计算机组成原理第5讲浮点运算.ppt

计算机组成原理,PrinciplesofComputerOrganization,广义双语教学课程,09/skyclass25/,青岛理工大学校级精品课程,2,第6章计算机的运算方法,(6),Floating-pointcomputationinacomputercanrunintothreekindsofproblems:,Anoperationcanbemathematicallyillegal,suchasdivisionbyzero.,Anoperationcanbelegalinprinciple,butnotsupportedbythespecificformat,forexample,calculatingthesquarerootof1ortheinversesineof2(bothofwhichresultincomplexnumbers).,Anoperationcanbelegalinprinciple,buttheresultcanbeimpossibletorepresentinthespecifiedformat,becausetheexponentistoolargeortoosmalltoencodeintheexponentfield.Suchaneventiscalledanoverflow(exponenttoolarge)orunderflow(exponenttoosmall).,3,6.4浮点四则运算,Floating-PointArithmetic,浮点加减法运算,浮点乘法运算,Floating-PointMultiplication,Floating-PointAddition&Subtraction,浮点除法运算,Floating-PointDivision,4,浮点运算Floating-PointArithmetic,浮点运算要把阶码和尾数分别处理。,阶码的运算是定点整数运算，对阶码的运算有四种：阶码加1，阶码减1，两阶码求和，两阶码求差。,尾数的运算是定点小数运算。,运算过程中一般取双符号位。,浮点运算器总是由处理阶码和处理尾数的两部分组成。,Floating-pointrepresentationissimilarinconcepttoscientificnotation.Thewayinwhichthesignificand,exponentandsignbitsareinternallystoredonacomputerisimplementation-dependent.,5,浮点数的溢出Overflow,当一个数的大小超出了浮点数的表示范围时，机器无法表示该数，就发生溢出。浮点数的溢出判断方法与定点数不同，是对规格化数的阶码Exponent进行判断。,当浮点数的阶码大于机器所能表示的最大阶码时（即阶码发生正溢出），称为溢出或上溢，此时机器应停止运算，进行出错中断处理。,当浮点数的阶码小于机器所能表示的最小阶码时（即阶码发生负溢出），称为下溢。这时一般规定把该浮点数的尾数强迫置零，作为零处理，机器可继续运行。,当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者阶码的值小于等于它能表示的最小数值（下溢）时，不论其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。,浮点数的尾数运算的溢出可以通过右规消除。,6,浮点加减法运算Floating-PointAddition&Subtraction,设有两个规格化浮点数,X=MX2Ex，Y=MY2Ey,若两数的阶码相等，即EX=EY，有,X+Y=,将两浮点数的尾数相加，就可得到浮点形式的和。,一般情况下，EXEY，计算X+Y要用如下五个步骤来完成：,对阶尾数相加规格化舍入检查阶码是否溢出。,1、浮点加法运算Floating-PointAddition,MX2Ex+MY2Ey,=（MX+MY）2Ex,7,(1)对阶Alignment,两数相加，必须使小数点对齐。对于浮点数来说，就是使阶码相等。使阶码相等的过程称为对阶。,对阶的原则是：小的阶码向大阶码看齐。,对阶操作，首先比较两数的阶码值的大小，即求E=EXEY，并保留其最大值E=MAX（EX，EY）作为和的阶码。,当E0时，将阶码小的数的尾数右移|E|位。,尾数每右移一次将阶码加1，直至E0。,为了减少误差，可用附加线路（Guardbits保留位）保留右移出的1位或几位的高位，在以后的舍入操作时用。,(2)尾数相加AddtheSignificands（Mantissa）,完成对阶后，将两浮点数的尾数部分相加，方法与定点小数加法相同。,8,(3)规格化处理NormalizetheResult,当运算结果的尾数部分不是规格化数（即不是00.1或11.0的形式）时，必须进行规格化处理。,规格化处理的规则：,若结果尾数的两个符号位不同（01或10），表明尾数运算结果溢出，应进行右规。将结果尾数右移一位，并将阶码的值加1。,若尾数的运算结果不溢出，但最高数值位与符号位同值（即11.1或00.0），则应进行左规。,将尾数连同符号位一起左移一位，并将和的阶码减1，如此反复直至尾数最高数值位与符号位不同为止。,9,(4)舍入操作Round,在进行对阶或右规操作时，尾数低位的一位或几位数值被移出。如果采用“截断法”把移出的数位丢掉，会影响数值的精度。因此，可采用舍入法来减少误差。,“0”舍“1”入法,当移出部分的最高位为1时在尾数末位加1，为0时则舍去移出的数值。此方法的最大误差为2(n+1)。,“0”舍“1”入法由于有舍有入，舍入机会均等，有利于减少误差积累。但对末位加1的操作可能引起一连串的进位而使尾数溢出，此时还要再做一次右规。,末位恒置1法,无论右移丢失的是何数值，一律将结果的末位置1。,把尾数最低位的0置成1，对于正数，是使其值变大，对于负数补码和反码，则使其值变小。而舍入前尾数最低位已经是1时，再置1无实际效用，与截断法无异。,10,(5)检查阶码是否溢出ChecktheExponentOverfloworUnderflow,若阶码正常，加减运算正常结束；若阶码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置溢出标志。,【例1】浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。,X0.110110112010，Y=（0.10101100）2100，求X+Y=?,Roundingisusedwhentheexactresultofafloating-pointoperation(oraconversiontofloating-pointformat)wouldneedmoredigitsthantherearedigitsinthesignificand.Thereareseveraldifferentroundingschemes(orroundingmodes).,11,例1浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=?,X0.110110112010，Y=（0.10101100）2100，,解：,EX补=0010，EY补=0100，-EY补=1100,MX补=0.11011011，MY补=1.01010100,对阶,E补=EX补EY补=EX补-EY补=00010+11100=11110,即E2。由于X的阶码小，应使MX右移两位，EX加2，,尾数相加,12,规格化处理,结果的符号位与最高数值位同值，应进行左规。,尾数左移1位，阶码减1。,MX+Y补=11.0001010110，EX+Y补=00011,舍入处理,采用0舍1入法，MX+Y补=11.00010110,判断溢出,补码表示的阶码的符号位为00，不溢出。结果：,MX+Y补=1.00010110，EX+Y补=0011,XY（0.11101010）2011,例1浮点数的阶码为4位补码，尾数为9位补码。求X+Y=?,13,2、浮点数减法Floating-PointSubtraction,对阶，尾数相减，规格化，舍入，检查阶码是否溢出。,浮点数减法运算的步骤：,Thefactthatfloating-pointnumberscannotfaithfullymimictherealnumbers,andthatfloating-pointoperationscannotfaithfullymimictruearithmeticoperations,leadstomanysurprisingsituations.Thisisrelatedtothefiniteprecisionwithwhichcomputersgenerallyrepresentnumbers.,14,浮点乘法运算Floating-PointMultiplication,两浮点数相乘，乘积的尾数为相乘两数的尾数之积，阶码为两数的阶码之和。即,XY,浮点乘法运算可分为四个步骤：,阶码相加,尾数相乘,规格化和舍入处理,判断溢出,（MX2Ex）（MY2Ey）=,（MXMY）2Ex+Ey,规格化浮点数,X=MX2Ex，Y=MY2Ey,Tomultiply,thesignificandsaremultipliedwhiletheexponentsareadded,andtheresultisroundedandnormalized.,阶码相加AddExponent,乘数和被乘数的阶码按定点整数补码或移码加法的规则相加，得到乘积的阶码。,尾数相乘MultiplySignificands（Mantissa）,乘数和被乘数的尾数按定点小数（原码或补码）乘法运算的方法相乘，得到乘积的尾数。,规格化和舍入处理Normalizing&Round,规格化和舍入方法与浮点加减法处理的方法相同。但两个数值位是m位的数相乘，乘积的数值位为2m位。舍入处理后，尾数只保留m个数值位。,一般情况下，两个规格化数相乘，尾数最多左规一次，因为两个纯小数相乘是不会溢出的。但是有一个特例，当尾数做补码乘法的时候，如果乘数和被乘数尾数的值都是-1，则乘积的尾数的值是+1，此时需要做一次右规。,16,判断溢出ChecktheExponentOverfloworUnderflow,检查阶码是否溢出。若阶码正常，加减运算正常结束；若阶码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器零；若阶码上溢，则置溢出标志。,Floating-pointarithmeticisatitsbestwhenitissimplybeingusedtomeasurereal-worldquantitiesoverawiderangeofscales(suchastheorbitalperiodofIoorthemassoftheproton),andatitsworstwhenitisexpectedtomodeltheinteractionsofquantitiesexpressedasdecimalstringsthatareexpectedtobeexact.,Anexampleofthelattercaseisfinancialcalculations.Forthisreason,financialsoftwaretendsnottouseabinaryfloating-pointnumberrepresentation.,17,【例2】浮点数，阶码为4位移码（含1符号位），尾数为8位补码（含1符号位），阶码以2为底。,X0.11100112-101，Y=（0.1110010）2011，求X*Y=?,解：,MX补=,MY补=,阶码相加,EXEY移=,EX移=,0.1110011,=00011,0011,EY移=,1.0001110,=01011,1011,00110,=00011+00011=,EX移EY补,EX补=,EY补=,1011,0011,00011,+00011,00110,例2浮点数，阶码为4位移码（含1符号位），尾数为8位补码（含1符号位），阶码以2为底。,尾数相乘,规格化和舍入处理,判断溢出,MX补MY补=,已经是规格化数。,MX*Y补=1.0011010,移码表示的阶码为00，未溢出。,XY=,采用0舍1入法，将低n位舍去。,1.00110011001010,0.11100111.0001110=,EX*Y移=00110,X0.11100112-101，Y=（0.1110010）2011，求X*Y=?,MX补=0.1110011,MY补=1.0001110,EX*Y移=00110,2,（-0.1100110）,010,19,浮点除法运算Floating-PointDivision,除了除数不能为0外，浮点除法对除数和被除数的大小没有限制。,两浮点数相除，商的尾数部分是被除数的尾数除以除数的尾数所得的商，阶码部分是被除数的阶码减去除数的阶码所得的差。,XY=,浮点除法运算分以下五个步骤：,尾数调整,阶码求差,尾数相除,规格化,判断溢出,（MX2Ex）（MY2Ey）,（MXMY）2ExEy,20,尾数调整DividendAlignment,检查|MX|是否小于|MY|。,若|MX|MY|，则将MX右移一位并将阶码加1。,阶码求差SubtractExponent,被除数的阶码减去除数的阶码得到商的阶码（按定点整数补码或移码减法的规则）。,尾数相除DivideSignificands（Mantissa）,两数的尾数按定点小数（原码或补码）除法的规则相除。,21,判断溢出,检查阶码是否溢出。,规格化NormalizetheResult,由于除数和被除数都是规格化数并经过尾数的调整，所以，尾数相除的结果一般是规格化定点小数。,只有一个例外，当补码表示的商为-0.5时，必须做一次左规。,IntheIEEE754standard,zeroissigned,meaningthatthereexistbothapositivezero(+0)andanegativezero(-0).Inmostrun-timeenvironments,positivezeroisusuallyprintedas0,whilenegativezeromaybeprintedas-0.Thetwovaluesbehaveasequalinnumericalcomparisons,butsomeoperationsreturndifferentresultsfor+0and0.,例3设浮点数基数为2，阶码为4位补码，尾数为5位原码（均包含1个符号位）。X=+6.5，Y=2.25。,（1）写出X和Y的规格化浮点机器数。,（2）计算XY（尾数运算用补码加减交替除法）,解：,X=（+6.5）10=（+110.1）2=+0.11012+011,Y=（-2.25）10=（-10.01）2=-0.10012+010,EX补=0011EY补=0010MX原=0.1101MY原=1.1001,设浮点数格式为：,浮点机器数：,X浮点=000111101Y浮点=100101001,（1）写出X和Y的规格化浮点机器数。,（2）计算XY（尾数运算用补码加减交替除法）,MX补=,尾数调整,阶码求差,尾数相除,|MX|MY|,MX补=,-EY补=,EX补EY补=,MY补=1.0111,EX补=0011EY补=0010MX原=0.1101MY原=1.1001,0.1101,MY补=,1.0111,-MY补=,需进行尾数调整，,将MX右移1位，EX加1。,EX补=,=00100+11110=,EX补+-EY补,00010,0.01101=0.0111,0100,1110,00010,0.1001,0舍1入,被除数/余数00.0111,商0.0000,X，Y异号,R补与Y补同号，商上1,末位商置1,R补与Y补异号，商上0,R补与Y补同号，商上1,R补与Y补异号，商上0,1.0011,11.1011,左移,11.0010,1.001,11.1001,0.1001,左移,00.0010,0.100,00.0001,0.0100,加MY补11.0111,左移,00.1010,0.010,00.0101,0.0010,加-MY补00.1001,左移,11.1100,0.001,11.1110,0.0001,加MY补11.0111,MY补=1.0111,加MY补11.0111,加-MY补00.1001,25,规格化,判断溢出,MXY补=1.0011,MXY原=,阶码（补码）的符号