毕业论文-倒立摆的LQR控制器设计.doc

南昌航空大学学士学位论文倒立摆的LQR控制器设计1 引言1.1 倒立摆种类介绍倒立摆是控制学中的一个典型系统。它之所以能被广大控制论专家研究发展，主要是因为它具有非线性、复杂性、不稳定以及高阶次的特点。研究员开始研究倒立摆系统可以追溯到二十世纪五十年代，当时一位来自麻省理工学院的专家设计出了一级倒立摆操作设备。后来根据研究领域的扩展，人们在此基础上，又发展了更多种类的倒立摆系统。按照级数可分为一级倒立摆、二级倒立摆和多级倒立摆；按照小车运动方式可分为直线倒立摆、平面倒立摆、环形倒立摆、柔性连接倒立摆等。倒立摆种类如图1-1所示。如今，由于它本身的种种特点，它常常被用于控制理论教学以及充当各种控制操作的理想的实验平台。 (a)直线二级倒立摆系统 （b）柔性连接二级倒立摆系统（c）环形一级倒立摆系统 （d）环形二级倒立摆系统 （e）环形并联倒立摆系统 （f）平面倒立摆系统图1-1倒立摆种类图1.2 倒立摆系统研究的意义二十一世纪，人类进入了工业信息化时代，在各种领域，机器的使用大幅度上升，同时对机器的控制要求也越来越高。特别是航空、航天等军工领域，越加注重控制系统的鲁棒性和低耗性。倒立摆系统在控制理论中一直被当作典型系统并常常与非线性，鲁棒性等问题联系在一起。倒立摆模型是对重心在上，支点在下的系统模型的抽象概括。实际生活问题需要理论的指导，倒立摆系统的研究一直是控制论的重点，倒立摆系统问题映射出了许许多多的工程问题，如火箭姿态控制等。同时倒立摆系统一直以来都被当作检验新的控制非线性系统方法的平台。通过倒立摆的结果，判断控制方法的控制能力是否达到研究人员预期要求，研究人员通常将倒立摆称为“控制领域中的一颗明珠”1。对倒立摆的研究在解决控制中的理论问题的同时，还能将力学、数学和电学有机结合起来2。倒立摆控制方法在众多领域内，包括军工、航天、机器人和一般工业过程领域内，都有着广泛的用途3。为了解决更多控制问题上的难题，需要对倒立摆进行更深入的研究。1.3 国内外研究现状1.3.1国外研究现状世界上第一台一级倒立摆问世于二十世纪中期，倒立摆的出现，为解决姿态矫正问题提供了极大帮助。在此基础上，研究人员进行了更深入的研究，开发出了多种不同类型的倒立摆系统。1966年，结合bang-bang控制理论，Schaefer和Cannon将一个曲轴稳定于倒置装置，对非线性、不稳定和快速性系统用其检验控制方法进行了处理，此事受到了世界各国科学家的关注。在1978年和1980年，S.mori完成了二级倒立摆系统以及倾斜二级倒立摆系统控制的研究4。1984年，Furuta等人利用最优状态调节器理论，通过大量实验，首次实现了双电机三级倒立摆实物控制5；同时Wattes在倒立摆上研究出了一种称为LQR（Linear Quadratiec Regulator）的控制方法6。1995年，Fradkov等人研究出了无源性的控制问题7；环形二级倒立摆的实验结果8由Yamakita给出。利用神经网络的自学能力，Deris发现了如何整定出PID控制器参数9。到了1997年，Gordill同时研究了LQR方法和基于遗传算法的相关特点，在比较两者之后得出了传统控制方法比遗传算法控制效果相对更好的结论10。1.3.1国内研究现二十世纪80年代开始，国内才开始接触有关倒立摆控制问题的研究，关于二级倒立摆的模型，黄丹等进行了细致的研究11。1987年，清华大学梁任秋等利用单片机实现了对二级倒立摆的控制。随后国内研究进步幅度大，涉及到了不同的控制方法，且均有深入研究。在最近10年里，2008 年，徐春梅等研究了直线二级倒立摆状态反馈实时控制算法12；2010年，李劲松等开展了基于线性二次最优控制策略的倒立摆操作系统搭建工作并取得圆满成功13；2010年，赵文龙等首次利用笔记本作为上位机，通过USB接口连接手提箱式倒立摆系统，使得倒立摆系统的可操作性和便携性大大提高14；2013 年 5月，李洪新教授接到加利福尼亚大学伯克利分校扎德( Zadeh)教授的邀请来到该校开展了有关四级倒立摆的建模与控制方面的专题学术报告。