运算方法和运算器.ppt

第二章运算方法和运算器,2.1数据与文字的表示2.2定点加法、减法运算2.3定点乘法运算2.4定点除法运算2.5定点运算器的组成2.6浮点运算与浮点运算器2.7本章小结,2.1数据与文字的表示方法,计算机中的数据分两类1.数值数据（有值）例：18-2-0.101123/32数轴02.非数值数据（字母，符号，汉字）例：ABCabc!#$,.”;:电脑，数据库,数据的表示方法,定点数浮点数真值与机器数数的机器码表示方法原码表示法补码表示法反码表示法移码表示法,1）定点表示法,符号,数值,纯小数：a、定点小数表示:Ns.N1N2Nn（原码、反码、补码）b、范围：0.0000|X|0.11111即：0|X|1-2-n,n位,1位,由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记号“.”来表示。,纯整数,a、定点整数表示：NsN1N2Nn（原码、反码、补码）b、范围：0|X|11111即：0|X|2n-1,由于有些数据用定点数不易表示，所以采用了浮点表示法。,2）浮点表示法,定义：任意一个R进制都可以通过移动小数点的位置写成X=REM式中：R是基数，可以取2，8，16，一旦定义则不能改变，是隐含的。M是纯小数（含数的符号），称为尾数，表示数N的全部有效数字。E是阶码，纯整数，指出小数点在该数中的位置。由于阶码可以取不同的数值，所以，小数点的位置是不确定的，这种数被称为浮点数。浮点数的表示格式：X=2EM,浮点数的表示方案：,：,：,：IEEE754标准,浮点数所表示的范围远比定点数大。一台计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示，要根据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机以上的计算机中同时采用定点、浮点表示，由使用者进行选择。而单片机中多采用定点表示。,62位浮点数则：,一个规格化的32位浮点数x的真值表示为x=(-1)S(1.M)2E-127e=E-127真值x为零表示：当阶码E为全0且尾数M也为全0时的值，结合符号位S为0或1，有正零和负零之分。真值x为无穷大表示：当阶码E为全1且尾数M为全0时，结合符号位S为0或1，也有+和-之分。这样在32位浮点数表示中，要除去E用全0和全1（255）10表示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值不选128（10000000），而选127（01111111）。对于规格化浮点数，E的范围变为1到254，真正的指数值e则为-126到+127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是10-381038（以10的幂表示）。,尾数规格化,尾数规格化的形式：1.M例：A=240.0000000010101=2-51.0101,阶码：用移码表示，对于两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便。,阶码与尾数的位数关系,精度：,范围：,尾数,指数,规格化:存储在计算机中的浮点数以及运算结果的浮点数都应为规格化数，如果尾数不是规格化数，要用移位方法把他变为规格化数，这种处理过程，称为规格化。,3）定点数表示法与浮点数表示法的比较,范围：,浮点数定点数,设备复杂度:,浮点数定点数,4）举例,8位二进制阶码3位，数符尾数5位,定点数0.0000000-0.11111110-127/128,浮点数2-110.0001-2110.11111/128-7.5,例1若浮点数的二进制存储格式为(41360000)16，求其32位浮点数的十进制值。,于是有(1)s1.M2e,解:,将十六进制数展开后，可得二进制数格式为,指数e阶码127,100000100111111100000011=(3)10,包括隐藏位1的尾数1.M,1.01101100000000000000000,1.011011,(1.011011)23,1011.011,(11.375)10,例2将十进制数数20.59375转换成位浮点数的二进制格式来存储。,解:,首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：,20.5937510100.10011,然后移动小数点，使其在第1，2位之间,10100.10011,1.010010011,2,4,e4,S,0,E,4,+,127,=,131,M=,010010011,最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：,01000001101001001100000000000000,(41A4C000)16,练习：1、将20.1875转换成，32位浮点数存储？2、若浮点数的二进制存储格式为（41A18000）16，求其十进制值？作业：将十进制数数17.296875转换成位浮点数的二进制格式来存储？,数值数据定点数的表示方法,原码表示法补码表示法反码表示法移码表示法,数值数据定点数的表示法（原码）,定点小数表示:Ns.N1N2Nn定义:X原=定点整数表示：NsN1N2Nn定义:X原=,X,1-X,0X1,-1X0,X,2n-X,0X2n,-2nX0,数值数据定点数的表示法（原码）,实例：X1=0.10110-0.101100.0000X原=0.101101.101100.00001.0000实例：X1=10110-101100000X原=0101101101100000010000,数值数据定点数的表示法（原码）,性质:原码为符号位加数的绝对值，0正1负原码零有两个编码，+0和-0编码不同原码难以用于加减运算N+1位二进制原码所表示的范围：,小数：MAX=1-2-n，MIN=(1-2-n)整数：MAX=2n-1，MIN=(2n-1),数值数据定点数的表示法（补码）,补码是在“模”和“同余”的概念下导出的。“模”是指一个计量系统的计量范围，即产生“溢出”的量。,数值数据定点数的表示法（补码）,现在是北京时间3点整，而时钟却指向5点。,5-2=3,5+10=3（12自动丢失。12就是模）,数值数据定点数的表示法（补码）,继续推导：5-2=5+10（MOD12）5+（-2）=5+10（MOD12）-2=10（MOD12）结论：,可以说：在模为12的情况下，-2的补码就是10。一个负数用其补码代替，同样可以得到正确的运算结果。,数值数据定点数的表示法（补码）,进一步结论：在计算机中，机器能表示的数据位数是一定的，其运算都是有模运算。如果是n位整数，其模为2n。如果是n位小数，其模为2。若运算结果超出了计算机所能表示的数值范围，则只保留它的小于模的低n位的数值，超过n位的高位部分就自动舍弃了。,数值数据定点数的表示法（补码）,定义：任意一个X的补码为X补，可以用该数加上其模M来表示。X补=X+M,数值数据定点数的表示法（补码）,定点小数表示:Ns.N1N2Nn定义:X补=（MOD2）定点整数表示：NsN1N2Nn定义:X补=,X,2+X,0X1,-1X0,X,2n+1+X,0X2n,-2nX0,（MOD2n+1）,数值数据定点数的表示法（补码）,实例：X1=0.10110-0.101100.0000X补=0.101101.010100.0000实例：X1=10110-101100000X补=01011010101000000,数值数据定点数的表示法（补码）,由于正数的补码就是正数本身，故着重讲解负数求补码的方法。,负数求补码,数值数据定点数的表示法（补码）,（1）由定义求例：,X补=2+X,=10+(-0.1101001),=1.0010111,数值数据定点数的表示法（补码）,例:X=-1101001解:,X补=28+X,=100000000+(-1101001),=10010111,反过来，由补码求真值，只要将公式进行交换即可。,数值数据定点数的表示法（补码）,（2）由原码求补码除符号位以外，其余各位求反，末位加1。例：X=-0.0101011解:,X原=10101011,X补=,1,1,1,1,0,0,0,0,+,1,11010101,由补码求原码，此规则同样适用。,由原码求补码的简便原则:除符号位以外,其余各位按位取反,从最低位开始遇到的第一个1以前的各位保持不变。,例：X原=110110100,X补=,101001,100,100,由-X补求X补，此规则同样适用。,数值数据定点数的表示法（补码）,（3）由X补求-X补:连符号位一起各位求反，末位加1。例：X补=1.1010101解:,X补=11010101,-X补=,0,0,0,0,1,1,1,0,+,1,00101011,数值数据定点数的表示法（补码）,(4)由X补求1/(2X)补:将X补的符号位和数值位一起向右移动一次。符号位移走后保持原来的值不变。例:,X补=,1,0,0,1,1,0,0,0,X/2补=,1,0,1,0,1,0,0,0,1,这称为“算术移位”,你会求X/4补和X/8补吗?,数值数据定点数的表示法（补码）,性质:0的补码是唯一的补码便于加减运算n+1位补码所能表示的数：小数：MAX=1-2-n，MIN=1整数：MAX=2n-1，MIN=2n,数值数据定点数的表示法（反码）,定点小数表示:Ns.N1N2Nn定义:X反=定点整数表示：NsN1N2Nn定义:X反=,X,（2-2-n）+X,0X1,-1X0,X,（2n+11）+X,0X2n,-2n十进制编码分为有权码和无权码两种。,用二进制编码表示的十进制数,各位代码不存在权，代码的值是在8421的基础上，每个代码加3形成的。这样做，两个采用余3码的十进制数相加时，能正确产生进位号。,例1：求（47）10+（32）10=,解：,（47）BCD,=,0100,0111,+,（32）BCD,=,0011,0010,1001,0111,79,（79）10,例2：求（5）10+（8）10=,解：,（5）BCD,=,0101,+,=,1000,1101,（13）10,（8）BCD,0,9,A,F,09,6,+,110,1,1,0,0,1,0,0,0,当和大于9时，需加6修正,字符与字符串的表示方法,计算机中最重要的功能是处理信息，如：数值、文字、符号、语言和图象等。计算机内部，各种信息都必须采用数字化编码的形式被传送、存储、加工。因此掌握信息编码的概念与处理技术是至关重要的。所谓编码，就是用少量简单的基本符号，选用一定的组合规则，以表示出大量复杂多样的信息。,图2.1字符串在主存中的存放,常用的信息分为：定点数数值信息浮点数字符非数值信息汉字逻辑数据,字符编码,用一定位数的二进制数“0”和“1”进行编码给出。常用的字符编码ASCII码。ASCII（AmericanStandardCodeforInformationInterchange),字符编码,ASCII码是美国信息交换标准代码。(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)包括0-9十个数字，大小写英文字母及专用符号等95种可打印字符。,Computer,0100001101101111011011010111000001110101011101000110010101110010,7654321,中文编码,汉字输入码：为进行汉字输入，将汉字代码化。汉字机内码：在计算机内部进行汉字处理。汉字字型码：汉字输出时的编码。,中文编码,字符代码化（输入）,数字码拼音码字形码,中文编码,逻辑数据,逻辑型数据只有两个值：真和假，正好可以用二进制码的两个符号分别表示，例如1表示真则0表示假不必使用另外的编码规则。对逻辑型数据可以执行逻辑的与或非等基本逻辑运算。其规则如下,逻辑数据,XYX与YX或YX异或Y00000010111001111110,三、校验码,为了提高计算机的可靠性，除了采取选用更高可靠性的器件，更好的生产工艺等措施之外，还可以从数据编码上想一些办法，即采用一点冗余的线路，在原有数据位之外再增加一到几位校验位，使新得到的码字带上某种特性，之后则通过检查该码字是否仍保持有这一特性，来发现是否出现了错误，甚至于定位错误后，自动改正这一错误，这就是我们这里说的检错纠错编码技术。,校验码,三种常用的检错纠错码：奇偶检错码用于并行数据传送中海明检错与纠错码用于并行数据传送中循环冗余码用于串行数据传送中,1、奇偶校验码,奇偶校验码：用于并行码检错原理：在k位数据码之外增加1位校验位，使K+1位码字中取值为1的位数总保持为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。例如：,偶校验,奇校验,校验位,0001,0001,0101,0101,0101,0001,1,0,0,1,原有数字位两个新的码字,字,校验位,校验码,例1：数据0010000101110101,奇校验码,00100001,1,偶校验码,00100001,0,01110101,0,01110101,1,例2：数据：01110101,奇校验码,01110101,1,发送端,（门电路）,01100101,0,接收端,出错,例3：数据：01110101,奇校验码,01110101,0,发送端,（门电路）,01100111,0,接收端,正确,奇偶校验只能发现奇数个错误，且不能纠正错误！,2、海明校验码,海明校验码：是由RichardHamming于1950年提出的。这种编码能纠正一位出错，并能自动恢复出错位的校验码。1）校验原理：以奇偶校验为基础，在数据中掺杂一组校验位，并规定每个校验位的校验范围。2）校验位的位数确定：设校验位的位数k，数据位的位数n应满足下述关系:2kn+k+1,n个数据位,k个校验位,无错,例：数据位n与所需校验位数k的关系：,K=2,4n+3,n=1,K=3,8n+4,n：24,K=4,16n+5,n：511,3）校验位在海明码中的分布：规则：把位号数是2的权值的那些位，分配做奇偶校验位。,例：位置号：2423222120,1,2,4,8,16,4）海明码的各位与相关的校验位,被校验的每一位的位号=校验它的各校验位的位号之和,例1：有7位信息代码：0110001，求它的海明码，用偶校验。,解：,信息代码7位,n=7,k=4,海明码共n+k=7+4=11位,1110987654321,P1,P2,P3,P4,0,1,1,0,0,0,1,P1：,3，5，7，9，11,1,0,0,1,0,0,P2：,3，6，7，10，11,1,0,0,1,0,0,P3：,5，6，7,0,0,0,0,P4：,9，10，11,1,1,0,0,0,0,0,0,海明码,海明码：01100000100,实例：,（发送端）,01100100100,（接收端）,P4P1,0110第6位出错，纠错,00100000100,（接收端）,P4P1,1010第10位出错，纠错,0110,0000,1010,0000,例1：有8位信息代码：10110011，求它的海明码，用奇校验。,解：,信息代码8位,n=8,k=4,海明码共n+k=8+4=12位,121110987654321,P1,P2,P3,P4,0,1,1,0,0,1,1,P1：,3，5，7，9，11,1,1,0,1,0,0,P2：,3，6，7，10，11,1,0,0,1,0,1,P3：,5，6，7，12,1,0,0,1,P4：,9，10，11,1,1,0,0,0,1,1,0,海明码,1,1,1,海明码：101100011110,实例：,（发送端）,101100011110,（接收端）,111100011110,（接收端）,P4P1,0101第5位出错，纠错,P4P1,1011第11位出错，纠错,0011,0110,1101,0110,循环冗余码,用于多位串行数据传送中的检错纠错处理，在k位数据位串行移位输出的过程中，用带有异或门控制的移位寄存器形成r个校验位的值，跟随在数据位之后传送走。在接收端再对k+r位的码字进行合法与出错检查，若可能则自动改错。,循环冗余码模2四则运算,模2四则运算是以2为模，按位相加的运算，在运算中不考虑借位和进位。加减法：00=0，01=1，10=1，11=0乘法：按模2加求部分积之和除法：按模2减求部分余数,1010,101,1010,0000,1010,100010,10000,101,1,101,010,0,000,10,0,1,101,01,商,余数,循环冗余码循环码的编制原理,设待编码的有效信息以多项式M(x)表示，用约定的一个多项式G(X)去除，一般情况下能得到一个商Q(X)和余数R(X)M(x)=Q(x)G(x)+R(x)M(x)-R(x)=Q(x)G(x)显然，将M(x)减去余数R(x)就必定能为G(x)所除尽，因而可以设想让M(x)-R(x)作为编好的校验码送往目标部件，当从目标部件取得校验码时，仍用约定的多项式G（x）去除，若余数为0，表明该校验码正确；若余数不为0，表明出错，在进一步由余数确定出哪一位出错，从而加以纠正。,例：对四位有效信息（1100）做循环校验编码，选择的生成多项式G（x）=1011。解：将待编码的N位有效信息码组表示为多项式M（x）：M（x）=X3+X2=1100将M（x）左移r位，得M（x）xr，其目的是空出r位，以便拼装r位余数（校验位）：M（x）x3=x6+x5=1100000用r+1位的生成多项式G（x）对M（x）xr做模2除：,G（x）=X3+X+1=1011（r+1=4）M（x）X311000001110+010G（x）101110114.将左移r位后的待编有效信息与余数R(x)做模2加，即形成循环校验码。M（x）X3+R（X）=1100000+010=1100010此处编好的循环校验码称为（7，4）码，即k=7，n=4，可向目标部件发送。,5.5.循环码的译码和纠错接受部件将收到的循环校验码用约定的生成多项式G（x）去除，如果码字无误则余数为0，如果某一位出错则余数不为0，不同位数出错余数则不相同。,循环冗余码实现电路,串行数据D,上商1上商0,线性分组（7，3）码，即3位数据加4位校验查表得到生成多项式：G（X）=X4+X2+X+1T4T3T2T1T0CP+1011100000,循环冗余码的实现电路,串行数据D,上商1上商0,线性分组（7，3）码，即3位数据加4位校验查表得到生成多项式：G（X）=