初中数学奥林匹克训练题(5).doc

初中数学奥林匹克训练题（5）第一试一、填空题1、设x、y为实数，则二元函数的最小值是_解：u = （x+2）2+（y1）2 5，u+5 = （x+2）2+（y1）2，由柯西不等式得，（u+5）（4+1）（2x+4+y1）216，u 5 = 。2、函数的值域为_ 解：3、数列由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数连续出现次，如果这个数列的通项公式为则 答：.解：由，即当 时， ，所以 ，于是，4、为实数，满足，则 的最大值为 .答： .解：设，则 ，（当时取等号）.5、若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积，则集中元素个数的最大值为 .答：.解：从中每次取一对作乘积，共得个值，但其中有重复，重复的情况为，共种，因此集合中至多有 个数 .6、作出正四面体每个面的中位线，共得条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有 个.答：个“线段对”.解：任取一条中位线考虑，所在的侧面没有与异面的线段；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面；不含的侧面恰有两条中位线与异面；因此与异面的中位线共有条，即含有线段的异面“线段对”共有个，于是得异面“线段对”个，（其中有重复）.但每一个异面“线段对”中有两条线段，故恰被计算了两次，因此得个异面“线段对”.7、用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 种.答：种. 解： 将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题。设有个扇形格的圆盘染五色的方法数为，则有，于是8、数列满足：，（其中表示的整数部分，），=_.解：观察数列开初的一些项：01234567891011121314151617181920111122233444556677888123468101316202428333844505764728088我们注意到，数列严格单增，每个正整数，顺次在数列中出现，并且除了首项之外，每个形如的数连续出现三次，其它数各连续出现两次.一般地，我们可证明数列的以下性质：若记，则, 若记则当时，有 10分对归纳.据上面所列出的项可知，当时结论成立.设性质对于成立，即在时，则再对满足的归纳：当时，由于，则，因为，则设当时，均有，则当时，因为则，即有，所以由于所以故由归纳法，当时，特别是，当时，上式成为 又由，当，有所以由可知，对于当时，亦有，从而性质成立. 因为，取，则，因此. 9、设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把ABC分成两个等腰三角形，试求ABC的最小内角的取值范围为 .如图，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。在（1）中，设最小的角为x，则2x90,得x45,又x+180-4x30,所以30x45；在（2）中，设最小的角为x，则3x90,得x30,又180-4x22.5,所以22.5x最大值 结论：3、求所有正整数，使得与都是完全平方数若x=y，则x2+3x是完全平方数. x2x2+3xx2+4x+4= (x+2)2， x2+3x= (x+1)2， x=y =1. 若xy，则x2x2+3yx2+3xx2+4x+4= (x+2)2. x2+3y是完全平方数， x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且 (2k+2)2=4k2+8k+44k2+13k+44k2+16k+16= (2k+4)2， y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2， 得 k=5，从而求得x=16，y=11. 若xy，同xy情形可求得 x=11，y=16. 综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11) 4、桌上放有根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多根火柴，此后每人每次至少取走根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目从小到大排序为：，不难发现其前4项分别为2，3，5，8.下面我们用数学归纳法证明：（1）满足；（2）当时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目；（3）当时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目.设（），注意到.当时，甲第一次时可取根火柴，剩余根火柴，乙无法获胜.当时，根据归纳假设，甲可以取到第根火柴，并且甲此时所取的火柴数目，剩余根火柴，乙无法获胜.当时