查阅大量有关倒立摆系统的发展历史和趋势的相关文献，可以发现倒立摆系统控制问题的发展方向大概分为两类：一是稳定后的研究，二是使摆杆自动竖立的研究。目前大多数主要是研究稳定后的控制过程。 1.4 本文主要内容本文将利用固高倒立摆平台实现通过LQR控制，使系统稳定，具有较好的瞬态性能：调整时间不大于4s，摆杆的角度幅值小于5度。小车的位置误差不大于0.05m。首先对直线二级倒立摆模型的物理特性做分析，然后利用拉格朗日方程建模方法建立倒立摆的数学模型。了解LQR原理，通过实验观察Q矩阵对系统输出的影响，确定不同组加权矩阵Q，利用Matlab软件，完成控制仿真操作，比较不同加权矩阵Q在仿真条件下的结果，最后利用二级倒立摆实验平台验证结果。本文主要研究的是LQR控制器在系统的作用以及对系统进行稳定性优化。2 系统数学模型的建立2.1 二级倒立摆结构组成及原理倒立摆系统结构上可以简单分为三个组成部分：导轨、小车、各级摆杆。本文研究的主要是直线二级倒立摆，其物理结构如图2-1所示。由倒立摆系统中的直流电机，通过对小车施加控制力，使其在导轨上可以左右移动，利用传感器测得移动过程中位移和摆杆角度信息，经过计算机实时分析处理，使倒立摆在有限长的导轨上能够竖立稳定，实现动态平衡。图2-1直线二级倒立摆的物理结构其中，摇摆系统由质量块1、小车、摆杆1、摆杆2、滑动轴和电机组成。摆杆1通过质量块1连接着摆杆2，摆杆1与小车。小车装在滑动轴上，通过电机带动皮带使小车移动。每个转轴上都安装了角度编码器，对摆杆1、摆杆2进行实时监测。为了便于建立数学模型，将摆杆1的角度编码器当作小车的一部分，故不在简图画出。操作过程中，两个摆杆没有自带的动力源，通过控制小车的左右移动来控制两个摆杆的运动。计算机从运动控制卡中读取实时数据，根据算法，产生相对应的输出量，控制小车的移动，从而保持摆杆的平衡。当把摆杆提起到平衡位置附近后放开，若小车不动，摆杆在重力的影响下自由倒下。这时如果小车在电机的控制下在水平方向移动。摆杆由于惯性力，将会受到一个转动力矩，力矩使摆杆朝着反方向运动。通过实时的数据解析，控制小车的速度状态和运动方向，使得摆杆左右摇动，最终在竖直方向上达到动态平衡。直线二级倒立摆系统的物理参数如表2-1所示。表2-1直线二级倒立摆的物理参数符号描述参数符号描述参数m1摆杆1质量0.05kg摆杆1质心到两端的长度0.075mm2摆杆2质量0.13kg摆杆2摆杆1质心到两端的长度0.25mm3质量块质量0.236kgg重力加速度9.8g/s2M小车质量1.096kg摆杆1与竖直方向夹角F作用在系统的外力摆杆2与竖直方向夹角2.2 二级摆的数学模型为了对二级倒立摆的性能做具体的研究，需要建立倒立摆的数学模型。然而倒立摆系统实际中属于非线性系统，在理论建模中，通常会忽略掉一些因素小的外界因素，例如来自空气的阻力，和部件之间的摩擦力等其他因素。这就完成了对系统的线性化处理，即将非线性化系统问题转变为线性化系统的问题。倒立摆系统是一个典型的运动系统，可以在惯性坐标系内进行机理建模。所谓的机理建模就是通过了解研究对象现实中的本身特性，找出输入与输出的关系，发现其中机理规律。对于小车系统的机理建模，一般有牛顿力学建模方法和拉格朗日方程建模方法两种途径。对于刚体运动模型，通常采用牛顿力学建模方法或者拉格朗日建模方法。其中牛顿力学建模方法是根据传统的牛顿力学分析，建立力学方程理论比较容易理解运用，但运算过程需要求解大量微分方程，加大建模难度。而拉格朗日建模的方法是运用了广义坐标和广义立的方法，它是根据系统能量守恒而建立方程。所以需要求出系统的总势能和总动能，虽然理论要求高，但建模方程简单，可以利用mathematics软件求解，运算方便。在本文中，将使用拉格朗日建模方法。2.3 拉格朗日方程建模的基本原理拉格朗日是基于广义坐标和广义能量的方法。