[课件资料]概统第6章

第六章参数估计,上一讲，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的三大分布，给出了几个重要的抽样分布定理.它们是进一步学习统计推断的基础.,总体,样本,统计量,描述,作出推断,研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.,随机抽样,现在我们来介绍一类重要的统计推断问题,参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.,参数估计,估计废品率,估计新生儿的体重,估计湖中鱼数,估计降雨量,在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个或几个参数.,参数估计,点估计,区间估计,（假定身高服从正态分布）,设这5个数是:,1.651.671.681.781.69,估计为1.68，,这是点估计.,这是区间估计.,假如我们要估计某队男生的平均身高.,现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.,6.1点估计问题概述,一、点估计的概念问题的提出：已知总体X的分布函数F(x;1,2,k)，其中1,2,k是未知参数。点估计：由总体的样本(X1,X2,Xn)对每一个未知参数i(i=1,2,k)构造统计量,作为参数i,的估计，称,为参数i的估计量。,样本(X1,X2,Xn)的一组取值(x1,x2,xn)称为样本观察值，将其代入估计量,，得到数值,称为参数i的估计值。,在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称估计，记为,请注意，被估计参数是一个未知常数，而估计量是一个随机变量，是样本的函数,当样本取定后，它是个已知的数值,这个数常称为参数的估计值.,由于,现用它来估计未知参数，故称这种估计为点估计。,是实数域上的一个点，,(3)怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？,如何求得合理的估计量？我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？,那么要问:,二、评价估计量的标准,在介绍估计量优良性的准则之前，我们必须强调指出：,评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量.,这是因为估计量是样本的函数，是随机变量.因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值.因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性.,常用的几条标准是：,1无偏性,2有效性,3相合性（一致性）,这里我们重点介绍前面两个标准.,估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值.这就导致无偏性这个标准.,1无偏性,则称为的无偏估计.,如果,不是无偏的，就称该估计是有偏的。,称,为,的偏差。,例6.1设总体X的期望与方差存在,X的,样本为(n1).,(1)不是2的无偏估量;,(2)是2的无偏估计量.,证,可证,证明,因而,故证毕.,注：当样本量趋于无穷时，有E(s*2)2，我们称s*2为2的渐近无偏估计。,例6.2设总体X的密度函数为,为常数,为X的一个样本,证明是的无偏估计量。,证,故,是的无偏估计量.,例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差.,无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求.,无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差.,所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了有效性这一概念.,由于,2有效性,在数理统计中常用到最小方差无偏估计.,它的定义是:,（也称最佳无偏估计）,若满足：,（1），即为的无偏估计；,则称为的最小方差无偏估计.,例6.3设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,EX=,DX=2,验证下列的估计量哪个更有效.,解,=EX=,=DX/2=2/2,同理,所以,为无偏估计量,更有效.,三、一致性（相合性）,在参数估计中，很容易想到，如果样本容量越大，样本所含的总体分布的信息越多。n越大，越能精确估计总体的未知参数。随着n的无限增大，一个好的估计量与被估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越大，这就是所谓的相合性或一致性。定义设,为未知参数的估计量，若对任意给定的正数,0，都有,即,以概率收敛于参数，则称,为参数的一致估计或相合估计量。,在实际中,常常以样本均值作为总体均值的点估计,以样本方差作为总体方差的点估计.,期望的点估计,选择估计量,(1)无偏性(2)样本容量越大,估计值越有效,方差的点估计,选择估计量,(无偏估计量),注意,(非无偏估计量),一、矩法用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数,6.2点估计的常用方法,设总体的r阶矩存在，记为,样本X1,X2,Xn的r阶矩为,令,含待估计参数1,2,k的方程组,解方程组,得k个统计量：,未知参数1,k的矩估计量,代入一组样本值得k个数:,未知参数1,k的矩估计值,解得矩法估计量为,按矩法原理，令,例6.4设总体XN(,2),X1,X2,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量.,解,例6.5设总体XE(),X1,X2,Xn为总体的样本,求的矩法估计量.,解,令,故,例6.6设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,解,例6.7设总体XU(a,b),a,b未知,求参数a,b的矩法估计量.,解,由于,令,解得,矩法估计的优点：计算简单；矩法估计的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合理的解；(2)求法估计不同的做法会得到不同的解；(通常规矩法估计时，要尽量使用低阶矩)如例6.5中，若不用1阶矩，而是用2阶矩,则,与,不同,(3)总体分布的矩不一定存在，故矩法估计不一定有解。