语言游戏而已。就像有的原始人看到飞机飞行觉得很神奇，造个理论说有一只大鸟的魂灵在这铁鸟里面托着它飞，在其他原始人看来好像很有道理，在内行看来却是多此一举。真要想理解飞机的原理，你就必须学空气动力学。同样，真要想理解量子纠缠的原理，你就必须学量子力学，舍此别无他途。还有一种常见的误解，是以为任何两个粒子都会横跨整个宇宙同步变化。实际情况是，只有处于纠缠态的两个粒子才会这样。这是一个需要条件的现象，不是无条件的，而且在实验上精确制备这种条件还很不容易。量子纠缠是一种多粒子体系的现象，而粒子越多，操纵起来当然就越困难。所以你会不时地看到这样的新闻：中国科学技术大学潘建伟团队实现了x个光子的纠缠态，刷新了以前同一研究组创造的y个光子纠缠的世界纪录。最新的x = 10，y = 8，这是2016年12月的消息。多次打破世界纪录的撑杆跳高名将布勃卡和牙买加飞人博尔特，就是这个feel！十光子纠缠最大而无当的误解，是以为量子纠缠证明了某种神秘主义的哲学或宗教，大发一通包罗万象、鬼话连篇的议论。实际情况是，量子纠缠是个原理很清楚的物理现象。你要拿它来讨论哲学或宗教，至少也该先搞清楚它是什么！八、量子信息的优势从以上内容可以看出，量子信息跟经典信息相比有很大的优势。首先是一个显而易见的优势。前面比喻过：经典比特是“开关”，只有开和关两个状态，而量子比特是“旋钮”，有无穷多个状态。旋钮的信息量显然比开关大得多。还有一个稍微复杂一点的优势。一个包含n个经典比特的体系，总共有2n个状态。想知道一个函数在这个n比特体系上的效果，需要对这2n个状态都计算一遍，总共要2n次操作。当n很大的时候，2n是一个巨大的数字。指数增长是一种极快的增长，比n的任何多项式都快。比如说，2n比n的10000次方增长得还要快。指数增长的威力。如图所示，指数函数虽然在最初落后，但很快势不可挡地超越了线性函数和三次方函数，而且越到后面把它们甩得越远对n个量子比特的体系，却有一个巧妙的办法。使每个量子比特都处于自己的|+ = (|0 + |1)/2态，那么整个体系的状态就是|+ = (|000 + |001 + + |111) /2n/2。（根据定义就可以知道，这是个直积态，不是纠缠态，虽然它确实是一个叠加态。纠缠态和叠加态是两个概念。）仔细看看你会发现，0和1的所有长度为n的组合都出现在其中，总共有2n项，刚好对应n个经典比特的2n个状态。对这个叠加态做一次操作，得到的就是所有2n个结果的叠加态。量子比特的一次操作，就达到了经典比特2n次操作的效果！但在欢呼之前，我们需要认清，这个巨大的优势并不容易利用。因为所有2n个结果是叠加在一起的，读取出来需要做测量，而一做测量就只剩下一个结果，其余的结果都被破坏了。所以我们只能把这个优势称为潜在的巨大优势，真要利用它，需要非常巧妙的算法。这样的算法只对少数的问题能够设计出来，后面会举一些例子，如“因数分解”。有些科普文章把量子计算机描写成无所不能，快成神了，这是重大的误解。量子计算机的强大，是与问题相关的，只针对特定的问题。九、量子信息的应用前面说过，量子信息的研究内容包括量子通信和量子计算。从这两个名字我们立刻就可以发现，量子信息还没有进入生活，因为大家都还在用经典的电脑和手机呢。具体地说，量子通信已经有了一些实际应用，量子卫星就是做相关实验的。而量子计算的发展程度要低得多，还处于演示阶段，尚未造出有实用价值的量子计算机。量子信息究竟能用来干什么呢？下面我们来介绍量子信息的四项应用。在量子计算方面，有量子因数分解（破解最常用的密码体系）和量子搜索（用途最广泛的量子算法）。在量子通信方面，有量子隐形传态（“传送术”，最富有科幻色彩的应用）和量子密码术。在所有这些应用中，量子密码术是目前唯一接近实用的，但这一个就非常重要，足以表现量子信息的价值了。十、量子因数分解和密码破解所谓因数分解，就是把一个合数分解成质因数的乘积，例如21 = 3 7。因数分解是数学中的经典难题。你也许会问，这有什么难的？你当然不管三七二十一就能分解21，但请试试看分解267- 1 = 147,573,952,589,676,412,927。这是个18位数。