拉格朗日方程是由虚功原理推导出来的，在理想约束的条件下，整个完整的力学体系中，广义力做工为零。 在力学分析下，质点系的虚功可以表示如下： 其中，称为对应于第个广义坐标的广义主动力，是广义坐标的广义虚位移。因为即可以是虚线位移，也可以是虚角位移。因此可以有力或力矩的量纲，这体现了广义力的广义性。虽然系统是一个运动的系统，但应用达朗伯定理，可以将运动中的合力转变成静止状态下的惯性力，也就是可以将运动的系统，看作是静止的系统，这个的静止系统受到了主动力、约束力和惯性力。动态问题便转换为静力学的平衡关系问题。通过虚功原理，可以得到达朗伯-拉格朗日方程。利用拉格朗日方程推导运动学方程： 其中为拉格朗日算子，V 为系统的势能，T 为系统的动能，q 为系统的广义坐标，为广义坐标对应的广义力。对一个系统进行拉格朗日方程建模时的步骤为： 首先知道系统的整体特性，通过力学分析，对整个系统进行整体和局部受力分析。 当出现非理想的约束力，可将其视为主动力；选择恰当形式的拉格朗日方程。然后对整个系统进行分析，找出整体和局部动能和势能的关系，规定好系统的广义坐标。利用拉格朗日函数原理，将系统的状态方程通过求导求出N个运动微分方程。最后对N个微分方程进行线性化，从而推导出系统的数学模型。2.4 二级倒立摆系统建模对二级倒立摆系统进行建模时，本文将利用拉格朗日方程的建模方法。由于二级倒立摆在运动过程中受推力和摩擦力的作用15，即含有保守力和非保守力两种。因此，本文将选用主动力包括非保守力和保守力的拉格朗日建模方程。 首先根据二级倒立摆系统确定三个广义坐标，它们分别是。时，；当时，为零。为了列出方程，需要求出系统的势能和动能，其中，系统的势能包括摆杆1、摆杆2、质量块的势能；系统的动能包括摆杆1、摆杆2、质量块、小车的动能。由于在广义坐标下，二级倒立摆系统并没有受到外力的作用，所以可以推导出外力为零的方程。接着可以利用方程组，推导出系统状态量的表达式，最后可以求出二级倒立摆的状态空间方程。由于系统本身是非线性的、不确定的系统，因此在对二级倒立摆系统进行数学建模过程中，需要作出如下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在操作过程中，同步带长度保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于小车；4) 系统受到的摩擦力足够小。二级倒立摆物理模型图如图2-1所示。图2-1 二级倒立摆物理模型 先对二级倒立摆的物理模型进行分析，如图2-1所示，建立摆杆1、摆杆2、质量块质心的坐标表达式。这里规定摆杆1的质心坐标为，摆杆2的质心坐标为，质量块的质心坐标为。摆杆1质心坐标： 摆杆2质心坐标： 质量块质心坐标：在二级倒立摆中，使广义坐标为，根据对系统的物理模型进行分析，可得出系统的动能为： 其中分别为小车、摆杆1、摆杆2、质量块的动能。分别为： 其中，分别为摆杆1的质心平动动能和摆杆1绕质心转动动能，别为摆杆2的质心平动动能和摆杆2绕质心转动动能，经公式推导可知摆杆1的动能为： 综合起来可以的到：同理可求出摆杆2的动能：质量块的动能为： 综合上述方程，可以得到系统的动能为:同时系统的势能：于是可以得到拉格朗日方程： 由于广义坐标为，且系统不受外力。所以可列出方程： 将公式代入推导可得： 总上所述，即二级倒立摆的动力学方程，求解其微分方程便可得到倒立摆状态量的表达式，最终可以建立出倒立摆的数学模型。2.5 倒立摆运动方程的线性化处理通过上述建立好怕的拉格朗日的方程，经过求解运算可以得出状态量表达式。习惯将用u表示，而是关于系统的状态量和输入控制量的u的方程，因此可以列出方程组： 将对函数在平衡点附近用泰勒级数进行展开，从而对倒立摆模型进行线性化处理。由于上述方程组为七元函数，将运用多元函数展开求解的方法求解。从系统分析可知，系统的平衡点条件为。故可知方程组可推导为： 其中。根据系统的动能和势能，本文在得出拉格朗日算子后建立倒立摆方程，然后是按照线性化后求解方程。