等差概念及基本运算.ppt

新课标高中一轮总复习,第五单元数列、推理与证明,第31讲,等差的概念及基本运算,1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.,1.已知数列an，那么“对任意的nN*，点P(n,an)都在直线y=-x+2上”是“数列an为等差数列”的(),B,A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,当通项为an=-n+2时，可推出数列an为等差数列，反之不成立，故为充分不必要条件.,2.(2010苏州模拟)在数列an中，若a1=1，a2=，=+(nN*),则该数列的通项为.,an=,由=+(nN*)知，为等差数列,且首项=1,公差d=-=1,所以=+(n-1)d=n，所以an=.,3.（2010长沙市一中）an为等差数列，且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d=.,-,a7-2a4=-1，得a3+4d-2(a3+d)=-1，即2d-a3=-1，又a3=0，则d=-.,4.在数列an中，an=2n-，a1+a2+a3+an=an2+bn，nN*，其中a、b为常数，则1000a+10102b=.,2010,因为an=2n-，所以an是首项为a1=，d=2的等差数列，所以Sn=na1+d=n2+n=an2+bn,所以a=1，b=,所以1000a+10102b=2010.,5.在数列an中,a1=15,3an+1=3an-2(nN*),则该数列中乘积为负值的相邻两项是,前项和取得最大值.,第23项、第24项,23,由已知得an+1-an=-，a1=15，所以an=a1+(n-1)d=,显然，a230，a24a2a3a230a24,所以前23项和取得最大值.,等差数列(1)等差数列定义.(nN*),这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3-a2=a2-a1=d(常数),就说an是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列,还可由an+an+2=2an+1,即an+2-an+1=an+1-an来判断.,an+1-an=d(常数),(2)等差数列的通项为.可整理成an=nd+(a1-d),当d0时，an是关于n的一次式，它的图象是一条直线上n为自然数的点的集合.(3)对于A是a、b的等差中项，可以表示成.(4)等差数列的前n项和公式Sn=,可以整理成Sn=n2+(a1-)n,当d0时,Sn的一个常数项为0的二次式.,an=a1+(n-1)d,2A=a+b,na1+d,题型一等差数列的判定与通项公式,例1,已知数列an满足an=2an-1+2n-1(n2),且a4=81.(1)求数列的前三项a1,a2,a3;(2)求证:数列为等差数列,并求通项an.,(1)由题意，得n=4时，a4=2a3+24-1=81，解得a3=33；同理，a3=2a2+23-1=33，解得a2=13；a2=2a1+22-1=13，解得a1=5.所以前三项a1=5,a2=13,a3=33.,(2)因为an=2an-1+2n-1，即an-1=2(an-1-1)+2n,两边同除以2n,得=+1.令=cn，即cn=cn-1+1，即cn是以c1为首项,以1为公差的等差数列.所以数列是以=2为首项，以1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)1=n+1，即an=(n+1)2n+1.,证明一个数列为等差数列的基本方法有两种：（1）利用等差数列的定义证明，即证an+1-an=d(nN*)；（2）利用等差中项证明,即证2an=an+k+an-k(n,kN*,nk)；有时根据an=an+b，Sn=an2+bn(a,b为常数）也可判定为等差数列.在选择方法时，要根据题目的特点，如果能求出数列的通项，常用定义法.,题型二等差数列的基本运算及最值,例2,在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-36,其前n项的和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；(2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.,a16+a17+a18=3a17=-36a17=-12.又a9=-36,所以公差d=3.首项a1=a9-8d=-60,所以an=3n-63.(1)(方法一)设前n项的和Sn最小,an03n-630an+10,nN*,3(n+1)-630,nN*n=20或21.所以当n=20或21时，Sn取最小值，最小值为S20=S21=-630.,则,即,(方法二)Sn=-60n+3=(n2-41n)=(n-)2-.因为nN*,所以当n=20或21时，Sn取最小值，最小值为S20=S21=-630.(2)由an=3n-630n21,所以当n21时，Tn=-Sn=(41n-n2)；当n21时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an=Sn-2S21=(n2-41n)+1260.,1.