,二、最大似然估计法,思想方法：已知试验结果的情况下,给参数选取一个估计值,使得试验结果出现的可能性最大.,例如:有两外形相同的箱子,各装100个球一箱99个白球1个红球一箱1个白球99个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.,答:第一箱.,问:所取的球来自哪一箱？,再如：甲.乙两人比较射击技术,分别射击目标一次,甲中而乙未中,则可以认为:甲射击技术优于乙射击技术.,又如：事件A发生的概率为0.1或0.9,观察一次,事件A发生了,则可以认为:事件A发生的概率为0.9.,实际问题(医生看病、公安人员破案、技术人员进行质量检验等)尽管千差万别,但他们具有一个共同的规律,即在获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观察结果出现的可能性最大.,最大似然估计就是通过样本值来求得总体的分布参数,使得取值为的概率最大.,一般,设X为离散型随机变量,其分布律为,则样本X1,X2,Xn的联合概率分布为,或,称L()为样本的似然函数,称这样得到的,为参数的最大似然估计值,最大似然估计,若X连续,取f(xi;)为Xi的密度函数,似然函数为,例6.8设总体XN(,2),x1,x2,xn是X的样本值,求,2的最大似然估计.,解,2的最大似然估计量分别为,(3)方法与步骤:,设总体的分布密度(或概率密度)其中是待估参数.,写出似然函数(即样本的联合密度函数),写出对数似然函数（对似然函数取对数）,写出似然方程,求解似然方程并写出估计量,(只有一个待估参数时求),6.3置信区间,点估计有使用方便、直观等优点,但它并没有提供关于估计精度和可靠性的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法.,例对明年小麦的亩产量作出估计为:,即,若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为,P(800X1000)=80%,明年小麦亩产量八成为800-1000斤.,区间估计,设为待估参数,是一给定的数,(01).若能找到统计量,使,区间估计的概念,则称概率为置信度或置信水平或置信系数;称区间是的置信度为的双侧置信区间;分别称为双侧置信下限和双侧置信上限.,由定义可知，置信区间是以统计量为端点的随机区间，对于给定的样本观察值(x1,x2,xn)，由统计量，,构成的置信区间,可能包含真值，也可能不包含真值，但在多次观察或试验中，每一个样本皆得到一个置信区间，在这些区间中包含真值的区间占100(1-)%，不包含的仅占100%。,反映了估计的可靠度,越小,越可靠.,置信区间的长度反映了估计精度,越小,1-越大,估计的可靠度越高,但,确定后,置信区间的选取方法不唯一,常选最小的一个.,几点说明,越小,估计精度越高.,这时,往往增大,因而估计精度降低.,可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,选择一个含有待估参数的样本函数,其分布已知,且分布不依赖于待估参数(常由的点估计出发考虑).,例如,求置信区间的方法,称为枢轴量,取枢轴量,构造枢轴量的1的区间,得置信区间,从点估计着手选择枢轴量:,构造Z的一个1-区间:,设总体XN(,2),X1,X2,Xn为一组样本，,(1)2已知,求的置信度为1-置信区间,一个正态总体均值的区间估计,/2,/2,1-,U/2,P(|Z|)=1-,置信区间不是唯一的.一般来说,置信区间取成对称区间或概率对称区间.,即有：,的1-置信区间:,即,设总体XN(,2),X1,X2,Xn为一组样本，,(2)2未知,求的置信度为1-置信区间,从点估计着手构造枢轴变量:,构造T的一个1-区间:,的1-置信区间:,/2,/2,1-,这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体抽样的近似分布（即抽样分布的极限分布定理），于是也可以近似求得参数的区间估计.,例，0-1分布参数p的区间估计.,由中心极,限定理知，,对给定的置信度,有,经不等式变形得,其中,解式中不等式得,解式中不等式得,其中,设总体XN(,2),X1,X2,Xn为一组样本，,(1)总体均值已知,构造枢轴变量,其中,取1-置信区间为,正态总体方差的区间估计,/2,/2,1-,1,2,1-/2,解不等式得到2的1-置信区间:,构造枢轴变量:,构造Q的一个1-区间:,解不等式得到2的1-置信区间:,/2,/2,1-,1,2,1-/2,(2)总体均值未知,例6.9某工厂生产一批滚珠,其直径X服从,解(1),即,正态分布N(2),现从某天的产品中随机,(1)若2=0.06,求的置信区间(2)若2未知,求的置信区间(3)求方差2的置信区间.,抽取6件,测得直径为,15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1,由给定数据算得,得的置信区间为,(2)取,查表,由给定数据算得,则2的置信区间为,(3)选取枢轴量,查表得,得的置信区间为,例6.10,设抽自一大批产品的100个样品中,得一级品60,个,信区间.,解,此处,其中,于是,单侧置信区间,上述置信区间中置信限都