在这里将利用Wolfram Mathematica软件编写程序，这样可以避免繁琐的计算过程。求解倒立摆状态量的表达式，根据计算的得到的结果，建立倒立摆的数学模型。其中通过程序可以得到如下参数：（Wolfram Mathematica实现代码见附录1） 于是系统的状态方程为： 带入参数即： 2.6 系统的定性分析在得到系统的数学模型后，为了更好的了解系统，需要对系统进行系统的定性分析，主要是包括的系统的稳定性、可控性以及可观性16。系统状态矩阵A、B、C、D如下：2.6.1系统的稳定性编写Matlab程序：A=0 0 0 1 0 0； 0 0 0 0 1 0； 0 0 0 0 0 1； 0 0 0 0 0 0； 0 86.69 -21.62 0 0 0； 0 -40.3 39.45 0 0 0eig（A） 运行结果： ans= -10.0438 -5.0262 10.0438 5.0262 0 0从结果可以看出有特征值在右半复平面，可以得出系统是不稳定的。2.6.2系统的可控性和可观性定理1（能控制性判据17）n阶线性常数连续系统状态完全能控，当且仅当系统的能控性矩阵： 满秩，即rank（S）=n。特别，当输入控制量u（t）为标量时，能控性矩阵S为方阵；rank(S)=n等价于S的行列式值 。定理2（能观性判据17)n阶线性定常连续系统： 状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵： 满秩，即rank（V）=n。特别，当输出量y（t）为标量时能观性矩阵V为方阵；rank（V）=n等价于V的行列式值。根据上式（2-24）、（2-25）两个判断定理，便可以得知二级倒立摆系统的能控性和能观性的定性分析。同时，利用Matlab对系统进行定性分析。利用Matlab（Matlab计算程序见附录2）得出结果如下：ans=6ans= 6矩阵的秩等于矩阵阶次，从结果分析可知系统状态和输出都可控，且系统具有可观测性。2.7本章小结本章主要是对倒立摆进行数学建模，受力分析、运动分析。忽略了其中一些干扰因素，使复杂的、非线性的系统转化为线性系统的问题。倒立摆在实际运动过程必定会受到很多外界因素的影响，并不能达到理想的线性化。在实际的运动中，必定和理论与仿真的结果有差入。最后得出二级倒立摆系统完全能控和能观。3 LQR介绍3.1 LQR原理LQR (linear quadratic regulator)也就是线性二次型调节器,它主要应用在状态方程为线性的的系统18 ,所谓的二次型指的是指数函数关于控制变量和状态变量的二次型19。LQR最优设计的实质是通过求取Q、R矩阵，可以确定唯一的反馈矩阵K，从而使二次型目标函数J取得最小值，所以LQR控制器的设计即Q、R矩阵的确定。LQR理论是控制方法中较为常见的一种。3.2 直线二级倒立摆MATLAB仿真利用MATLAB Simulink软件建立二级倒立摆模型20，如图3-1所示：图 3-1二级倒立摆模型图根据状态方程，将State-Space参数设置为如图3-2所示：图 3-2 空间状态方程参数而LQR Controller内部结构如图3-3所示：图 3-3 LQR Controller内部结构设置LQR Controller参数如图3-4所示：图 3-4 LQR Controller 参数模拟仿真结果如图3-5所示：图 3-5 模拟仿真结果发现系统发散，为了使系统稳定，需添加控制器,在此，本文选用LQR控制器。3.3 LQR控制器设计理论在二级倒立摆操作中，将利用LQR控制器实现稳定控制。当系统受到外界干扰，偏离平衡状态时，能在不消耗过多的能量的情况下，使系统以最快的的速度重新回到平衡状态。根据系统的状态方程如公式（2-21），可以规定反馈控制量的公式：，使得下列二次型性能指标极小： 其中F为维对称非负定常阵，Q（t）为维对称非负定时变矩阵，R(t)为维对称正定时变矩阵，初始时刻和末端时刻固定。通常为了便于工程应用，F、Qt)、R(t)往往取为对角线型矩阵，同时满足了对称性。为了使性能函数J最小，首先可以构造一个Hamilton函数： 当输入信号没有受到任何约束时，可对Hamilton函数求导，并令其为零： 其中，即反馈控制， ，P可为满足Raccati方程的唯一正定对称解： 为一个常值矩阵且，因此上式（3-5）可简化为： LQR实质就是求解出一个全状态反馈了，具有极佳的鲁棒性能。 LQR最优控制，实际上是选择最恰当的Q（t）、R（t）两个正定矩阵，从而能够使系统的性能指标J取得最小。之后可以利用MATLAB软件提供的lqr（A,B,Q,R）处理（3-6）所示的Raccati代数方程，并根据加权阵求出反馈矩阵K。在设计LQR控制器过程中，主要确定的是Q(t)、R(t)两个矩阵，其中Q(t)为状态变量加权矩阵，即反映的是系统的控制能力，R(t)为控制加权矩阵，即反映的是系统回到平衡状态所消耗能量的能力。两者此消彼长，想要提高控制性能，消耗的能量也会提高；同理，想节省消耗，系统的控制能力就会降低。总而言之，就是要用不大的能量消耗，保证误差符合要求。所以通常令Q(t)、R(t)为对称矩阵，这样便于控制每个控制量，通过改变对角线的数值来加权每个控制量。而参数的大小一般并无法事先得出，一般是通过大量的操作得出。所以在实际过程中，通常规定R(t)=1。然后通过不断改变Q(t)对角线的数值，使系统能够满足规定的性能。在平衡位置附近，小车的速度与各摆杆的角速度较小，它们对应的项对指标函数的作用也相应较小。为了简化，通常忽略速度的作用，令速度对应的权系数为零，仅考虑位移作为控制量。二级倒立摆是一个复杂，不稳定，非线性的系统。摆杆1、摆杆2的稳定性是首先需要考虑的，所以对应的加权系数应该取得大些。而它们并没有独立的动力源，它们的平衡是通过小车的左右移动来实现。为了能够在较大的干扰下依然有能力恢复平衡状态，所以小车的位移范围控制不能过于严格，即小车位移所对应的加权系数可以适当取小。总结就是首先考虑摆杆1偏角，其次考虑摆杆2偏角，最后考虑小车位移。按照这个规律有利于在较短的时间里调出加权系数，最终求出符合性能要求的加权矩阵Q(t)、R(t)。3.4 LQR控制器设计及仿真本文设计LQR控制器时所利用的是线性二次最优控制规律。本文所需要解决问题即求出控制器的反馈增益K的问题。选取加权矩阵Q（t）、R（t）知道符合设计要求。建立直线倒立摆模型如图3-1所示。利用Matlab软件中的lqr命令就能得到反馈增益K的值21（程序见附录3）。运行得到仿真结果如3-6所示。在程序中选择加权矩阵，求出控制器的最优反馈增益K，并对控制系统在输入扰动作用下的性能进行分析。在最优控制器的设计时，控制器的加权阵由选择者选择，然后验证得到的控制参数是否满足控制性能。这里首先将加权阵选择为1，然后选择中的Q11、Q22和Q33参数，获得最优反馈增益K。这里选择Q11=1、Q22=1和Q33=1，然后进行系统的干扰响应操作，得到仿真如图3-6所示。图3-6 Q11=1,Q22=1,Q33=1仿真结果可以看出，系统稳定时间过长，不符合设计要求，因此改变权重。3.5 Q矩阵的确定及分析本论文采用的是试凑法，大量使用不同数据得出结论。本论文里，采取了几种不同的加权矩阵。采取Q11=50，Q22=50，Q33=50；仿真结果如图3-7，数据表格如表3-1。图3-7 Q11=50，Q22=50，Q33=50仿真结果表3-1 Q11=50，Q22=50，Q33=50数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.835-0.13792.7摆杆1角度0.180.10682.7摆杆2角度0.160.056942.7采取Q11=100，Q22=100，Q33=100；仿真结果如图3-8，数据表格如表3-2。图3-8 Q11=100，Q22=100，Q33=100仿真结果 表 3-2 Q11=100，Q22=100，Q33=100数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.79-0.12232.61摆杆1角度0.170.10972.61摆杆2角度0.150.055422.61 采取Q11=150，Q22=150，Q33=150；仿真结果如图3-9，数据表格如表3-3。图3-9 Q11=150，Q22=150，Q33=150仿真结果表3-3 Q11=150，Q22=150，Q33=150数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.75-0.11432.47摆杆1角度0.1650.11172.47摆杆2角度0.140.054662.47采取Q11=300，Q22=400，Q33=600；仿真结果如图3-10，数据表格如表3-4。图3-10 Q11=300，Q22=400，Q33=600仿真结果 表3-4 Q11=300，Q22=400，Q33=600数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.665-0.099292.63摆杆1角度0.1450.1162.63摆杆2角度0.110.053292.63采取Q11=300，Q22=500，Q33=500；仿真结果如图3-11，数据表格如表3-5。 图3-1 1Q11=300，Q22=500，Q33=500仿真结果 表3-5 Q11=300，Q22=500，Q33=500数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.675-0.099342.5摆杆1角度0.150.11532.5摆杆2角度0.120.053132.5采取Q11=500，Q22=700，Q33=900；仿真结果如图3-12 ，数据表格如表3-6。图3-12 Q11=500，Q22=700，Q33=900仿真结果 表3-6 Q11=500，Q22=700，Q33=900数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.64-0.09192.52摆杆1角度0.130.11882.52摆杆2角度0.0950.0525 2.52 采取Q11=800，Q22=900，Q33=800；仿真结果如图3-13，数据表格如表3-7。 图3-13 Q11=800，Q22=900，Q33=800仿真结果表3-7 Q11=800，Q22=900，Q33=800数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.615-0.087822.39摆杆1角度0.130.12222.39摆杆2角度0.120.05108 2.39采取Q11=1100，Q22=1100，Q33=1100；仿真结果如图3-14，数据表格如表3-8。图3-14 Q11=1100，Q22=1100，Q33=1100仿真结果表3-8 Q11=1100，Q22=1100，Q33=1100数据表格峰值时间峰值调整时间小车位移0.59 -0.084242.7摆杆1角度0.130.12482.7摆杆2角度0.090.051662.7由上述操作结果知道加权系数Q11、Q22、Q33反映的是车位移、摆杆1角位移和摆杆2角位移的。得出二级倒立摆QR矩阵与反馈系数K的关系以及反馈系数与系统性能的关系。在通过改变加权矩阵Q时，并不能发现Q矩阵的规律，Q11、Q22、Q33取不同的值，对系统都有一定影响。Q、R的选择一般无任何规律可循，只能通过大量操作的对比并根据设计者的经验，对结果进行比较而确定。最终综合考虑确定选取，求出的控制器参数：K=17.321 110.87 -197.57 18.468 2.7061 -32.1423.6 文章小结本章内容主要涵盖倒立摆系统线性二次型（LQR）最优控制相关理论以及对加权矩阵Q、R的选取做了相关简要的介绍。通过大量实验，观察到了在确定R=1的前提下，Q的变化，对摆杆1、摆杆2和小车位移都起到了影响。4 操作系统调试与分析4.1 倒立摆硬件系统的组成本操作采用的是由深圳固高科技有限公司生产的设备仪器，硬件系统框图图如4-1所示。图 4-1倒立摆硬件系统框图按照产品说明书，将设备进行组装。在组装的过程中应该严格按照说明书进行，并且保证安装的正确性，减少误差。组装后的产品如图4-2所示。图 4-2二级倒立摆实体图在安装好产品后，利用Matlab进行实时控制，控制模块如图4-3所示。图 4-3倒立摆LQR实时控制模块如图4-4所示，左边部分分别为小车位置、摆杆1角度、摆杆2角度的处理模块。图4-4处理模块如图4-5所示：表示小车位置、表示小车速度、表示摆杆1的角度、表示摆杆1的角速度、表示摆杆2的角度、表示摆杆2的角速度。图4-5 LQR Controller输入模块其中Real Control为实时控制模块，输入为小车的加速度；输出为小车的位置、摆杆1的角度和摆杆2的角度。4.2操作的运行和结果分析LQR Controller为LQR控制器，将理论值参数输入，如图4-6所示。图 4-6 LQR Controller参数将数据输入确定后，编译程序，连接设备，运行。紧接着用手缓慢将摆杆树立到到平衡位置。观察现象可看到小车迅速往一个方向运动一定距离后自动断开连接。设备之所以断开是因为如图4-7所示有安全设置模块，其作用是当小车往一方向运动太多时，为了操作人员安全和保护设备而设定的。图 4-7 安全模块将摆杆从另外一个方向树立时，发现小车移动方向与刚刚相反，可知摆杆起始树立方向对小车位移方向具有一定的影响。同时得知理论值并不是最优解，说明理论值失败，只有通过适当地改变参数，求出符合实际运动的值。利用控制单一变量法，通过改变某一个参数，观察小车现象。通过大量操作得出当K=10.321 100.87 -135.235 18.468 2.7061 -32.142，可以使小车达到稳定。总体输出图形如图4-8所示，小车位置输出图形如图4-9所示、摆杆1输出图形如图4-10所示、摆杆2角度输出图形如图4-11所示。图4-8 系统输出图图 4-9小车位置输出图图 4-10摆杆1角度输出图图 4-11摆杆2角度输出图根据从操作视频、小车位置输出图、摆杆1的角度输出图、摆杆2的角度输出图可以看出，小车调整时间为2秒，小车的位置的振幅保持在0.01m，摆杆1振动幅值为0.06弧度（3.44度），摆杆2振动幅值为0.005弧度（0.29度），各项数据均满足要求。4.3 误差分析理论值和实际参数不一样原因可能有以下集中情况。（1）系统本身是非线性，数学建模时，忽略了外界干扰；（2）厂家设备参数存在误差；（3）安装过程中没有达到理想状态，例如摆杆1角度传感器没有在一个平面内（4）设备部分功能损坏。4.4本章小结本章对二级倒立摆进行了调试，并对调试结果进行了分析。得知实际运动与理论存在差距，其原因主要是归咎于建模过程都是经过了线性化处理后的，使得设计出的控制器仅仅是实用理想的情况。而在实际操作中，存在很多干扰因素如摩擦，二级倒立摆系统是非线性的。系统受到外界干扰，使系统很容易失去稳定。所以需要根据实际情况，调出最合理的参数。总 结本文主要是研究LQR控制器在二级倒立摆系统中的应用，首先了解到倒立摆的种类、在国内外的发展以及研究现状。然后对二级倒立摆进行数学建模，本文研究对象是二级倒立摆，在比较不同建模方法的各自特点后，本文确定采用拉格朗日建模的方法。在建模过程中，采用线性化处理方式，从而得出了空间状态方程。为了更好了解二级倒立摆系统，分析了系统的稳定性、客观性以及可控性。利用线性二次型（LQR）控制原理实现对系统优化。在确定R(t)=1的条件下，并在Simulink中进行仿真，采用试凑法确定Q11、Q22、Q33加权矩阵。理论问题解决后，在深圳固高科技有限公司提供的二级倒立摆平台上实际运行，得知实际与理论存在误差，主要原因归咎于理论是经过了线性化处理，忽略了干扰因素。