重要高中数学数列十种求通项和七种求和方法练习及答案.doc

0 高中数列知识点总结高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质 定义： 1nn aad （d为常数）， 1 1 n aand 等差中项：xAy，成等差数列2Axy 前n项和： 1 1 1 22 n n aann n Snad 性质： （1）若mnpq，则 mnpq aaaa；（2） n a为等差数列 2 n Sanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为常数项为 0 的二次函数） 2. 等比数列的定义与性质 定义： 1n n a q a （q为常数，0q ）， 1 1 n n aa q . 等比中项：xGy、成等比数列 2 Gxy，或Gxy . 前n项和： 1 1 (1) 1 (1) 1 n n na q Saq q q （要注意公比）q 性质： n a是等比数列（1）若mnpq，则 mnpq aaaa 3求数列通项公式的常用方法 一、公式法一、公式法 例例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 1 23 2n nn aa 1 2a n a 解：两边除以，得，则，故数列是以 1 23 2n nn aa 1 2n 1 1 3 222 nn nn aa 1 1 3 222 nn nn aa 2 n n a 为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以1 2 2 2 a 1 1 2 33 1 (1) 22 n n a n 数列的通项公式为。 n a 31 ()2 22 n n an 二、累加法二、累加法 )( 1 nfaa nn 例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 211 nn aana ， n a 1 解：由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 ()()()() 2(1) 1 2(2) 1(2 2 1)(2 1 1) 1 2(1)(2)2 1(1) 1 (1) 2(1) 1 2 (1)(1) 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为。 n a 2 n an 例例 3 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 32 313 n nn aaa ， n a 解：两边除以，得， 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则 1 11 21 3333 nn nnn aa 三、累乘法三、累乘法 )( 1 nf a a n n 例例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2(1)53 n nn anaa ， n a 解：因为，所以，则，故 11 2(1)53 n nn anaa ，0 n a 1 2(1)5n n n a n a 132 1 1221 1221 1(1) (2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 3 2 (1)3 2 53 3 25! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n a (1) 1 2 3 25!. n n n n an 例例 5 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列满足 n a ，求的通项公式。 11231 123(1)(2) nn aaaaanan ， n a 2 解：因为 1231 23(1)(2) nn aaaanan 所以 11231 23(1) nnn aaaanana 用式式得 1 . nnn aana 则 1 (1)(2) nn ana n 故 1 1(2) n n a nn a 四、待定系数法四、待定系数法（重点）（重点） 例例 6 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 23 56 n nn aaa ， n a 解：设 1 1 52(5 ) nn nn axax 将代入式，得，等式两边消去，得 1 23 5n nn aa 1 23 55225 nnn nn axax 2 n a ，两边除以，得代入式得 1 3 5525 nnn xx 5n352 ,1,xxx 则 1 1 52(5 ) nn nn aa 例例 7 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 35 241 n nn aaa ， n a 解：设 1 1 23(2) nn nn axyaxy 将代入式，得 1 35 24 n nn aa 1 35 2423(2) nnn nn axyaxy 整理得。(52 ) 24323 nn xyxy 令，则，代入式得 523 43 xx yy 5 2 x y 1 1 5 223(5 22) nn nn aa 例例 8 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 2 11 23451 nn aanna ， n a 3 解：设 22 1 (1)(1)2() nn ax ny nzaxnynz 将代入式，得 2 1 2345 nn aann ，则 222 2345(1)(1)2() nn annx ny nzaxnynz 22 2(3)(24)(5)2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去，得，2 n a 22 (3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz 解方程组，则，代入式，得 32 242 52 xx xyy xyzz 3 10 18 x y z 22 1 3(1)10(1) 182(31018) nn annann 五、对数变换法五、对数变换法 例例 9 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 5 1 2 3n nn aa 1 7a n a 解：因为，所以。在式两边取常用对 5 11 2 37 n nn aaa ， 1 00 nn aa ， 5 1 2 3n nn aa 数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设 1 lg(1)5(lg) nn ax nyaxny 11 六、迭代法六、迭代法 例例 10 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 3(1)2 11 5 n n nn aaa ， n a 解：因为，所以 3(1)2 1 n n nn aa 121 323(1) 232 12 nnn nnn nnn aaa 七、数学归纳法七、数学归纳法 例例 11 已知，求数列的通项公式。（其他方法呢？）（其他方法呢？） 11 22 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ， n a 解：由及，得 1 22 8(1) (21) (23) nn n aa nn 1 8 9 a 4 21 22 32 22 43 22 8(1 1)88 224 (2 1 1) (2 1 3)99 2525 8(2 1)248 348 (2 2 1) (2 23)2525 4949 8(3 1)488 480 (2 3 1) (2 33)4949 8181 aa aa aa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。 2 2 (21)1 (21) n n a n （1）当时，所以等式成立。1n 2 1 2 (2 1 1)18 (2 1 1)9 a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk 2 2 (21)1 (21) k k a k 1nk 1 22 8(1) (21) (23) kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 (21)18(1) (21)(21) (23) (21)1(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(21) (21) (23) (23)1 (23) 2(1) 11 2(1) 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知，当时等式也成立。1nk 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。 * nN 八、换元法八、换元法 例例 12 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 1 (14124)1 16 nnn aaaa ， n a 5 解：令，则124 nn ba 2 1 (1) 24 nn ab 故，代入得 2 11 1 (1) 24 nn ab 1 1 (14124) 16 nnn aaa 22 1 111 (1)14(1) 241624 nnn bbb 即 22 1 4(3) nn bb 因为，故1240 nn ba 11 1240 nn ba 则，即，可化为， 1 23 nn bb 1 13 22 nn bb 1 1 3(3) 2 nn bb 九、不动点法九、不动点法 例例 13 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2124 4 41 n n n a aa a ， n a 解：令，得，则是函数的两个 2124 41 x x x 2 420240 xx 12 23xx， 2124 ( ) 41 x f x x 不动点。因为 1 1 2124 2 24121242(41)1326213 2124 321243(41)92793 3 41 n nnnnnn n nnnnn n a aaaaaa a aaaaa a 十、倒数法十、倒数法 11 2 1 2 n n n a aa a ，求 n a 4. 求数列前 n 项和的常用方法 一、公式法一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 2、等比数列求和公式： ) 1( 11 )1 ( ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 6 3、 4、) 1( 2 1 1 nnkS n k n ) 12)(1( 6 1 1 2 nnnkS n k n 5、 2 1 3 )1( 2 1 nnkS n k n 例例 1求的前 n 项和. n xxxx 32 例例 2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 1 )32( )( n n Sn S nf 二、错位相减法二、错位相减法（等差乘等比）（等差乘等比） 例例 3 求和： 132 ) 12(7531 n n xnxxxS 例例 4 求数列前 n 项的和. , 2 2 , 2 6 , 2 4 , 2 2 32n n 解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积 n n 2 2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 （设制错位） 1432 2 2 2 6 2 4 2 2 2 1 n n n S 得 （错位相减） 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 1 1 ( nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 三、倒序相加法三、倒序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再 把它与原数列相加，就可以得到 n 个.)( 1n aa 例例 5 求证： nn nnnn nCnCCC2) 1() 12(53 210 证明： 设. n nnnnn CnCCCS) 12(53 210 把式右边倒转过来得 （反序） 011 3) 12() 12( nn n n n nn CCCnCnS 7 又由可得 mn n m n CC . n n n nnnn CCCnCnS 110 3) 12() 12( +得 （反序相加） nn n n nnnn nCCCCnS2) 1(2)(22(2 110 n n nS2) 1( 例例 6 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解：设. 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将式右边反序得 . （反序） 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 又因为 1cossin),90cos(sin 22 xxxx +得 （反序相加） 89 )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2 222222 S S44.5 四、分组法求和四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例例7 求数列的前 n 项和：，23 1 , , 7 1 , 4 1 , 11 12 n aaa n 例例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和. 解：设kkkkkkak 23 32) 12)(1( n k n kkkS 1 ) 12)(1()32( 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 8 五、裂项法求和五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分 解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2）)() 1(nfnfan nn nn tan) 1tan( ) 1cos(cos 1sin （3） （4） 1 11 ) 1( 1 nnnn an) 12 1 12 1 ( 2 1 1 ) 12)(12( )2( 2 nnnn n an （5） )2)(1( 1 ) 1( 1 2 1 )2)(1( 1 nnnnnnn an (6) n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2) 1( 1 1, 2) 1( 1 2 1 2 1 ) 1( ) 1(2 2 1 ) 1( 2 1 则 例例 9 求数列的前 n 项和. , 1 1 , 32 1 , 21 1 nn 例例 10 在数列an中，又，求数列bn的前 n 项 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 的和. 