相似矩阵及二次型.ppt

方阵的特征值与特征向量相似矩阵矩阵的对角化对称矩阵的对角化二次型的标准形与正定性,第四章相似矩阵及二次型,本章内容,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,一特征值与特征向量的概念,第16讲方阵的特征值与特征向量,是A的特征值，,定义1n阶方阵A，若使得,eigenvalue,eigenvector,注1,是A的特征值、特征向量,是的根,是的非零解.,注2在复数域内特征值一定存在，且n阶矩阵有,n个特征值（重根按重数计算）,特征多项式,特征方程,注3对应于一个特征值的特征向量有无穷多个,则称,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,例1求下列矩阵的特征值与特征向量,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,二特征值与矩阵的关系,例2(08)矩阵A的特征值为,2,3,未知.,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,(1)是的特征值;,三各种运算下的特征值,的特征向量,则,(2)是的特征值;,(3)是的特征值;,(4)是的特征值(若A可逆);,(5)是的特征值.,特征向量？,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,例3设三阶矩阵A的特征值为1,-1,2,求,定理3不同特征值对应的特征向量一定线性无关.,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,第17讲相似矩阵,一矩阵的相似,P相似变换矩阵.,定义2设A、B均为n阶方阵,若存在可逆阵P,使得,则称B是A的相似矩阵,或称A与B相似,注矩阵的相似关系满足反身性/对称性/传递性,similar,定理4若A与B相似，则A与B有相同的特征多项式,推论若A与对角阵相似，则即是A的特征值.,从而有相同的特征值.,注若A与对角阵相似，则,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,推论若n阶阵A的n个特征值互不相等,则A可对角化,二矩阵可对角化的条件,n阶矩阵A可对角化,A有n个线性无关的特征向量,定理5(可对角化的条件),例5设问x为何值时，矩阵A可对角化？,的基础解系所含向量个数时，A可以对角化,注若A有重特征值,则其重数等于,代数重数=几何重数,A可对角化指的是(对角阵),使得A与相似.,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,第一步,第二步,求A的特征值(s个互不相等),注相似变换矩阵P不唯一.,例,把方阵A对角化指的是寻找相似变换矩阵P，,三矩阵对角化的过程,对于每一特征值,求齐次线性方程组,的基础解系,使得,第三步以,为列构成矩阵P，则,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,第18讲对称矩阵的对角化,一正交向量与正交矩阵,1向量的内积,定义3设有n维向量,称为向量x与y的内积,即,实际上,innerproduct,性质,记作,且,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,2向量的长度,注1零向量的长度为零.,为向量x的长度(或范数).,length,定义4设称,注2单位向量x:,若则,为单位向量,且只有零向量,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,3正交向量与正交向量组,注1零向量与任意向量正交.,定义5称向量x与y正交，若,orthogonal,注2正交向量组两两正交的非零向量组,定理6正交向量组一定线性无关.,注反之不然.,例如,向量组,注规范正交基两两正交的单位向量构成的基,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,施密特(Schmidt)正交化过程：,线性无关向量组,为正交向量组且与等价,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,4正交矩阵与正交变换,定义6,(即),若方阵A满足,则称A为正交(矩)阵.,orthogonalmatrix,例8判别下列矩阵是否为正交阵,A的行(列)向量组为两两正交的单位向量.,注A是正交阵,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,注正交变换保持向量的长度及正交性不变,正交阵的性质：,(3)若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵,(2)若A为正交阵，则也是正交阵,(1)若A为正交阵，则,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,二对称矩阵的特征值、特征向量,定理7对称阵的特征值为实数.,注n阶对称阵在实数范围内一定有n个特征值.,定理8对称阵的不同特征值对应的特征向量正交.,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,三对称矩阵的对角化,定理9对于n阶对称阵A,一定存在正交阵P,使得,推论对称阵A的特征值的代数重数=几何重数,的正交单位特征向量.,征值，而P的n个列向量是A的对应于,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,一二次型及其矩阵,n阶对称阵,A称为二次型f的矩阵，f称为矩阵A的二次型,第19讲二次型简介,定义7n元二次型指的是n个变量的二次齐次函数：,矩阵形式:,或,实二次型,复二次型,A的秩称为二次型的秩.,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,二次型的矩阵,例如,二次型的矩阵,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,二二次型的化简,使f只含的平方项：,标准形,化二次型为标准形指的是找,配方法,正交变换法,方法,可逆变换,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,正交变换使得,其中，是A的n个特征值，而P的,n个列向量是A的对应于的正交,单位特征向量,正交变换法化二次型为标准形,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,如上例，指出表示何种二次曲面.,注正交变换法的优点在于能保持几何形状不变,附：二次型的规范形，,正惯性指数,24November2019,河北科大理学院,第五章相似矩阵及二次型,三二次型的正定