1644年（明朝灭亡的那一年），法国数学家梅森（Marin Mersenne）提出它是一个质数。在那之后的很长时间里，人们都这么认为。直到1903年（清朝都快亡了），人们才发现它是一个合数，等于193,707,721 761,838,257,287。耗了一个朝代！让我们想想，如何分解一个数字N。最容易想到的算法，是从2开始往上，一个一个地试验能否整除N，一直到N的平方根为止。如果N用二进制表示是个n位数，即N约等于2n，那么尝试的次数大致就是2n/2。这是指数增长的计算量，前面说过，指数增长是一个灾难。在计算机科学中，把计算量指数增长的问题称为“不可计算的”，把计算量多项式增长的问题称为“可计算的”。不可计算的意思并不是计算机不能算，而是计算量增长得太快，很容易就达到“把全世界的计算机集中起来算几十亿年都无法得出结果”的程度。当然，计算量是跟算法有关的，你可以寻找效率更高的算法，也应该这么做。对于因数分解，“从2开始一个一个试”并不是最聪明的算法。在经典计算机的框架中，目前最好的算法叫做“数域筛”，计算量有所减少，但仍然是指数增长。“艾数学”同学，你想问数域筛的计算量具体是多少？一般人我不告诉他，答案是expO(n1/3log2/3n)（在数学中，大写字母O后面跟一个式子，表示结果跟这个式子具有同样的数量级）。这样的计算量是什么概念？如果计算机一秒做1012次运算，那么分解一个300位的数字需要15万年，分解一个5000位的数字需要50亿年！地球的年龄也不过是46亿年而已！由此可以看出因数分解的一个特点：它的逆操作，即算出两个质数的乘积，是非常容易的；而它本身，却是非常困难的。这种“易守难攻”的特性，使它在密码学中得到了重要的应用。密码学的基本框架，我们会在后面介绍量子密码术时阐述。在这里，我们只需要指出一点：因数分解的困难性，是现在世界上最常用的密码系统“RSA”的基础。RSA这个名字，是三位发明者李维斯特（Ron Rivest）、萨莫尔（Adi Shamir）和阿德曼（Leonard Adleman）的首字母缩写。RSA密码体系的三位发明者RSA是一种“公开密钥密码体系”，它的密钥（即加密时用到的参数）是对全世界所有人公开的。为什么敢公开？因为这个密钥是一个很大的合数，解密需要把它分解成两个质数，而发布者有信心别人在正常的时间内解不开。但是RSA有两大隐患。第一点，我们只是知道目前公开的最好的算法是数域筛，但不知道是否有更好的算法。更令人寝食不安的是，某些国家、某些组织也许已经掌握解密的算法了，只是没有告诉你！第二点，上面说的算法都是在经典计算机上运行的，“最快的算法都无法破解RSA”指的是经典计算机。对于量子计算机，我们却已经知道了它可以破解RSA。如前所述，量子计算相对于经典计算有潜在的巨大优势，只是实现这种优势需要聪明的算法设计，只有对少数问题能够设计出这样的算法。而因数分解，就是这样的问题之一。1994年，肖尔（Peter Shor）发明了一种量子算法，把因数分解的计算量减少到了多项式级别，也就是从不可计算变成了可计算。艾数学同学，你又在举手了？嗯，肖尔算法的计算量是O(n2logn loglogn)，一般人我不告诉他。这又是个什么概念呢？同样还是分解300位和5000位的数字，量子算法会把所需时间从15万年减到不足1秒钟，从50亿年减到2分钟！对RSA密码系统来说，这不是“隐”患，而是“明”患！看起来，全世界的密码人员都应该陷入恐慌了。但事实上还没有，人们仍然在用着RSA。为什么呢？因数分解的量子算法只是理论，真要实现它还是非常困难的，造出有实用价值的量子计算机还需要很多努力。第一次真正用量子算法分解质因数是在2007年实现的，把15分解成3 5。有两个研究组同时做出了这个实验，一个是中国科学技术大学的潘建伟和陆朝阳等人，一个是澳大利亚布里斯班大学的A. G. White和B. P. Lanyon等人。此后各国科学家不断努力，把这个领域推向前进。目前在实验上分解的最大的数是291，311 = 523 557，是由中国科学技术大学的杜江峰和彭新华等人在2017年实现的。什么，你前边跟我说量子算法随随便便就能分