本题(1)的方法一是基于等差数列本身的特性,从定性的角度考虑和研究;方法二则是基于函数思想(数列的本质特性:定义在N*或其子集上的函数),从定量的角度,建立Sn关于n的函数，再归结为求函数的最大(小)值问题.这是处理有关等差数列前n项和最大(小)值问题的两种基本思想,应很好地理解.2.本题(2)中有两点值得注意:一是分类讨论思想,对n21和n21两种情形加以讨论;二是转化思想,将求Tn问题仍然转化为求Sn的问题.,数列an满足a1=a,a2=-a(a0)，且an从第二项起是公差为6的等差数列，Sn是an的前n项和.(1)当n2时，用a与n表示an与Sn;(2)若在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值，试求a的取值范围;(3)若a为正整数，在(2)的条件下，设Sn取S6为最小值的概率是p1，Sn取S7为最小值的概率是p2，比较p1与p2的大小.,(1)由已知，当n2时，an=-a+6(n-2),即an=6n-(a+12).Sn=a1+a2+an=a(n-1)(-a)+6=3n2-(a+9)n+2a+6.,(2)(方法一)由已知,当n2时,an是等差数列,公差为6,数列递增.a6024-a0a70，30-a0,得24a30.a7030-a0a80，36-a0,得30a36.所以当S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值时，a的取值范围是24,36.,若S6是Sn的最小值,则,即,若S7是Sn的最小值,则,即,(方法二)由(1),当n2时,Sn=3n2-(a+9)n+2a+6,且S1=a也满足此式，因为在S6与S7两项中至少有一项是Sn的最小值,所以5.57.5,解得24a36,从而a的取值范围是24,36.(3)由(2)知，a24,25,26,36.若S6是Sn的最小值，则5.56.5,即a=24,25,26,30.若S7是Sn的最小值，则6.57.5,即a=30,31,32,36.所以p1=p2=.,(2010湖北省试题改编)已知函数f(x)=x2-ax+b(a,bR)的图象经过坐标原点，且f(1)=1,数列an的前n项和Sn=f(n)(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足log3+log3n=log3bn,Tn为数列bn的前n项和，是否存在p、qN*，且pq，使得Tp+q是T2p和T2q的等差中项？并证明你的结论.,(1)因为y=f(x)的图象过原点，所以f(x)=x2-ax.由f(x)=2x-a，得f(1)=2-a=1，解得a=1.所以f(x)=x2-x,即Sn=f(n)=n2-n.当n2时，an=Sn-Sn-1=n2-n-(n-1)2-(n-1)=2n-2,又a1=S1=0，也满足上式.所以数列an的通项公式为an=2n-2(nN*).,(2)由log3+log3n=log3bn，得bn=n(nN*)，Tn=b1+b2+bn=(1+2+n)=.假设存在p、qN*(pq)，使Tp+q是T2p和T2q的等差中项，,则T2p+T2q-2Tp+q=+-=(p-q)2=0，即p=q，与pq矛盾，所以不存在p、qN*(pq),使Tp+q是T2p和T2q的等差中项.,1.等差数列的判定方法.定义法：对于数列an,若an+1-an=d(常数)，则数列an是等差数列；等差中项法：对于数列an,若2an+1=an+an+2，则数列an是等差数列.2.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am=an+(m-n)d.,3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a,a+d,a+2d外，还可设a-d,a,a+d，四个数成等差数列时，可设为a-3m,a-m,a+m,a+3m.,(2009宁夏/海南卷)已知等差数列an中，an0，若m1，且am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38，则m等于(),C,A.38B.20C.10D.9,由am-1+am+1=am2,得2am=am2,am=2或am=0（舍去）.S2m-1=(2m-1)am=38,所以2m-1=19,m=10，故选C.,(2009江苏卷)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52,S7=7.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m,使得为数列an中的项.,(1)设等差数列an的公差为d.由a22-a52=a42-a32，得-3d(a4+a3)=d(a4+a3)，因为d0,所以a4+a3=0,即2a1+5d=0.又由S7=7,得7a1+d=7,即a1+3d=1.由解得a1=-5，d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-7,前n项和为Sn=n(-5)+2=n2-6n.,(2)（方法一）=.设2m-3=t,则=t+-6,所以t为8的约