线性动态电路分析.ppt

第4章线性动态电路的分析,4-1动态电路的方程及其初始条件4-2一阶电路的零输入响应4-3一阶电路的零状态响应4-4一阶电路的全响应,4-1动态电路的方程及其初始条件,一、基本概念,稳态：电路的稳定状态，即电路中的电压电流达到稳定值时的状态。比如前2章介绍的直流电路，全部为稳态电路的情况。,上图中，在开关K闭合后的一段时间内，电流i和电压uc并不为稳定值，而是有一个开关K闭合后渐变的过程。当时间t时，电流i和电压uc才达到稳定值，不再变化，此时，电路才进入稳态。为什么呢？就是因为电路中存在一个电容元件C。那么，如果电路中有电感元件时又怎样呢？,开关K从闭合时起，电路中的电压电流就为稳定值，也就是说电路达到了稳态。如果电路中含有储能元件，比如有LC，就不同了：,暂态（过渡过程）：当电路中含有储能元件时，在开关动作后，电路中的变量尚未达到稳定状态，在这段时间内，电路变量随时间变化的响应称为电路的过渡过程，也即电路处于暂态,1、两个储能元件能引起过渡过程的两个电路元件C和L。,电容能够存储电场能量，因为电荷的积累需要一个时间过程，所以电压要慢慢上升，储存的能量也随着电容电压的增加慢慢积累，最后达到稳定值（t时）。,电感能存储磁场能量，在建立磁通链的过程中，磁场能量的储存也需要一个过程，因此，电流也只能慢慢增加，最后达到稳定值（t时）。,换路定则,换路：指电路中的开关作用、参数变化等。,t=0-换路前一瞬间,t=0+换路后一瞬间,能量不能突变，只能连续变化,WC=1/2CuC2,uC连续变化,uC(0+)=uC(0-),WL=1/2LiL2,iL连续变化,iL(0+)=iL(0-),换路定则,二、电路的初始条件,何谓初始条件？就是换路后电路中各变量（电压、电流）的起始值，也即t=0+时刻各电压电流的值。这也是一阶动态电路过渡过程三个要素中的第一个要素。,初始值的计算,t=0+电压、电流值称为初始值,初始值计算步骤,用换路定律确定uC(0+),iL(0+)；用初态等效电路确定其它变量的初始值。,电容的初态等效电路,电感的初态等效电路,求初始条件的步骤：,用换路定理先求独立初始条件uC(0+)和iL(0+)。,画0+等效电路。,开关K，t=0+时已动作，应画动作以后的状态；,对于电感L可用电流源替代：；,对于电容C可用电压源替代：,其他支路及元件，保持不变。,在0+等效电路上用KCL、KVL求非独立初始条件。,看几个例题：,例题一,如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S突然打开。则uL(0+)=_V。,由初态等效电路可知：,-6,例题二,如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S合上。则u(0+)=_V。,由初态等效电路可知：,2,如图所示电路原处于稳态，t=0时开关S合上。则i(0+)=_A。,由初态等效电路可知：,2,+-,60V,5,1H,i,10,1F,1F,S,初态等效电路,例题三,求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。,解：作0-时的等效电路,C(0)C(0-)4L(0)L(0-)1,例题四,求图示电路中各支路电流及电感电压的初始值，设换路前电路处于稳态。,解：作0时的等效电路,代入数据得：,解之得,例题五,4-2一阶电路的零输入响应,一、RC电路的零输入响应1、求零输入响应,一阶电路：描述电路响应过程的方程为一阶线性微分方程的电路。一般情况下，含有一个储能元件的线性电路通常就是一阶电路。,零输入响应：顾名思义，就是电路在没有输入激励情况下的响应。由于没有输入激励，所以是靠储能元件的初始储能建立起来的过渡过程响应。也即：换路前电路中储能元件有初始储能，换路后电路没有电源激励输入，仅靠储能元件的储能建立的过渡过程响应。,请看下图电路，已知：t=0时，uc(0)=Uo(V)，求；t0时的uc(t)表达式。,解：有KVL定律可得：（1）,有元件约束方程得：,代入上式（1）得：,初始条件：,此方程为一阶、线性、常系数、齐次微分方程。,分析此方程可知，uc(t)应有指数函数形式，设：,代入方程（3）可得对应微分方程的特性方程：,有表达式（5）、（6）和波形图可看出：,式（5）可作为零输入响应的公式来直接套用。再看波形图：,2、时间常数,再看表达式（5）：,两边均为电压量纲，指数项应该无量纲。由此可见，RC的乘积应该和时间t有相同的量纲“秒”。同时RC的大小，也反映了衰减得快慢，由此可定义一个新的物理量时间常数。,的物理意义：的大小反映了过渡过程进展的快慢。,在表达式（5）中，将时间t=1、2、3、4、5时的电压uc(t)列表如下：,RC电路的零输入响应,时间常数为：,RC一阶电路的零输入响应的一般形式可记为,例:1,图示电路中,S合上前电路已处于稳态,求t0时的uC(t)、iC(t)和i。,解：,t0时的等效电路如图示，,例题2、右图所示电路，开关K在t=0时闭合，求：t0时的uc(t)、ic(t)，以及i1(t)、i2(t)。,显然，没有必要分别列写微分方程来求解，可以利用零输入响应的公式来求解。解：先求初始条件。,独立初始条件：画0+等效电路：,得：,求时间常数。,是由一阶电路本身电路参数决定的固有特征，一个一阶电路只有一个时间常数，所有支路电压电流过渡过程都是以同一个时间常数为衰减系数的。,二、RL电路的零输入响应1、求零输入响应。,例1、uL、iL取关联参考方向，求t0时，iL（t）。,解：显然有：,列方程：换路后得：,和电容放电方程类似，也是一阶线性常系数齐次微分方程，其解应有类似的指数形式。,令：,则，微分方程的特征方程为：Lp+R=0其特征根为：,仍然定义为时间常数，则有：,2、时间常数：,Req为从L两端看过去电路的戴维南等效电阻LHRs,习题：,图示电路，开关K原在位置1，已处稳态，t=0时，K合到位置2。求换路后（t0）。,解：,t0时，,确定A代入t=0+时，iL(0+)=I0,得：A=I0,或者如下求解：,由0+等效电路得：,RL电路的零输入响应,RL电路的时间常数为,RL一阶电路的零输入响应的一般为形式为,一阶电路零输入响应的一般形式为,43一阶电路的零状态响应,零输入响应是换路后，电路中无电源激励输入，仅靠储能元件的储能建立的过渡过程响应(储能元件的放电过程)。零状态响应：换路前储能元件无初始储能（即初始状态为0），换路后在电源激励输入下建立的过渡过程响应（储能元件的充电过程）。,一、RC电路的零状态响应,已知：K在t=0时闭合，且uc（0-）=0V,分析：t0时，uc（t），i（t）的变化规律。,定性分析：第一稳态uc（0+）=0第二稳态uc（）=Us从第一稳态到第二稳态也不是瞬时完成的，也有过渡过程，似乎也应该是按指数规律变化。,1、定量计算：,t0时由KVL得：,元件方程：,先求对应的齐次方程的通解uc（t）齐次方程为：,求非齐次方程的一个特解uc（t）,一阶、线性、常系数、非齐次微分方程,可得：非齐次方程的一个特解为uc（t）=Us,非齐次微分方程的通解为：A为代定常数,确定待定常数A将t=0+时的值代入，即代入uc（0+）=0得：,2.波形（响应曲线）,按指数规律从第一稳态过到第二稳态,3、RC电路（零状态响应）的能量关系,在过渡过程中，由于C无初始储能，因此，电源提供功率，而C和R则吸收功率。,若C无初始储能，K在t=0时闭合，则：,其中=RC,电容上储存的能量为：,可见，不论电阻电容为何值，零状态响应过程中，电源供给的能量只有一半转换成电场能储存于电容中，而另一半则消耗在电阻上。如果是专门为电容充电电路，则充电效率只有50%。,在整个过渡过程中，电阻消耗的能量为：,RC电路的零状态响应,时间常数为：,例1：,已知：电容事先充电，K在t=0时闭合。求：，和最大充电电流；做曲线；K合上150s时的值。,解：用三要素法,=RC=1000.5106=50s=5105s,画响应曲线。如何画响应曲线（波形）呢？方法：1.找第一稳态值2.找第二稳态值（渐近线）3.从第一稳态按指数规律过渡到第二稳态,求t=150s时，uc和i值。,二、直流输入下RL电路的零状态响应,图示电路，已知iL（0-）=0，K在t=0时打开，求：t0时，iL（t）和uL（t）。,解：1、求零状态响应,t0时可得KCL方程：iR+iL=Is,代入得：A=IS,2.响应曲线,3.能量关系：,可见，RL零状态电路中，电流源提供的能量也只有一半储存在电感线圈中，另一半则消耗在电阻中（不论R、L为何值，结论都如此）。,RL电路的零状态响应,时间常数为：,例2,已知电感初始无储能。求：K闭合后的iL(t)，i(t)。,解：用三要素法,iL(0+)=iL(0-)=0，由0+等效电路L相当于开路，iL(0+)=0得：,画波形,图示电路中，S合上前，电容电压为零，求t0时的电容电压和各支路电流。,解：换路后电路的时间常数为,例一:,图示电路中，S闭合前电感中无电流，求t0时的uL、i和iL。,解：戴维南定理,例二：,4-4一阶电路的全响应,一、全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即：全响应=零输入响应+零状态响应,零输入：,零状态：,按叠加定理有：,全响应的求解方法再回顾零状态响应的求解过程：,非齐次方程的特解为：uc（t）=Us,非齐次微分方程的通解为：,A为代定常数,代入t=0+时的值，uc(t)=uc(0+)=0得：,全响应应为：,一阶电路的全响应及三要素分析法,三要素分析法,根据叠加定理，全响应可看作是外施激励和储能元件的初始储能单独作用时各自产生的响应的叠加。,零输入响应：,电路的全响应为,全响应=零状态响应+零输入响应=稳态分量+暂态分量,三要素公式,零状态响应：,对uC和iL成立,三要素分析法的一般步骤,求f(0),求f()(:、不随时间变化),求,求f(t)f()f(0)f()e-t/,一般来说，电感电路先求iL(t)较方便，电容电路先求uC(t)较方便。,例1.求K闭合后的iL(t)和i(t),解：iL(0+)=iL(0-)=-2A0+等效电路为下图，由0+等效电路可得i(0+)=0A,例2、电路原已处于稳态，t=0时K闭合，求t0时的uc，iL，iK,解：K闭合电路成为两个独立的一阶电路,例3,图示电路中，S闭合前处于稳态。当t=0时S闭合后，则全响应uC(t)=_V。其中：uC(0+)=_V；uC