例例11 求证： 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 解：设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S （裂项） nn nn tan) 1tan( ) 1cos(cos 1sin （裂项求和） 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 88tan89tan)2tan3(tan)1tan2(tan)0tan1(tan 1sin 1 )0tan89(tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 原等式成立 六、合并法求和六、合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时， 9 可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn. 例例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值. 解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）)180cos(cos nn Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177） + +（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0 例例 13 数列an：，求 S2002. nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 解：设 S2002 2002321 aaaa 由可得 nnn aaaaaa 12321 , 2, 3, 1 , 2, 3, 1 654 aaa , 2, 3, 1, 2, 3, 1 121110987 aaaaaa 2, 3, 1, 2, 3, 1 665646362616 kkkkkk aaaaaa （找特殊性质项）0 665646362616 kkkkkk aaaaaa S2002 （合并求和） 2002321 aaaa )()()( 66261612876321 kkk aaaaaaaaaa 2002200120001999199819941993 )(aaaaaaa 2002200120001999 aaaa 46362616 kkkk aaaa 5 例例 14 在各项均为正数的等比数列中，若的值. 103231365 logloglog, 9aaaaa 求 解：设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项） qpnm aaaaqpnm 和对数的运算性质 得NMNM aaa logloglog 10 （合并求和）)log(log)log(log)log(log 6353932310313 aaaaaaSn )(log)(log)(log 6539231013 aaaaaa 9log9log9log 333 10 七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示 的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法. 例例 15 求之和. 1 1111111111 个n 解：由于 （找通项及特) 110( 9 1 9999 9 1 1111 11 k kk 个个 征） 1 1111111111 个n （分组求和）) 110( 9 1 ) 110( 9 1 ) 110( 9 1 ) 110( 9 1 321 n ) 1111 ( 9 1 )10101010( 9 1 1 321 个n n 9110 ) 110(10 9 1n n )91010( 81 1 1 n n 例例 16 已知数列an：的值. 1 1) )(1(, )3)(1( 8 n nnn aan nn a求 11 数列练习数列练习 一、选择题一、选择题 1.已知等比数列 n a的公比为正数，且 3 a 9 a=2 2 5 a， 2 a=1，则 1 a= A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 2.已知为等差数列，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 3.公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S.若 4 a是 37 aa与的等比中项, 8 32S ,则 10 S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4 设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于 A13 B35 C49 D 63 5.已知 n a为等差数列，且 7 a2 4 a1, 3 a0,则公差 d （A）2 （B） 1 2 （C） 1 2 （D）2 6.等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，则数列的前 10 项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.等差数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 12 8.设 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 2a 且 136 ,a a a成等比数列，则 n a的前n项和 n S= A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 9.等差数列 n a的公差不为零，首项 1 a1， 2 a是 1 a和 5 a的等比中项，则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题二、填空题 1 设等比数列 n a的公比 1 2 q ，前n项和为 n S，则 4 4 S a 2.设等差数列 n a的前n项和为 n S，则 4 S， 84 SS， 128 SS， 1612 SS成等差数 列类比以上结论有：设等比数列 n b的前n项积为 n T，则 4 T， ， ， 16 12 T T 成等比数列 3.在等差数列 n a中,6 , 7 253 aaa,则_ 6 a. 4.等比数列 n a的公比0q , 已知 2 a=1， 21 6 nnn aaa ，则 n a的前 4 项和 4 S= . 数列练习参考答案数列练习参考答案 一、选择题 1.【答案】B【解析】设公比为q,由已知得 2 284 111 2a qa qa q,即 2 2q ,又因为等比数列 n a的公比为正数，所以2q ,故 2 1 12 22 a a q ,选 B 2.【解析】 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 13 204 (204)1aad .选 B。【答案】B 3.答案：C【解析】由 2 437 aa a得 2 111 (3 )(2 )(6 )adadad得 1 230ad,再由 81 56 832 2 Sad得 1 278ad则 1 2,3da ,所以 101 90 1060 2 Sad,.故 选 C 4.解: