坐标轴的平移

1 / 7 坐标轴的平移 一、教材分析 1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。这一节教材主要讲坐标轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式 ;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。这就是本节课的教学目的之一。 2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。为了解决重点 ， 教学中先以 圆 (x-3)2+(y-2)2=52 化为x2+y2=52 这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但是由于坐标系的 改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的定义，导出平移公式。在推导平移公式时，先从特殊到一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。 3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运 用，学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，并及时2 / 7 加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。 4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。 二、教学过程 (一 )提出问题 教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题 : 1、如图，点 o和 o 关于坐标系 xoy的坐标和方程各是什么 ?点 o和 o 关于坐标系 xoy的坐标和方程各是什么 ?两个方程，那一个较为简单 ? (学生回答，教师在黑板上板书 :) 直角坐标系点 o的坐标 o 的方程 在 xoy中 (3， 2);(x-3)2+(y-2)2=52 在 xoy中 (0， 0)x2+y2=52 两个方程，显然后一个方程简单。 (二 )引入新课 (继续提问 ) 1、从上面的例子可以看出什么 ? (答 )(1)对于同一点或同一曲线，由于选取的坐标系不同，点的坐标功曲线的方程也不同。 3 / 7 (2)把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系，可以使曲线的方程简化，便于研究曲线的性质。 教师继续提出新的话题，即如何把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系呢 ?我们再从上面的例子来观察坐标系 xoy与 xoy有何异同点呢 ?(提问 ) (答 )(1)坐标轴的方向和长度单位都相同 -不变 (2)坐标系的原点的位置不同 -变 (教师归纳 )这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。 (让学生打开课本阅读移轴的定义，教师在黑板上板书 ) (板书 )坐标轴的平移 (三 )讲授新课 (板书 )1、坐标轴平移的定义 2、坐标轴平移公式 思路 :(1)以特殊到一 般，在已画出的图形上任取四个点(分别在第一、二、三、四系限或坐标轴上 )让学生分别写出在新、旧坐标系里的坐标，并观察、分析出它们的关系。 (答 )坐标平面上任意一点在原坐标系中坐标和在新坐标系中的坐档，归纳出来有如下关系 : (板书 )原系横坐标 x=新系横坐标 x+3 原系纵坐标 y=新系纵坐标 y+2 现在把 (3， 2)推广到一般 (h， k)能否得出 x=x+h 4 / 7 y=y+k 这个公式呢 ?(让学生自己动手证明 ) 思路 (2)第一步用有向线段的数量表示 x， y， h， k， x，和 y， 第二步据图进行推导 第三步由推出的公式 x=x+h(1)再推出 x=x-h y=y+ky=y-h 小结 :这两个公式都叫做平移 (移轴 )公式。同学们还可以运用代数中学过的向量加、减法则，建立复平面来证明 (留给学生课后自己作练习 ) 3、平移公式的应用 (1)利用平移公式求在新坐标内点的新坐标 例与练 : 平移坐标轴，把原点平移到 o(-4， 3)，求A(0， 0)， B(4， -5)的新坐标 ;c(5， -7)， D(4， -6)的旧坐标。 平移坐标轴，把原点平移到 o()使 A(2， 4)的新坐标为 (3， 2);B(-4， 0)的旧坐标为 (0， 3) (2)利用平移公式化简方程 例与练 :(课本例 )平移坐轴，把原点移到 o(2， -1)，求下列曲线关于新坐标系的方程，并画出新旧坐标轴和曲线。 (x-2) x=2y= -1 （ x+2)2/9+(y+1)2/4=1 5 / 7 分析 :解 时用分别把 x=2， y=-1 代入公式 (2)得 x=0y=0(比课本中的解法简单 )而在解 时，却要用公式 (1)分别用 x=+2， y=y-1 代入原方程得出新方程x/9+y/4=1(引导学生正确作出图 ) 小结 :从例中可以看出，要把方程 (x-2)2/9+(y+1)2/4 化为简单的方程 x2/9+y2/4=1，可把 x-2=xy+1=y，得出应 把坐标原点平移到 (2， -1)，由此可推广，形如(x-h)2/a2+(y-k)2/b2 的方程如何化简。 选择题 1.坐标轴平移后，下列各数值中发生变化的是() (A)某两点的距离 (B)某线权中点的坐标 (c)某两条直线的夹角 (D)某三角形的面积 答案选 (c)从此题可看出，坐标轴平移后，与坐标有关的量发生变 化，但图形本身的几何性质不变。 选择题 2:曲线 x2+y2+2x-4y+1=0 在新坐标系中的方程是 x2+y2=4，则新坐标系原点在旧坐标系中的坐标是 () (A)(-1， 2)(B)(1， -2)(c)2， -1)(D)(-2， 1) 分析 :把 x2+y2+2x-4y+1=0 配方为 (x+1)2+(y-2)2=4 由 x+1=x=h=-1y-2=y=k=2 故应选 (A) (四 )教师小结 :今天讲的主要内容是坐标轴平移的意义，平移公式及其简单应用。移轴的目的在几何上是使曲线6 / 7 图形的中 心 (或顶点 )与原点重合，使图形 居中 ，而在代数上则是将一般二元二次方程通过代数变形 (变量代换 )，消去其中的一次项，从而使方程简化，这个问题，下一节课将作更具体深入的研究与探讨。 平移公式的两种形式何时应用较好方便，一般说来，由点的旧坐标求其新坐标时用 (2)较方便，而由曲线的原方程求其新方程时用 (1)较方便，但这也不是固定不变的，如例 2中把方程 x=2化为新方程，直接代入 (2)，马上就可求出 x=0这个新方程。 平移坐标轴，可以简化曲线的方程，但不含改变曲线原来的性质与不变，可以看出其中的辩证关系 和内在规律。 (五 )布置作业 (略 ) 三、课后附记 1、本节课曾在福州市教育学院组织的青年教师培训班的观摩课上讲授，反映较好，从学生的作业反馈及下节课的复习提问，利用坐标轴的平移化简二元二次方程中，引用平移公式进行运算，学生都能较熟练掌握，在半期考中，关于平移公式的应用题得分率在 90%以上，说明本节课的效果较好，但因本教材在整个圆锥曲线教材内容中占的分量不重，公式较少使用，容易出现反生与遗忘，因此在平时教学中可适