三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型(绝对经典).doc

三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对经典）一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC2、如图，ADBC,EB,EA分别平分CBA,DAB，CD过点E，求证;ABAD+BC注意：三角形中位线与梯形中位线3、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC三、平移变换例1 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ； 六、利用对称性 例题：如图，点A是MON内的一点，试分别在边OM、ON上确定点B、点C，使ABC的周长最小要求画出草图并写出作图的主要步骤 解：七、利用三角形三边关系例1：已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在AMN中，AMAN MDDENE;（1） 在BDM中，MBMDBD； （2） 在CEN中，CNNECE； （3） 由（1）（2）（3）得： AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如图1-2， 延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有： ABAF BDDGGF（三角形两边之和大于第三边）（1） GFFCGECE（同上）（2） DGGEDE（同上）（3） 由（1）（2）（3）得： ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。8、 利用三角形内外角关系 例题：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。9、 四边形转化为三角形例题：如图8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。10、 利用面积法例1：已知ABC中，AB=AC，D为边BC上任一点，过点D作DE垂直于AB，交AB于点E,过点D作DF垂直于AC，交AC于点F,过点B作G垂直于AC，交AC于点G.求证：DE+DF=BG例2、已知ABC为等边三角形，变成为6，D为边BC上任一点，过点D作DE垂直于AB，交AB于点E,过点D作DF垂直于AC，交AC于点F,求DE+DF的值。例3、已知四边形ABCD为正方形， 边长为6，以点B为圆心，以BC长为半径画弧，交BD于点E,连接EC,在EC上任找点F,过点F分别作FG、FH垂直于BD、BC，分别交BD于G,交BC于G。求FG+FH的值11、 求最小值例题1、（将军饮马问题）、已知点A、B在直线L的同侧，在直线L上找点C,使AC+BC取得最小值例题2、（三点共线）、已知ABC为等边三角形，边长为a,点A、B分别在y轴正半轴上、x轴正半轴上，点C在第一象限内，在AB上找点D,使OD+CD取得最小值。ABCDNM（第16题图） 例题3、如图