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文档简介

一阶微分方程,第二节,一、可分离变量方程二、齐次型微分方程三、可化为齐次型的微分方程四、一阶线性微分方程,第十二章,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(C为任意常数),例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,可得OMA=OAM=,例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕x轴旋转而成.,过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而AO,于是得微分方程:,利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得,(h,k为待,三、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出h,k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,例4.求解,解:,令,得,再令YXu,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通
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