[课件资料]前言

概率论与数理统计华南师范大学数科院汪红初wang_hc,概率统计是研究随机现象数量,规律的学科,理论严谨,应用广泛,发展迅速.不仅高等学校各专业都,开设了本课程,而且在上世纪末，,此课程特意被教育部定为本科生考,研的数学课程之一，希望大家能认,前,言,真学好这门不易学好的重要课程.,国内有关经典著作,国外有关经典著作,本学科的ABC,概率(或然率或几率)随机事件出现,的可能性的量度其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕,斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方,法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理,分配赌注问题”(即得分问题).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的数学分支学科.,论；使概率论成为数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列,的数学分支学科，并无从属关系.,本学科的应用,概率统计理论与方法的应用几乎遍及,所有科学技术领域、工农业生产和国民经,济的各个部门中.例如,1.气象、水文、地震预报、人口控制,及预测都与概率论紧密相关；,2.产品的抽样验收，新研制的药品能,否在临床中应用，均要用到假设检验；,3.物理学中，玻恩将多维随机变量的分布和其概率密度引入到量子物理学中，使光子的本质更加明显的反映出；统计物理学用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律做出微观解释；等等,法国数学家拉普拉斯(Laplace)说：,“生活中最重要的问题,其中绝大,多数在实质上只是概率的问题.”,确定性现象：在一定条件下必然出现的现象,随机现象,每次试验前不能预言出现什么结果每次试验后出现的结果不止一个在相同的条件下进行大量观察或试验时，出现的结果有一定的规律性称之为统计规律性,1.1随机事件及其频率、概率的统计定义,概率论是研究随机现象（偶然现象）的规律性的科学。,对某事物特征进行观察,统称试验.,若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示,不确定性：试验前不能预知出现哪种结果,可重复性：可在相同的条件下重复进行,可观察性：试验结果不止一个,但能明确所有的结果,样本空间随机试验E所有可能的结果,样本空间的元素,即E的直接结果,称为,组成的集合称为样本空间记为或S,样本点，常记为，=,其中a,b分别是零件直径的最小与最大值,测量某车间零件的直径.,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数.,例1给出一组随机试验及相应的样本空间,（1）如果观察取出的两个球的颜色，则有样本点：（2）如果观察取出的两个球的号码，则有样本点：,例2设试验为从装有三个白球（记为1，2，3号）与两个黑球（记为4，5号）中的袋中任取两个球。,注：同一题的样本空间随试验设计的不同而不同,如例2.,随机试验的结果称为事件。,每次试验一定发生的事件称为必然事件,每次试验一定不发生的事件称为不可能事件,每次试验可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件（偶然事件）.,一般用大写英文字母A、B、C等表示随机事件，字母U表式必然事件，V表示不可能事件。,例：在0、1、2、9中任取一数，则A：“取到0”，B：“取到奇数”为随机事件；“取到10”为不可能事件V；“取到小于10的数”为必然事件U.,随机事件的一个子集,记为A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.,如，例2中，设随机事件A表示“取出的两球都是白球.,基本事件仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件.,必然事件U全体样本点组成的事件,即为样本空间,每次试验必定发生的事件.今后将必然事件记为,不可能事件V不包含任何样本点的事件,即为空集,每次试验必定不发生的事件.今后将必然事件记为.,A,随机事件的关系和运算集合之间的关系和运算,文氏图(Venndiagram),A包含于B,事件A发生必导致事件B发生,A,B,且,1.事件的包含,2.事件的相等,事件A与事件B至少有一个发生,发生,的和事件,的和事件,A与B的和事件,3.事件的并(和),事件A与事件B同时发生,发生,的积事件,的积事件,A与B的积事件,4.事件的交(积),A与B的差事件,5.事件的差,A与B互斥,A、B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,6.事件的互斥(互不相容),A与B互相对立,每次试验A、B中有且只有一个发生,A,称B为A的对立事件(or逆事件)，记为,注意：“A与B互相对立”与“A与B互斥”是不同的概念,7.事件的对立,8.完备事件组,若两两互斥，且,则称为完备事件组,或称为的一个划分,交换律,结合律,分配律,德摩根定律(对偶律）,B,C,A,C,分配律图示,A,吸收律,幂等律,差化积,自反律,补充：,A,B,B,红色区域,黄色区域,例3用图示法简化,A,A,例4利用事件关系和运算表达多个事件的关系,A,B,C都不发生,A,B,C至少发生其一,例5在一批产品中任取5件进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现5件次品，设事件Ai表示“发现i件次品”，则,B:“发现2件或3件次品”可以表示为,C:“至多发现2件次品”可以表示为,D:“至少发现2件次品”可以表示为,1.2随机事件的概率,历史上概率的三次定义,公理化定义,统计定义,古典定义,苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出,设随机事件A在n次试验中发生了m次，则比值m/n称为随机事件A的相对频率（简称频率），记作，用公式表示如下：频率性质：,频率的稳定性当试验次数充分大时，随机事件A的频率常在一个确定的数字附近摆动。,投一枚硬币观察正面向上的次数,n=4040,nH=2048,fn(H)=0.5069,n=12000,nH=6019,fn(H)=0.5016,n=24000,nH=12012,fn(H)=0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰(Buffon)投币,皮尔森(Pearson)投币,概率的统计定义,在相同条件下重复进行的n次,试验中,事件A发生的频率稳定地在某一,常数p附近摆动,且随n越大摆动幅度越,小,则称p为事件A的概率,记作P(A).,优点：直观易懂,缺点：粗糙模糊,不便使用,概率的性质：,设P(A)为事件的实函数,若P(A)满足非负性0P(A)1;规范性P()=1,P()=0;可加性,则称P(A)为概率的公理化定义.,由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很多计算随机事件概率的方法.但都要求具有下面三个基本性质.,概率的重要性质,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立.(2)若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广到有限个互斥事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则P(A1UA2UUAn)=P(A1)+P(A2)+P(An)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A).若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B);,证明(3),A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得,P(A)=P(A-B)+P(AB),即P(A-B)=P(A)-P(AB).,(4)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)可推广到有限个事件的情形.,P(AUB)=PA+(B-AB),证明(4),=P(A)+P(B-AB),=P(A)+P(B)-P(AB),类似可证其他.,得：P(B)=P(AUB)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1.AB=，P(A)=0.6，P(AUB)=0.8，求B的逆事件的概率。,所以，P（）=1-0.2=0.8,解由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考在以上条件下，P（A-B）=？,例2设A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15,求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(AUB).,解由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1,P()=0.15，,则P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,P（AUB）=1-P（）=1-P（)=0.85,又因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(B)=P(AUB)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,设随机试验E具有下列特点：,基本事件的个数有限每个基本事件等可能性发生,则称E为古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算：,记,则,1.3古典（等可能）概型,概率的古典定义,解,例1在0,1,2,3,9中任取一个数，求取得奇数数字的概率。,基本事件的总数N10.,设A为“取的奇数数字”,则A所包含的基本事件数M5。,所以所求概率为,例2袋中有3只白球，2只黑球，从袋中任取2个球，求取出的球都是白球的概率,解,E:对球编号，任取两球,:,记事件A为取到2个白球，则,例3在一批N个产品中有M个次品，从这批产品中任取n个产品，求其中恰有m个次品的概率。,解这个例题可看作例2的一般情形。,E:对所有产品编号，任取N个产品,:,记事件A表示取出的N个产品恰好有M个次品，则,例4袋中有a只白球，b只红球，从袋中不放回地取k个球（),求第k次取得白球的概率,解,E:球编号，不放回任取k个球,:,记事件A表示第k次取到白球,则,结论可直接用,1o明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问题要求的随机试验,使其成为等可能概型.,2o同一题的样本空间的基本事件总数随试验设计的不同而不同。,1.4条件概率,引例两台车床加工同一种机械零件，第一台加工了35个合格品，5个次品，第二台加工了50个合格品，10个次品，.现从所有零件中任取1个零件。若已知取得的零件是第一台车床加工的，则取得合格品的概率是多少？,设A表示任取一零件，取得第一台机床加工的；B表示任取一零件，取得合格品.,所求的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为,解列表,设A、B为两事件,P(A)0,则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,即,定义1,同理：,条件概率也是概率,故具有概率的性质：,可列可加性：若B1，B2，An，两两互不相容，则有,条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系,若,一般地,概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。,（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为。,因而有,（1）古典概型可用缩减样本空间法,（2）其他概型用定义与有关公式,例1设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率,解,设表示取得一等品，表示取得合格品，则,（1）因为100件产品中有70件一等品，所以,（2）方法1：,方法2：,因为95件合格品中有70件一等品，所以,练一练,某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”,则,所求概率为,利用条件概率求积事件的概率即为概率乘法定理,推广,例2盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取三次，第三次才取得一等品的概率;（3）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.,解令Ai为第i次取到一等品,（1）,提问：第三次才取得一等品的概率,是,(2),(3),B1,Bn,AB1,AB2,ABn,全概率公式,A,全概率公式,B2,特别地：,例3设10件产品中有4件不合格品，从中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概率为多少？,解设A=第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品,则,=(4/10)(3/9)+(6/10)(4/9),=2/5,贝叶斯公式,后验概率,设A1，A2，,An构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，P（B）0,则有,(k=1,2,n),证明,贝叶斯公式,若一病人高烧到40，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病A1,A2,An。这里假定一个病人不会同时得几种病，即A1,A2,An互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率P(Ai)，这通常称为先验概率。进一步要考虑的是一个人高烧到40时，得Ai这种病的可能性，即P(Ai|B)的大小，它可由Bayes公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病人高烧40)后，病人得A1,A2,An这些疾病的可能性的大小，这通常称为后验概率。有了后验概率，就为医生的诊断提供了重要依据。若我们把B视为观察的“结果”，把A1,A2,An理解为“原因”，则Bayes公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。,例1已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.,设第i次,求,取得白球为事件Ai(i=1,2).,解,1.5事件的独立性,事件A1发生与否对A2发生的概率没有影响可视为事件A1与A2相互独立,定义1,设A,B为两事件，若,则称事件A与事件B相互独立,两事件相互独立的性质,两事件A与B相互独立是相互对称的,若,推论在A与B,与B,A与，与这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。,注意判断事件的独立性一般有两种方法:由定义判断,是否满足公式;由问题的性质从直观上去判断.,三事件A,B,C相互独立是指下面的关系式同时成立：,注：1)关系式(1)(2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称A,B,C两两独立,(2),定义2,n个事件A1,A2,An相互独立是指下面的关系式同时成立,定义3,注意:从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.,例2随机投掷编号为1与2的两个骰子事件A表示1号骰子向上一面出现奇数B表示2号骰子向上一面出现奇数C表示两骰子出现的点数之和为奇数,则,但,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,设两系统都是由4个元件组成,每个元件正常工作的概率为