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中考数学专题复习六 应用题【教学笔记】考点一：方程（组）的应用1、 一元一次方程的应用2、 二元一次方程组的应用3、 分式方程的应用考点二：不等式（组）的应用1、 一元一次不等式（组）的应用2、 二元一次不等式组（组）的应用考点三：函数的应用1、 三角函数的应用2、 一次函数的应用 3、 二次函数的应用1、 【考点分类】考点一：方程（组）的应用【例1】（2014宜宾市）在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题每一题答对得5分，答错或不答都扣3分（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？（2）小王获得二等奖（7585分），请你算算小王答对了几道题？解得： y，即【例2】（2016资阳）某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用菁优网版权所有【分析】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案；（2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等式求出答案【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：220a+190（8a）1565，解得：a1.5，A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，A型污水处理设备买越少，越省钱，购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最省钱【例3】（2014内江市） 某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？【课后练习】1、 （2014自贡市）学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？2、 （2014遂宁市）我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2间甲商品和3件乙商品需用220元而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？3、 （2014攀枝花市）为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：租金（单位：元/台时）挖掘土石方量（单位：m3/台时）甲型挖掘机10060乙型挖掘机12080（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？考点二：不等式（组）的应用【例1】（2013资阳）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是（）A10人B11人C12人D13人考点：一元一次不等式组的应用3718684解答：解：设预定每组分配x人，根据题意得：，解得：11x12，x为整数，x=12故选：C【例2】（2014绵阳市）某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（）AnmBnCnDn【例3】（2014资阳市）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=20x1+1500（0x120，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=10x2+1300（0x220，x2为整数）（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润考点三：函数的应用【例1】（2013资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围12海里范围内均属于禁区，不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛A正南方距岛60海里的B处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向52海里的C处有一艘日本渔船，正以9节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西30的方向以12节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2小时候海监船到达D处，与此同时日本渔船到达E处，此时海监船再次发出严重警告（1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区？（2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快到达距岛12海里，且位于线段AC上的F处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达F处？（注：中国海监船的最大航速为18节，1节=1海里/小时；参考数据：sin26.30.44，sin20.50.35，sin18.10.31，1.4，1.7）考点：解直角三角形的应用-方向角问题解答：解：（1）过点E作圆A的切线EN，连接AN，则ANEN，由题意得，CE=92=18海里，则AE=ACCE=5218=34海里，sinAEN=0.35，AEN=20.5，NEM=69.5，即必须沿北偏东至少转向69.5航行，才能恰好避免进入钓鱼岛12海里禁区（2）过点D作DHAB于点H，由题意得，BD=212=24海里，在RtDBH中，DH=BD=12海里，BH=12海里，AF=12海里，DH=AF，DFAF，此时海监船以最大航速行驶，海监船到达点F的时间为：=2.2小时；渔船到达点F的时间为：=2.4小时，2.22.4，海监船比日本渔船先到达F处【例2】（2015资阳）学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元（1）求篮球和足球的单价；（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元.请问有几种购买方案？（3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最小值考点：一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用.分析：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x30）元，根据“买两个篮球和三个足球一共需要510元”列出方程，即可解答；（2）设购买篮球x个，足球（100x）个，根据“篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元”，列出不等式组，求出x的取值范围，由x为正整数，即可解答；（3）表示出总费用y，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值解答：解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x30）元，由题意得：2x+3（x30）=510，解得：x=120，一个篮球120元，一个足球90元（2）设购买篮球x个，足球（100x）个，由题意可得：，解得：40x50，x为正整数，x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，共有11种购买方案 （3）由题意可得y=120x+90（100x）=30x+9000（40x50）k=300，y随x的增大而增大，当x=40时，y有最小值，y最小=3040+9000=10200（元），所以当x=40时，y最小值为10200元【例3】（2014绵阳市）绵州大剧院矩形专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，影剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别建立两种优惠方案中y与x的函数关系式；（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案【课后练习】1、 （2014巴中市）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30，求坝底AD的长度（精确到0.1米，参考数据：1.414，1.732提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）2、 （2014内江市）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整数，参考数值：1.7）CAF=30，3、 （2014资阳市）如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45的方向上（其中A、B、C在同一平面上）求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离【解析】4、 （2014南充市）马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处。（参考数据：sin36.50.6,cos36.50.8,tan36.50.75）.（1）求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处。 5、 （2014南充市）今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基础运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件。（1）设从A基础运往甲 销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w,并写出x的取值范围；（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费。6、 （2014成都市）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm.（1）若花园的面积为192m2,求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.【课后作业】1、 （2016四川省内江市）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )A B C D解析依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x2)千米/时因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以故选A2、 （2016四川省南充市）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（）A =B =C =D =【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：=故选：B3、 （2016四川省宜宾市）宜宾市某化工厂，现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为（）A4 B5 C6 D7【分析】设生产甲产品x件，则乙产品（20x）件，根据生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，列出不等式组，求出不等式组的解，再根据x为整数，得出有5种生产方案【解答】解：设生产甲产品x件，则乙产品（20x）件，根据题意得：，解得：8x12，x为整数，x=8，9，10，11，12，有5种生产方案：方案1，A产品8件，B产品12件；方案2，A产品9件，B产品11件；方案3，A产品10件，B产品10件；方案4，A产品11件，B产品9件；方案5，A产品12件，B产品8件；故选B4、 （2016四川省广原市）某市2015年国内生产总值GDP比2014年增长10%，由于受到客观条件影响，预计2016年的GDP比2015年增长7%若这两年GDP平均增长率为x%，则x应满足的等量关系是（）A10%+7%=x%B（1+10%）（1+7%）=2（1+x%）C（10%+7%）=2x%D（1+10%）（1+7%）=（1+x%）2【专题】增长率问题【分析】根据平均增长率：a（1+x）n，可得答案【解答】解：由题意，得（1+10%）（1+7%）=（1+x%）2，故选：D5、 （2016四川省宜宾市）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组【分析】分别利用“A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元”得出等式求出答案【解答】解：设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组：故答案为：6、 （2016四川省广安市）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程 【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，本题得以解决【解答】解：由题意可得，化简，得，故答案为：7、 （2016四川省绵阳市）绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x5）元，由题意得，=，解得x=50经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y5）件，由题意得，解得23y25y为整数，y=24或25，共有两种方案：方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件8、 （2015四川省成都市）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的倍，但单价贵了元。（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【解析】：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则第二批衬衫是件 由题意可得：，解得，经检验是原方程的根。 （2）设每件衬衫的标价至少是元 由（1）得第一批的进价为：（元/件），第二批的进价为：（元/件） 由题意可得： 解得，所以，即每件衬衫的标价至少是元。9、 （2016四川省广安市）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润 甲乙丙 每辆汽车能装的数量（吨） 423 每吨水果可获利润（千元） 574（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m表示）（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）根据“8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售”列出方程组，即可解答；（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，列出方程组，即可解答；（3）设总利润为w千元，表示出w=10m+216列出不等式组，确定m的取值范围13m15.5，结合一次函数的性质，即可解答【解答】解：（1）设装运乙、丙水果的车分别为x辆，y辆，得：，解得：答：装运乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，得：，解得答：装运乙种水果的汽车是（m12）辆，丙种水果的汽车是（322m）辆（3）设总利润为w千元，w=54m+72（m12）+43（322m）=10m+216，13m15.5，m为正整数，m=13，14，15，在w=10m+216中，w随x的增大而增大，当m=15时，W最大=366（千元），答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆，利润最大，最大利润为366元10、 （2016四川省广安市）如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶已知台阶总高1.5米，为了安全，现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D、C），且DAB=66.5（参考数据