最终确定的反馈矩阵K=10.321 100.87 -135.235 18.468 2.7061 -32.142。根据从操作视频、小车位置输出图、摆杆1的角度输出图、摆杆2的角度输出图可以看出，小车调整时间为2秒，小车的位置的振幅保持在0.01m，摆杆1振动幅值为0.06弧度（3.44度），摆杆2振动幅值为0.005弧度（0.29度），各项数据均满足调整时间不大于4s，摆杆的角度幅值小于5度。小车的位置误差不大于0.05m的设计要求。得出结论通过LQR控制，使系统稳定性加强，具有比较好的瞬态性能。参考文献1MEIER.H,FARWIG.Z,UNBEHAUEN.H.Discretecomputercontrolofatriple-invertedPendulum.Optimal.ControlApplication&Methods,1990,11(2):57-171.2程福雁，钟国民，李友善.倒置系统的发展及前景.无线电工程，1994,24(2):51-55.3黄苑红，梁慧冰.从倒立摆装置的控制策略看控制理论的发展和应用.广东工业大学学报，2001，19(3):49-52.4S.mori,H.Nishihara,K.Furuta.Control of unstable mechanical system-control of pendulum.International Journal of Control,1946,23(5):673-692.5Fututa K,Katsuhisa,Ochia T and Ono N.Attitude control of a triple Inverted Pendulum.Int.J.Control,1984,39(6):1351-1365.6J.W.Watts.Control of an inverted pendulum。AESS Annual ConferenceC,session2527,1984,706-710. 7A.L.Fradkov,P.YGuzenko,D.J.Hilland,A.Y.Ppgromsky.Speed gradient control and Passivity of nonlinear oscillators.Proe.Of IFAC symposium on Control of Nonlinear Systems,Lake Tahoe.1995,655-6598M.Yamakita,M.Iwashiro,Y.Sugahara and K.Furuta.Robust swing-up control of inverted Pendulum.Proe.Of the American Control Conference,Seattle,Washington,1995,2902949S.deris,S.omatu.Stabilization of inverted pendulum by the genetic lgorithm.IEEE International Conference on Systems,Man and Cyberneties,1995,383-38510F.Grordillo,A,Bernal.Optimal control of an inverted pendulum by genetic Programming:Practical aspects.IEEE International.11黄丹，周少武，吴新开，等. 基于LQR最优调节器的倒立摆控制系统J.微计算机信息，2004,20(2):34,37-38.12徐春梅，杨平，彭道刚. 直线二级倒立摆状态反馈实时控制J. 机电一体化，2008,14(3):39-42.13李劲松，颜国正，冯剑舟，等.基于线性二次最优控制策略的倒立摆操作系统搭建J. 操作室研究与探索，2010,29(3):4