求轨迹方程的常用方法例题及变式.docVIP

求轨迹方程的常用方法：题型一 直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件直接翻译成的形式，然后进行等价变换，化简，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。例1 过点任作互相垂直的两直线和，分别交轴于点，求线段中点的轨迹方程。解：设点坐标为，由中点坐标公式及在轴上得，化简得当时，此时的中点它也满足方程，所以中点的轨迹方程为。变式1已知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍。（1） 求动点的轨迹的方程；（2） 过点的直线与轨迹交于两点。若是的中点，求直线的斜率。题型二 定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例2 动圆过定点，且与圆相切，求动圆圆心的轨迹方程。解：根据题意，说明点到定点的距离之差的绝对值为定值，故点的轨迹是双曲线。，故动圆圆心的轨迹方程为变式2在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程解：以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，如图1，为重心，则有点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中所求的重心的轨迹方程为题型三 相关点法此法的特点是动点的坐标取决于已知曲线上的点的坐标，可先用来表示，再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程。例3 如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程分析：从题意看动点的相关点是，在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为在直线上，又垂直于直线，即由解得又点在双曲线上，代入，得动点的轨迹方程为变式3已知ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程解：设，由重心公式，得又在抛物线上， 将，代入，得，即所求曲线方程是题型四 参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。例4已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程解：如图2，以线段所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立直角坐标系设点， 则由题意，得由点斜式得直线的方程分别为两式相乘，消去，得这就是所求点M的轨迹方程变式4设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点，是坐标原点，上的动点满足，点的坐标为，当绕点旋转时，求：（1）动点的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.分析：（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出，进而表示出点坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将表示成变量的二次函数。解：（1）法一：直线过点，当的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为。设，由题设可列方程为将代入并化简得：，所以于是设点的坐标为，则消去参数得当直线的斜率不存在时，的中点坐标为原点，也满足方程，所以点的轨迹方程为。法二：设点的坐标为，因，在椭圆上，所以得：所以当时，有并且将代入并整理得当时，点的坐标分别为、，