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第5章虚功原理与结构位移计算,5-1刚体体系的虚功原理与位移计算,5-3荷载作用下的位移计算,5-2结构位移计算的一般公式,5-4荷载作用下的位移计算举例,5-6温度变化时的位移计算,5-7互等定理,5-5图乘法,5-7互等定理,本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。,设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。,(a)第一状态,(b)第二状态,为证明功的互等定理,这两组力按不同次序先后作用于同一结构上,所作的总功分别如下：,(1)先加FP1后加FP2，外力的总功,(2)先加FP2后加FP1，外力的总功,(a)第一状态,(b)第二状态,功的互等定理：（最基本的定理）第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,外力所作总功与加载次序无关，即：由(1)、(2)可得：,2.位移互等定理,若令：FP1=FP2=1,则有：,即：,位移互等定理:第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。(单位力广义力，位移广义位移）,功的互等定理为,（功的互等定理的一个特例单位力）,第二状态：支座2发生单位位移21时，使支座1产生的反力r12。,3.反力互等定理,（也是功的互等定理的一个特例单位位移）,第一状态：支座1发生单位位移11时，使支座2产生的反力r21；,根据功的互等定理有：,反力互等定理:支座1发生单位位移所引起支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。,即：,由反力互等定理，则有：r12=r21,注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但注意反力与位移在作功的关系上要对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。,这里反力偶r12等于反力r21，量纲不同？并不矛盾！实质上应该是功的量纲。,例：,4.反力位移互等定理,（也是功的互等定理的一个特例）,由两个状态应用功的互等定理，则有,(b)第二状态（由1=1引起21）,（a）第一状态（由FP2=1引起r12）,即有：,反力位移互等定理：单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用
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