边际分布与随机变量的独立性.ppt

3.2边际分布与随机变量的独立性,问题：已知二维随机变量(X,Y)的联合分布，,如何求出X和Y各自的分布？,3.2.1边际分布函数,巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，,则,YFY(y)=F(+,y).,XFX(x)=F(x,+),边缘分布的几何意义,FX(x)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下左图所示区域内的概率；FY(y)的函数值表示随机点(X,Y)落入如下右图所示区域内的概率。,Oxx,Ox,y,y,y,补例5设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为,其中A，B，C为常数，x(-,+)，y(-,+)(1)试确定A，B，C；(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X2),解(1)由联合分布函数性质2可知,解得,(2),(3)由X的分布函数可得,故,3.2.2边际分布列,巳知(X,Y)的联合分布列为pij，,则,X的分布列为：,Y的分布列为：,以表格形式表示为,把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设,均不可能，因而相应的概率均为0,可由对称性求得,再由古典概率计算得：,所有计算结果列表如下：,例3.2.2已知(X,Y)的分布律为,故关于X和Y的边缘分布律分别为：,求X、Y的边缘分布律。,解,3.2.3边际密度函数,巳知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，,则,X的密度函数为：,Y的密度函数为：,例3.2.3设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,试求：（1）边缘密度函数pX(x)和pY(y);,（2）P(X1/2).,由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.,注意点(1),二维正态分布的边际分布是一维正态：若(X,Y)N(1,2,12,22,)，,注意点(2),则XN(1,12)，,YN(2,22).,二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.,例设(X,Y)服从区域D=(x,y),x2+y21时，p(x,y)=0，所以p(x)=0,当|x|1时,不是均匀分布,练习1设二维随机变量,求边缘密度函数fX(x)和fY(y),解当0x1时,O1x,y,1,y=x2,y=x3,当x0或x1时，fX(x)=0，所以,当0yY)。,Ox,y=x2,y=x,y,解(1),(2)确定积分区域,将只红球和只白球随机地投入已经编好号的3,不妨分别把2只红球和2只白球看作是有差别的（例如编号），由古典概型计算得,类似地计算出下表内的其它结果：,比较一下例3.2.1的表和例3.2.2的表，立即可以发现，两者有完全相同的边缘分布，而联合分布却是不相同的。由此可知，由边缘分布并不能唯一地确定联合分布。,习题7设二维随机变量(X,Y)在矩形区域G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，若,试求(U,V)的联合分布律，并判断U与V是否相互独立。,解(X,Y)在G上服从均匀分布，则联合密度函数为,O12x,y,1,y=x,x=2y,G,(U,V)的联合分布律和边缘分布律为,经检验，U和V不是相互独立的。其中pijpipj,习题8设二维随机变量(X,Y)具有概率密度函数,(1)求X,Y的边缘概率密度；(