【11级数学一轮复习】1.3函数的单调性与最值(第6-9课时).doc

第6-9课时（周一、二、三 4月22-24日） （2013年4月22日919阴；23日921多云；） 山东省桓台第一中学 苏同安课题：1.3函数的单调性与最值三维目标： 1、知识与技能（1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决相关基本问题；（2）能利用函数的单调性解决相关的综合性问题（如：求参数的范围和最值）。2、过程与方法（1）体会函数的性质所带来的函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想；（2）通过对函数的单调性复习和应用，进一步体会函数知识的本质联系以及数学工具应用的广泛性与重要性；（3）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。3、情态与价值观（1）通过函数的单调性的进一步复习、巩固和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。（2）通过对函数基本知识的系统复习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；教学重点：系统复习巩固关于函数的单调性等知识，进一步认识、总结有关的思想方法教学难点： 利用函数的单调性解决相关的综合性问题教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：最新考纲建构整合1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识全景图整合函数的单调性函数单调性定义函数单调性的判定函数单调性的应用具体函数与抽象函数复合函数比较大小与解不等式求参数的范围求最值自主梳理重点难点重点：函数单调性的定义函数的最大(小)值难点：函数单调性的证明求复合函数单调区间知识归纳一、单调性定义1单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间DI，若对于任意的x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数对于任意的x1，x2D，当x1f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数二、单调性的有关结论1若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x)仍为增(减)函数2若f(x)为增(减)函数，则f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)0，则为减函数，为增函数3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为减函数5奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小(2)求某些函数的值域或最值(3)解证不等式(4)作函数图象四、函数的最大(小)值：1定义：一般地，设函数yf(x)定义域为，如果存在实数M满足：(1)对任意x，都有f(x)M(或f(x)M)；(2)存在x0，使得f(x0)M.称M是函数yf(x)的最大(或最小)值2求法：(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法误区警示1对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点(1)函数的单调性是对某一个区间而言的f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在AB上不一定单调(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替(3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(减)函数，则f(x1)f(x2)x1x2)2在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域一、利用复合函数的单调性解题对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，那么函数yfg(x)在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.tg(x)yf(t)yfg(x)增增增增减减减增减减减增二、解题技巧给出抽象函数关系式，讨论其性质的题目，基本方法是赋值用定义讨论如判断单调性，须创造条件判断f(x1)f(x2)的符号或与1的大小；判断奇偶性须设法产生f(x)与f(x)的关系式等判断单调性时，若关系式中含有常数，应设法利用所给条件，把常数化为函数值的形式双基自测1.(2012年高考广东卷)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是(A)(A)y=ln(x+2)(B)y=- (C)y=(D)y=x+解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+),在(0,+)上递增,y=-,定义域为-1,+),在(0,+)上递减,y=,定义域为R,在(0,+)上递减,y=x+,定义域为(-,0) (0,+),在(0,1)上递减,在(1,+)上递增.故选A.2.若函数f(x)=ax+1在R上递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是(B)(A)(2,+)(B)(-,2)(C)(-2,+)(D)(-,-2)解析:由f(x)在R上递减知a0,所以g(x)在(-,2)上递增,在(2,+)上递减.故选B.3.函数f(x)=在2,3上的最小为,最大值为.解析:函数f(x)=在2,3上单调递减,最大值是f(2)=1,最小值是f(3)=.答案:14.(2012年高考安徽卷)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a=.互动探究解析:函数的图象是以为端点的2条射线组成,所以-=3,a=-6.答案:-6 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)求函数y=-x2+2|x|+1的单调区间;(2)判断函数y=在(-1,+)上的单调性.解:(1)由于y=即y=画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-,-1和0,1, 单调递减区间为-1,0和1,+).(2)法一任取x1,x2 (-1,+),且x1-1,x2-1,x1+10,x2+10,又x10,0,即y1-y20.y1y2,所以函数y=在(-1,+)上是减函数.法二y=1+.y=x+1在(-1,+)上是增函数,y=在(-1,+)上是减函数,y=1+在(-1,+)上是减函数.即函数y=在(-1,+)上是减函数.确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程(1)能画出图象的函数,用图象法,其思维流程为:作图象看升降归纳单调性(区间)(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数,用转化法,其思维流程为:(3)能求导的用导数法,其思维流程为:求导判断f(x)正、负单调性(区间)(4)能作差变形的用定义法,其思维流程为:取值作差变形定号单调性(区间)注意:求函数的单调区间,一定要注意定义域优先原则.变式训练11:函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是()(A)1,2(B)-1,0(C)0,2(D)2,+)解析:由于f(x)=|x-2|x=结合图象可知函数的单调减区间是1,2.故选A.变式训练12:判断函数g(x)=在(1,+)上的单调性.解:任取x1,x2 (1,+),且x1x2,则g(x1)-g(x2)=,由于1x1x2,所以x1-x20,因此g(x1)-g(x2)0,即g(x1) f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是()(A)m-n0 (C)m+n0解析:设F(x)=f(x)-f(-x),由于f(x)是R上的减函数,f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数,F(x)为R上的减函数,当mF(n)即f(m)-f(-m)f(n)-f(-n)成立,因此当f(m)-f(n)f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n0一定成立,故选A.变式训练21:(2012郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数,则满足f(x)f(2x-3)的x的取值范围是.解析:依题意得,不等式f(x)f(2x-3)等价于x3,即满足f(x)1时,f(x)0.求f(1)的值,并判断f(x)的单调性;若f(4)=2,求f(x)在5,16上的最大值.(1) 解析:函数y=x+2=(+1)2-1在区间0,4上是增函数,所以x=0时有最小值N=0,x=4时有最大值M=8,M+N=8.答案:8(2)解:令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.任取x1,x2 (0,+),且x1x2,则1,由于当x1时, f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递增函数.f(x)在(0,+)上是单调递增函数,f(x)在得f=f(16)-f(4),而f(4)=2,所以f(16)=4.f(x)在5,16上的最大值为4.5,16上的最大值为f(16).由f=f(x1)-f(x2),(1)求函数值域与最值的常用方法:先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,求出最值.配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解.换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后,再用基本不等式求出最值.导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.(2)对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应条件,对任意x1,x2在所给区间上比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或与1的大小(f(x)0).有时根据需要,需作适当的变形:如x1=x2或x1=x2+x1-x2等.变式训练31:(1)函数y=-x(x0)的最大值为.(2)若函数g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值1,则实数a的值为.解析:(1)令t=,则t0,y=t-t2=-+,当t=，即x=时，函数有最大值.(2)令h(x)=ax2+2x-1,由于函数y=log3x是递增函数,所以要使函数g(x)=log3(ax2+2x-1)有最大值1,应使h(x)=ax2+2x-1有最大值3,因此有解得a=-.答案:(1) (2)- 思悟总结练演练研习知识线：（1）函数单调性的概念；（2）函数的单调性的判定方法；（3）函数单调性的基本运用。思想方法线：（1）单调性法；（2）导数法；（3）转化法；（4）配方法；（5）基本不等式法；（4）分类讨论思想；（5）数形结合思想；（6）函数与方程思想；（7）转化思想。题目线：（1）单调性判定方面的问题；（2）复合函数单调性方面的问题；（3）抽象函数单调性方面的问题。（4）最值方面的问题。巩固达标研习一、选择题1.(2012杭州模拟)下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是(C)(A)f(x)=3-x(B)f(x)=x2-3x(C)f(x)=-(D)f(x)=-|x|解析:当x0时, f(x)=3-x为减函数;当x时, f(x)=x2-3x为减函数;当x时, f(x)=x2-3x为增函数;当x(0,+)时, f(x)=-为增函数;当x(0,+)时, f(x)=-|x|为减函数.故选C.2.函数y=的递减区间为(D)(A)(1,+)(B)(C)(D)解析:令g(x)=2x2-3x+1,则y=,由于g(x)在上单调递增,所以函数y=的递减区间是,故选D.3.(2013浙江嘉兴模拟)f(x)=x+在区间1,+)上递增,则a的取值范围为(D)(A)(0,+)(B)(-,0)(C)(0,1(D)(-,1解析:当a0时,f(x)在区间1,+)上递增;当a0时,f(x)的增区间为,+),只要1,得a1;综上a的取值范围为(-,1,故选D.4.(2012四川成都模拟)已知函数f(x)=在R上为增函数,则a的取值范围是(B)(A)-3a0(B)-3a-2(C)a-2 (D)a0解析:要使函数在R上是增函数则有解得-3a-2.故选B.5.定义新运算:当ab时,ab=a;当ab时,ab=b2,则函数f(x)=(1x)x-(2x),x-2,2的最大值等于(C)(A)-1(B)1(C)6(D)12解析:由已知得当-2x1时,f(x)=x-2,当1x2时,f(x)=x3-2 .f(x)=x-2,f(x)=x3-2在定义域内都为增函数.f(x)的最大值为f(2)=23-2=6.故选C.6.(2012山东聊城模拟)设函数y=f(x)在R上有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=若函数f(x)=则函数(x)的单调递减区间为(D)(A)(-,-1(B)(-,0(C)0,+) (D)1,+)解析:(x)=如图所示,函数(x)在区间1,+)上单调递减.故选D.二、填空题7.函数f(x)=-log2(x+2)在区间-1,1上的最大值为.解析:由于y=在R上递减,y=log2(x+2)在-1,1上递增,所以f(x)在-1,1上单调递减,故f(x)在-1,1上的最大值为f(-1)=3.答案:38. 使函数y=与y=log 3(x-2)在(3,+)上具有相同的单调性,实数k的取值范围是.解析:由y=log 3(x-2)的定义域为(2,+),且为增函数,故在(3,+)上是增函数.又函数y=2+,使其在(3,+)上是增函数,故4+k0,得k-4.答案:(-,-4)9.(2012浙江台州模拟)若函数y=|2x-1|在(-,m上单调递减,则m的取值范围是.解析:画出图象如图,由图知y=|2x-1|的递减区间是(-,0,依题意应有m0.答案:(-,0三、解