[课件资料]第1章矢量分析

张丹伟（理6-502）课程公邮：scnuphysics密码：physics华南师范大学,电磁场与电磁波,一、电磁现象的经验认识时代（18世纪之前）1.古希腊“七贤之一”的哲学家泰利斯（Thales）曾叙述过织衣者所观察到的现象，那就是用毛织物摩擦过的琥珀能够吸引某些轻的物体。2.大约在春秋末期（约公元前四、五世纪）成书的管子地数篇，战国时期的鬼谷子，战国末期的吕氏春秋等，都留记述了天然磁石及其吸铁现象，并且出现世界上最古老的指南针“司南”。3.1638年，我国建筑学书籍中对避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。,绪论,1.1745年，荷兰莱顿大学马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。2.1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林的风筝试验，证实了闪电式放电现象，从此拉开了人们研究电学的序幕。3.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。4.17711773，英国科学家卡文迪什进行了大量静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。,二、电磁学现代科学体系的建立（文艺复兴之后，18世纪中-19世纪中,第一次工业革命）,5.1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。6.1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起。7.1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯特的发现上升为理论。8.1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。9.1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律并设计了世界上第一台感应发电机。,10.1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。11.1848年，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电实验奠定了电磁学的基础。,电磁学理论的完成者英国的物理学家麦克斯韦（1831-1879）。麦克斯韦方程组用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容，从理论上预言了电磁波的存在。,1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了电磁波。随后，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利用电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。,三、电磁学应用突飞猛进（2nd工业革命，19世纪中至今）,四、课程内容,第一章：电磁学的数学基础矢量运算第二章：电磁学的理论基础麦克斯韦方程组第三、四、五章：麦克斯韦方程组的应用(媒质与边界，静态场，电路)第六章：（平面）电磁波的传输特性第七章：电磁波在波导中的传播（光纤通信）第八章：电磁波的辐射,五、场的基本概念,1.什么是场？a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。温度场T，重力场、电磁场、,2.场的分类a.按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。矢量场：描述场的物理量是矢量。b.按场量与时间的关系分：静态场：场量不随时间发生变化的场。动态场：场量随时间的变化而变化的场。动态场也称为时变场。,第1章矢量分析,一、矢量和标量的定义,二、矢量的运算法则,三、矢量微分元：线元，面元，体元,四、标量场的梯度,六、矢量场的旋度,五、矢量场的散度,七、重要的场论公式,一、矢量和标量的定义,1.标量：只有大小，没有方向的物理量。,矢量表示为：,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力、速度、电场等,如：温度T、长度L等,例1：在直角坐标系中，x方向的大小为6的矢量如何表示？,矢量的图示法：,力的图示法：,二、矢量的运算法则,1.加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示:,其中：,矢量：,模的计算：,单位矢量：,方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加法运算：,2.减法：换成加法运算,逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3.乘法：,（1）标量与矢量的乘积：,（2）矢量与矢量乘积分两种定义,a.标量积（点积）：,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即,有两矢量点积：,结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢量三重积。,a.标量三重积,法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义：标量三重积的大小为三矢量构成的平行六面体的体积。,注意：(A-B-C)先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面:,在直角坐标系中：,b.矢量三重积：,例2：,解：,则：,设,例3：已知,求：确定垂直于、所在平面的单位矢量。,其中：k为任意实数。,C,A,B,解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置矢量为，则,三、矢量微分元：线元、面元、体元,例：,其中：和称为微分元。,1.直角坐标系（P8）在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,2.圆柱坐标系（P9）,在圆柱坐标系中，坐标变量为,矢量,2.圆柱坐标系（P9）如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,3.球坐标系（P10）,在球坐标系中，坐标变量为，矢量,3.球坐标系（P10）如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,a.在直角坐标系中，x,y,z均为长度量，其拉梅系数均为1，即：,b.在柱坐标系中，坐标变量为,其中为角度，其对应的线元，可见拉梅系数为：,c.在球坐标系中，坐标变量为，其中均为角度，其拉梅系数为：,注意：,d.矢量在不同坐标系中的变换关系(第1.4节),在正交坐标系中，其坐标变量不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这个修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数，就可正确写出其线元、面元和体元。,体元：,线元：,面元：,广义正交曲线坐标系：,四、标量场的梯度,1.标量场的等值面,可以看出：标量场的函数是单值函数，因此各等值面是互不相交的。,以温度场为例：,热源,等温面,b.梯度,定义：标量场中某点梯度的大小为该点方向导数的最大值，其方向为该点所在等值面的法线方向。,数学表达式：,2.标量场的梯度,a.方向导数：,空间变化率，称为方向导数。,为最大的方向导数。,标量场的场函数为,计算：,在直角坐标系中：,所以：,梯度也可表示：,直角坐标系，哈密顿算子:,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,五、矢量场的散度,1.矢线（场线）：,在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。,2.通量：,定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。,表达式：,若曲面为闭合曲面：,讨论：,a.如果闭合曲面上的总通量,说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正通量源。,b.如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负通量源或称沟。,c.如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量等于穿出的通量或不存在正源和负源。,3.散度：,矢线/通量的发散程度,散度：,a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,b.表达式：,矢量场中包围某一点的无限小体积元内的净通量；表征空间各点矢量场发散源的强弱程度；散度实际上是矢量场沿矢线方向上的导数。,在直角坐标系中选择一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。,c.散度的计算：,矢量场表示为：,通量计算式为,因为：,则：,在x方向上的总通量：,在z方向上,穿过和面的总通量：,整个封闭曲面的总通量：,同理：在y方向上,穿过和面的总通量：,该闭合曲面所包围的体积：,通常散度表示为：,直角坐标系中：,常用坐标系中，散度的计算公式,矢量场沿矢线方向上的导数,圆柱坐标系中：,球坐标系中：,广义正交坐标系中：,4.散度定理（高斯定理）：,物理含义：矢量散度的体积分等于穿过该体积的封闭曲面的总通量。穿出闭合曲面的通量等于体积内内发散源的净通量；面积分与体积分互为转换。,六、矢量场的旋度,六、矢量场的旋度,1.环量：,在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,可见：环量是一个标量，大小与环线相对矢量的方向有关。,2.旋度:,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的一个法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。,表达式：,旋度计算：,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,场矢量：,其中：为x方向的环量密度。,旋度可用符号表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,旋度公式：,为了便于记忆，在直角坐标系中，将旋度的计算公式写成下列形式: