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第三节相似矩阵与矩阵对角化的条件,一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、方阵可对角化的条件,一、相似矩阵与相似变换的概念,记作AB.,1.等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,5.若AB,则|A|=|B|.,6.若AB,则A与B同时可逆或同时不可逆;当可逆时,有A-1B-1.,证明,注意:该定理的逆定理不成立,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.例如:,推论若阶方阵A与对角阵,利用对角矩阵计算矩阵多项式,利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.,定理,证明,证明,三、方阵可对角化的条件,命题得证.,说明,如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化,例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故不能化为对角矩阵.,解,解之得基础解系,所以可对角化.,你能求A100吗?,注意,即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,练习题,问x为何值时,矩阵A可对角化?,思考题,思考题解答,
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