复数知识点总结

1 / 76 复数知识点总结 复 数 1复数的概念： 虚数单位 i； 复数的代数形式 z=a+bi， (a, bR) ； 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2复数集 ?整 数 有 理 数 ? 实数 (b?0)?分 数 ? 复 数 a?bi(a,b?R)?无理数 (无限不循环小数 ) ? ?纯 虚 数 (a?0)?虚 数 (b?0)? 2 / 76 ? ?非 纯 虚 数 (a?0)? 3复数 a+bi(a, bR) 由两部分组成，实数 a与 b分别称为复数 a+bi的实部与虚部， 1与 i分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时， a+bi就是实数，当 b0 时， a+bi是虚数，其中a=0且 b0 时 称为纯虚数。 应特别注意， a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则 a+bi=0 是实数。 4复数的四则运算 若 两 个 复 数 z1=a1+b1i ， z2=a2+b2i ， 加 法 ：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； 减法： z1 z2=(a1 a2)+(b1b2)i； 乘法： z1 z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i； z1z2 3 / 76 ? (a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i a2?b2 2 2 除法：； 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 特殊复数的运算： i(n 为整数 )的周期性运算； (1i)2 =2i ； 1 n 3 4 / 76 若 = -2+2i，则 3=1 ， 1+2=0. 5共轭复数与 复数的模 若 z=a+bi，则 ?a?bi， z?为实数， z?为纯虚数 (b0). 复数 z=a+bi 的模 且 z?|z|=a2+b2. 2 6.根据两个复数相等的定义，设 a, b, c, dR ，两个复数a+bi和 c+di相等规定为 ?a?c ? a+bi=c+di?b?d 5 / 76 . 由这个定义得到 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 4复数 a+bi 的共轭复数是 a bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。 5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将 i2= 1 结合到实际运算过程中去。 ?a?0?b?0. a+bi=0 如 (a+bi)(a bi)= a+b 6 复 数 的 除 法 是 复 数 乘 法 的 逆 运 算 将 满 足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi除以复数 c+di的商。 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将6 / 76 分母实化得到，即 a?bic?di ? (a?bi)(c?di)(c?di)(c?di) ? ac?bd?(bc?ad)i c?d 2 2 22 . 7 / 76 7复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原点的距离。 典型例题讲解 1复数的概念 例 1实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m 1)i 是实数？虚数？纯虚数？对应的点 Z在第三象限？ 解：复数 z=m+1+(m 1)i中，因为 mR ，所以 m+1， m 1 都是实数，它们分别是 z的实部和虚部， m=1 时， z是实数； m1 时， z 是虚数； ?m?1?0? 当 ?m?1?0时，即 ?m?1?0? 当 ?m?1?0 m= 1时， z 是纯虚数； 时，即 m 例 2已知 (2x 1)+i=y (3 y)i，其中 x, yR ，求 x, y. 8 / 76 ?2x?1?y? 解：根据复数相等的意义，得方程 组 ?1?(3?y) 5 ，得 x=2, y=4. 2m?3m?2 2 例 4当 m 为何实数时，复数 z m?25+(m2+3m 10)i；是实数；是虚数；是纯虚数 解：此题主要考查复数的有关概念及方程的解法 z 为实数，则虚部 解得 m=2， m=2 时， z为实数。 z 为虚数，则虚部 ?m2?3m?10?0?2 9 / 76 m?25?0?m2+3m 10=0，即 2 ， ?m2?3m?10?0 ?2 m?25?0?m2+3m 100 ，即， 解得 m2 且 m5. 当 m2 且 m5 时， z 1 1 ?2m2?3m?2?0 ?2 10 / 76 ?m?3m?10?0?2 m?25?0?为虚数， 解得 m= 2, 当 m= 2 时， z为纯虚数 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求 例 5计算： i i2 i3+iXX. 解：此题主要考查in的周期性 i i2 i3+iXX=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ iXX iXX) iXX =(i 1 i+1)+ (i 1 i+1)+(i 1 i+1)+i 0 0 0+i i. 或者可利用等比数列的求和公式来求解 诠释：本题应抓住 in的周期及合理分组 (转载于 : 海 达 范 文网 : 复 数 知 识 点 总 结 ) 例 8使不等式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立的实数 m . 解：此题主要考查复数能比较大小的11 / 76 条件及方程组和不等 式的解法 m2 (m2 3m)i (m24m 3)i 10, 且虚数不能比较大小， 2 ?m?10|m|?10?2 ? ?m?3m?0?m?0 或 m?3?2 ?m?3或 m?1m?4m?3?0? ，解得 ?， m=3. 当 m 3时，原不等式成立 诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。 22 例 9已知 z=x yi(x， yR) ，且 ，求 z 解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法 12 / 76 2 x?y ?ilogx?8?(1?logy)i 2 x?y x?y ?2?8?0?x?y?3?log2x?1?log2y?ilog2x?8?(1?log2y)i?， ， ?xy?2 ， ?x?2?x?1 ?y?1?解得或 ?y?2 13 / 76 , z 2 i 或 z 1 2i 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程 例 10已知 x 为纯虚数， y 是实数，且 2x 1 i y (3y)i，求 x、 y的值 解：本题主要考查复数的有关概念，实数与 i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法 设 x ti (tR ，且 t0 ），则 2x 1 i y (3 y)i可化为 2ti 1 i y (3 y)i，即 (2t 1)i 1=y (3 y)i， ?2t?1?(3?y)5? ?1?y ? , y= 1, t= 2 5 , x= 2i. 14 / 76 2复数的四则 运算 例 1计算： (1?i) 2n (1?i) 2(n?1) ， nN+ ； 3 i2 )?( 6 15 / 76 1i2 若 = 2+2i， 3=1 ，计算 ) 6 ； S=1+2i+3i2+4i3+100i99. (1?i) 2n 16 / 76 解： (1?i) 2(n?1) (1?i)(1?i) 22 ?(1?i)?( n2 2i?2i ? )?(?2i)?(?1) 17 / 76 nn?1 ?2i = . ?1? 2)?i?(?) 6 6 6 2 6 18 / 76 ?2i?2i =? n?2k?1,k?Nn?2k,k?N ? i2 )? ( 6 i2 ) 6 19 / 76 = (?i? ?1? 2 )?(?i? 6 = 2. 由于 20 / 76 ?i ?i , |i?i?)|?|2 = =8. S=1+2i+3i2+4i3+100i99 =(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i 3 4i)+(5+6i 7 8i)+(97+98i 99 100i) =25( 2 2i)= 50 50i. 4 21 / 76 )|?22 例 2已知复数 z满足 |z 2|=2， z+zR ，求 z. 解：设 z=x+yi, x, yR ，则 4 4?x?yi? 4(x?yi)x?y4y 2 2 22 / 76 2 2 ?x? 4xx?y 2 2 ?(y? 4yx?y 2 2 )i 23 / 76 z+z=z+ 4 ， x?y=0， 又 |z 2|=2, (x 2)2+y2=4, z+zR ， 联立解得，当 y=0 时 , x=4 或 x=0 (舍去 x=0, 因此时 z=0)， ?x?1? ?y?时 , ? y? 当 y0 24 / 76 3, 综上所得 z1=4， z2=1+3i， z3=1 3i. 1 例 3设 z为虚数，求证： z+z为实数的充要条件是 |z|=1. 证明：设 z=a+bi (a, bR ， b0) ，于是 1 1 z+ z =(a+bi)+a?bi 1 25 / 76 ?a?bi? a?bia?b b 2 2 ?(a? aa?b 2 )?(b?2 ba?b 2 26 / 76 2 )i , 22 所以 b0, (z+z)R?b a?b=0?a2+b2=1?|z|=1. z?1 例 4复数 z满足 (z+1)(+1)=|2，且 z?1为纯虚数，求 z. 解：设 z=x+yi (x, yR) ，则 1 (z+1)(+1)=|2+z+1=|2， z+1=0 ， z+= 1， x= 2. z?1z?1 (z?1)(?1) 27 / 76 = (z?1)(?1) ? |z|?z?1 |z?1| 2 2 x?y?x?yi?x?yi?1 22 = 1 28 / 76 |z?1| 2 为纯虚数， 1 333 x2+y2 1=0, y=2, z= 2+2i或 z= 2 2i. 例 5复数 z满足 (1+2i)z+(3 10i)=4 34i，求 z. 解：设 z=x+yi (x, yR) ，则 (1+2i)(x+yi)+(3 10i)(xyi) =4 34i， 整理得 (4x 12y) (8x+2y)i=4 34i. ?4x?12y?4?x?4?8x?2y?34 ?, 解得 ?y?1, z=4+i. 29 / 76 1 例 6设 z 是虚数， =z+z 是实数，且 1 1?z 求 |z|的值及 z 的实部的取值范围；设 u=1?z，求证 u 为 纯虚数； 求 u2 的最小值。 解：设 z=a+bi (a, bR, b0) ，则 = (a? aa?b 2 )?(b?2 ba?b 2 30 / 76 2 )i ，由于 是实数且 b0 ， a2+b2=1 ， 1 即 |z|=1，由 =2a, 1 1?z 1?a?bi u=1?z=1?a?bi u 是纯虚数。 b 2 ? 31 / 76 1?a?b?2bi(1?a)?b 2 2 22 ? 2bia?1 1 ，由于 a( 2, 1), b0 ， ?2a?1? 2a?1 u2=2a+ = 32 / 76 (1?a) 2 ?2a? 1?a 22 (1?a) ?2a? a?1a?1 2(a?1)? 1a?1 ?3 33 / 76 , 1 由于 a( 2, 1)， a+10 ，则 u222 3=1， 1 当 a+1=a?1, 即 a=0 时，上式取等号，所以 u2的最小值为 1. i?例 7证明： i?z 1 解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等 设 z a bi， (a, bR) ，则 i?i?a?bi i?a?bi i? 34 / 76 z= ? a?(1?b)i?a?(1?b)i ? i?i?z ?1 . ? ?(i?z)i?z ?1 ?i?zi?z 35 / 76 解 2： i?i?z?i?z ， =. 诠释：此题抓住模的定义或共轭复数的性质来求解 例 8 (2002年高考 )已知复数 z 1 i，求实数 a， b 使 az+2b (a 2z)2 解：此题主要考查共轭复数，复数的四则运算，复数的相等 z 1 i， az+2b (a 2b)(a 2b)i， (a 2z)2 (a 2)2 4 4(a 2)i=(a2 4a) 4(a 2)i ?a?2?a?2b?a2?4a?a?4 或 ? b?1b?2a?2b?4(a?2)? ? ，解得 ?. 复 数 1复数的概念： 虚数单位 i； 复数的代数形式 z=a+bi， (a, bR) ； 复数的实部、 虚部、虚数与纯虚数。 2复数集 36 / 76 ?整 数 有 理 数 ? 实数 (b?0)?分 数 ? 复 数 a?bi(a,b?R)?小数 )?无理数 (无限不循环 ? ?虚 数 (b?0)?纯 虚 数 (a?0) ? ?非 纯 虚 数 (a?0) ? 3复数 a+bi(a, bR) 由两部分组成，实数 a与 b分别称为复数 a+bi的实部与虚部， 1与 i分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时， a+bi就是实数，当 b0 时， a+bi是虚数，其中a=0且 b0 时称为纯虚数。 37 / 76 应特别注意， a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则 a+bi=0 是实数。 4复数的四则运算 若 两 个 复 数 z1=a1+b1i ， z2=a2+b2i ， 加 法 ：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； 减法： z1 z2=(a1 a2)+(b1b2)i； 乘法： z1 z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i； z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b222 除法：； 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 特殊复数的运算： n i(n 为整数 )的周期性运算； (1i)2 =2i ； 1 38 / 76 若 = -2+2i，则 3=1 ， 1+2=0. 5共轭复数与复数的模 若 z=a+bi，则 ?a?bi， z?为实数， z?为纯虚数 (b0). 复数 z=a+bi 的模 且 z?|z|=a2+b2. 6.根据两个复数相等的定义，设 a, b, c, dR ，两个复数a+bi和 c+di相等规定为 ?a?c?a?0? b?d?b?0. ?a+bi=c+di. 由这个定义得到 a+bi=0 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 4复数 a+bi 的共轭复数是 a bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数39 / 76 a 共轭，表示点落在实轴上。 5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将 i2= 2 1 结合到实际运算过程中去。 如 (a+bi)(a bi)= a2+b2 6 复 数 的 除 法 是 复 数 乘 法 的 逆 运 算 将 满 足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi除以复数 c+di的商。 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即 a?bi(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i ?c?di(c?di)(c?di)c2?d2 . 7复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi的点到原点的距离。 典型例题讲解 1复数的概念 例 1实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m 1)i 是实数？40 / 76 虚数？纯虚数？对应的点 Z在第三象限？ 解：复数 z=m+1+(m 1)i中，因为 mR ，所以 m+1， m 1 都是实数，它们分别是 z的实部和虚部， m=1 时， z是实数； m1 时， z 是虚数； ?m?1?0? 当 ?m?1?0时，即 m= 1时， z 是纯虚数； ?m?1?0? 当 ?m?1?0 时，即 m 例 2已知 (2x 1)+i=y (3 y)i，其中 x, yR ，求 x, y. ?2x?1?y5? 解：根据复数相等的意义，得方程组 ?1?(3?y)，得 x=2, y=4. 2m2?3m?2 41 / 76 2 例 4当 m 为何实数时，复数 z m?25+(m2+3m 10)i；是实数；是虚数； 是纯虚数 解：此题主要考查复数的有关概念及方程的解法 ?m2?3m?10?0? m2?25?0? z 为实数，则虚部 m2+3m 10=0，即， 解得 m=2， m=2 时， z为实数。 ?m2?3m?10?0? m2?25?0?z 为虚数，则虚部 m2+3m 100 ，即， ?2m2?3m?2?0?2 ?m?3m?10?0?2 42 / 76 m?25?0， ?解得 m2 且 m5. 当 m2 且 m5 时， z为虚数 11 解得 m= 2, 当 m= 2 时， z为纯虚数 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求 例 5计算： i i2 i3+iXX. 解：此题主要考查in的周期性 i i2 i3+iXX=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ iXX iXX) iXX =(i 1 i+1)+ (i 1 i+1)+(i 1 i+1)+i 0 0 0+i i. 或者可利用等比数列的求和公式来求解 诠释：本题应抓住 in的周期及合理分组 43 / 76 例 8使不等式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立的实数 m . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2 (m2 3m)i (m24m 3)i 10, 且 虚 数 不 能 比 较 大小， ?m2?10?|m|?10?2?m?3m?0?m?0 或 m?3?2?m?3 或m?1m?4m?3?0? ，解得 ?， m=3. 当 m 3时，原不等式成立 诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。 2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i 例 9已知 z=x yi(x， yR) ，且 ，求 z 解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法 ?2x?y?8?0?x?y?3?logx?1?logy2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i2 ， ?2 ， ?xy?2 ， ?x?2?x?1 44 / 76 ?y?1 解得 ?或 ?y?2, z 2 i 或 z 1 2i 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程 例 10已知 x 为纯虚数， y 是实数，且 2x 1 i y (3y)i，求 x、 y的值 解：本题主要考查复数的有关概念，实数与 i的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法 设 x ti (tR ，且 t0 ），则 2x 1 i y (3 y)i可化为 2ti 1 i y (3 y)i，即 (2t 1)i 1=y (3 y)i， ?2t?1?(3?y)55? ?1?y ?, y= 1, t= 2, x= 2i. 2复数的四则运算 例 1计算： (1?i)2n 2(n?1) 45 / 76 (1?i)， nN+ ； i6i61 )?()22若 = 2+2i， 3=1 ，计算； S=1+2i+3i2+4i3+100i99. (1?i)2n(1?i)2n2in2n?1 ?(1?i)?()?(?2i)?(?1)?2i2(n?1)2 ?2i解： (1?i)=(1?i) 46 / 76 ?2in?2k?1,k?N?2in?2k,k?N? =. = 2. ?i?i 由于 , 66666 ? 47 / 76 (?i?(?i?i?6?(?2)6= =8. S=1+2i+3i2+4i3+100i99 =(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i 3 4i)+(5+6i 7 8i)+(97+98i 99 100i) =25( 2 2i)= 50 50i. 4 例 2已知复数 z满足 |z 2|=2， z+zR ，求 z. 解：设 z=x+yi, x, yR ，则 44(x?yi)4x4y4?x?yi?2?x?(y?)i22222 x?yx?yx?y， z+z=z+4y4y?2 2 x?yz z+R ， =0 ， 又 |z 2|=2, (x 2)2+y2=4, 48 / 76 联立解得，当 y=0 时 , x=4 或 x=0 (舍去 x=0, 因此时 z=0)， ?x?1? ?y?3, 当 y0 时 , ? 综上所得 z1=4， z2=1+3i， z3=1 3i. 222 |i?i?)|?|)|?= 1 例 3设 z 为虚数，求证： z+z为实数的充要条件是 |z|=1. 证明：设 z=a+bi (a, bR ， b0) ，于是 11a?biab 49 / 76 ?a?bi?2?(a?)?(b?)i22222 a?ba?ba?b, z+z=(a+bi)+a?bi 1b 22 所以 b0, (z+z)R?b a?b=0?a2+b2=1?|z|=1. z?1 例 4复数 z满足 (z+1)(+1)=|2，且 z?1为纯虚数，求 z. 解：设 z=x+yi (x, yR) ，则 1 (z+1)(+1)=|2+z+1=|2， z+1=0 ， z+= 1， x= 2. 222 50 / 76 z?1(z?1)(?1)?|z|?z?1x?y?x?yi?x?yi?1 2 |z?1|2|z?1|z?1=(z?1)(?1)=为纯虚数， 11 x2+y2 1=0, y=2, z= 2+2i或 z= 2 2i. 例 5复数 z满足 (1+2i)z+(3 10i)=4 34i，求 z. 解：设 z=x+yi (x, yR) ，则 (1+2i)(x+yi)+(3 10i)(xyi) =4 34i， 整理得 (4x 12y) (8x+2y)i=4 34i. ?4x?12y?4?x?4?8x?2y?34 ?, 解得 ?y?1, z=4+i. 1 例 6设 z 是虚数， =z+z 是实数，且 1 1?z 51 / 76 求 |z|的值及 z 的实部的取值 范围；设 u=1?z，求证 u 为 纯虚数； 求 u2的最小值。 解：设 z=a+bi (a, bR, b0) ，则 ab(a?2)?(b?)i222 a?ba?b= ，由于 是实数且 b0 ， a2+b2=1 ， 1 即 |z|=1，由 =2a, 1 22 1?z1?a?bi?1?a?b?2bi?2bi1 (1?a)2?b2a?1，由于 a( 2, 1), b0 ， u=1?z=1?a?bi u 是纯虚数。 b21?a2a?12?2a?2a?2a?1?22 52 / 76 (1?a)(1?a)a?1a?1 u2=2a+ 1 2(a?1)?3 a?1 =, 1 由于 a( 2, 1)， a+10 ，则 u222 3=1， 1 当 a+1=a?1, 即 a=0 时，上式取等号，所以 u2的最小值为 1. i?例 7证明： i?z 1 解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等 设 z a bi， (a, bR) ，则 53 / 76 i?a?bia?(1?b)ii?1i?a?bi?a?(1?b)i i? z=. ?(i?z)i?i?z?1 i?z 解 2： i?z?i?z ， i?z=i?z. 复 数 1复数的概念： 虚数单位 i； 复数的代数形式 z=a+bi， (a, bR) ； 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2复数集 ?整 数有 理 数 ?实数 (b?0)?分 数 ?复 数54 / 76 a?bi(a,b?R)?小数 )?无理数 (无限不循环 ?纯 虚 数 (a?0)?虚 数 (b?0)? 虚 数 (a?0)?非 纯 ? 3复数 a+bi(a, bR) 由两部分组成，实数 a与 b分别称为复数 a+bi的实部与虚部， 1与 i分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时， a+bi就是实数，当 b0 时， a+bi是虚数，其中a=0且 b0 时称为纯虚数。 应特别注意， a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则 a+bi=0 是实数。 4复数的四则运算 若两个复数 z1=a1+b1i， z2=a2+b2i， 加法： z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； 减法： z1 z2=(a1 a2)+(b1 b2)i； 乘法： z1z2=( a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i； 55 / 76 z1(a1a2?b1b2)?(a2b1?a1b2)i?22za?b22 除法： 2； 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 特殊复数的运算： ni (n 为整数 )的周期性运算； (1i)2 =2i ； 13 若 = -2+2i，则 3=1 ， 1+2=0. 5共轭复数与复数的模 若 z=a+bi，则 ?a?bi， z?为实数， z?为纯虚数 (b0). 2z?|z|复数 z=a+bi 的模 且 =a2+b2. 6.根据两个复数相等的定义，设 a, b, c, dR ，两个复数56 / 76 a+bi和 c+di相等规定为 ?a?c?a?0?b?d?b?0. ?a+bi=c+di. 由这个定义得到 a+bi=0 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 4复数 a+bi 的共轭复数是 a bi，若 两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0，则实数 a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。 6 复 数 的 除 法 是 复 数 乘 法 的 逆 运 算 将 满 足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi除以复数 c+di的商。 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除 法可以通过将分 母 实 化 得 到 ， 即a?bi(a?bi)(c?di)ac?bd?(bc?ad)i?c?di(c?di)(c?di)c2?d2. 7复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数 a+bi 的点到原57 / 76 点的距离。 典型例题讲解 1复数的概念 例 1实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m 1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 对应的点 Z在第三象限？ 例 2已知 (2x 1)+i=y (3 y)i，其中 x, yR ，求 x, y. 2m2?3m?2 2 例 4当 m 为何实数时，复数 z m?25+(m2+3m 10)i；是实数；是虚数； 是纯虚数 例 5计算： i i2 i3+iXX. 58 / 76 例 8使 不等式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立的实数 m . x?y2?ilog2x?8?(1?log2y)i，求 z 例 9已知 z=x yi(x，yR) ，且 例 10已知 x 为纯虚数， y 是实数，且 2x 1 i y (3y)i，求 x、 y的值 2复数的四则运算 例 1计算： (1?i)2n 2(n?1)(1?i)， nN+ ； 1366?2 若 = +2i， 3=1 59 / 76 ，计算； S=1+2i+3i2+4i3+100i99. 4 例 2已知复数 z 满足 |z 2|=2， z+zR ，求 z. z?1 例 4复数 z满足 (z+1)(+1)=|2，且 z?1 为纯虚数，求 z. 例 5复数 z满足 (1+2i)z+(3 10i)=4 34i，求 z. 1 例 6设 z 是虚数， =z+z 是实数，且 1 1?z 求 |z|的值及 z 的实部的取值范围；设 u=1?z，求证 u 为 纯虚数； 60 / 76 求 u2的最小值。 7.已知关于 x 的方程 x2?2i?1?x?3m?i?0 有实根，求实数 m的取值。 1 z?3?aiaA D 3 A8如果复数 z=(a 3a+2)+(a 1)i 为纯虚数 ,则实数 a 的值 ( ). A.等于 1 等于 2 D.不存在 13其中 x,y?R, 14 . 15设复数 z 满足 i(z 1) 3 2i(i 为虚数单位 )，则 z等于 _ _ 16若复数 z 满足 z i(2 z)(i 是虚数单位 )，则 z61 / 76 _. 17已知 m?R，复数 z?(2?i)m2?3(1?i)m?2(1?i)， 写出复数 z的代数形式； 当 m 为何值时， z=0？当 m 为何值时， z是纯虚数？ 复数 一、复数的概念 1. 虚数单位 i 它的平方等于 ?1，即 i?1； 实数可以与它 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律 i 的乘方： i4n?1,i4n?1?i,i4n?2?1,i4n?3?i,n?N*，它们不超出 bi的形式 2 62 / 76 2. 复数的定义 形如 a?bi(a,b?R)的数叫做复数， a,b分别叫做复数的实部与虚部 3. 复数相等 a?bi?c?di，即 a?c,b?d，那么这两个复数相等 4. 共轭复数 i 时， z?a?bi z?a?b 性质： z?z； z1?z2?z1?z2； z1?z2?z1?z1； (z1 z2)?z1z2(z2?0); 二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里，点 z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z?a?bi可用点 Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴为实轴， y 轴出去原点的部分称为虚轴 63 / 76 2. 复数的坐标表示 点 Z(a,b) ?3. 复数的向量表示 向量 OZ 4. 复数的模 ?在复平面内，复数 z?a?bi对应点 Z(a,b)，点 Z到原点的距离 OZ叫做复数 z的模，记 作 z 由定义知， z? 三、复数的运算 1. 加法 (a?bi)?(c?di?)a(?c?)b(? d ?几何意义： 设 z1?a?bi 对应向量OZ1?(a,b)， z2?c?di 对应向量 OZ2?(c,d)，则 ?因此复数的和可以在复平面上用平行四64 / 76 边 z1?z2 对应的向量为 OZ1?OZ2?(a?c,b?d) 形法则解释 2. 减法 (a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i ?几何意义： 设 z1?a?bi 对应向量OZ1?(a,b)， z2?c?di 对应向量 OZ2?(c,d)，则 ?z1?z2 对 应 的 向 量 为OZ1?OZ2?Z2Z1?(a?c,b?d) z1?z2?(a?c)?(b?d)i?Z1、 Z2两点之间的距离，也 ?等于向量 Z1Z2的模 3. 乘法 ?a?bi?c?di?a?c?b?d?i. 4. 乘方 zm?zn?z?m n (zm)n?zmn (z1?z2)n?zn 1?zn 2 5. 除法 ?a?bi?c?di? 65 / 76 6. 复数运算的常用结论 (a?bi)?a?b?2abi， (a?bi)(a?bi)?a?b (1?i)?2i， (1?i)?2i 2222222a?bi?a?bi?c?di?ac?bd?bc?ad?i?. 22c?dic?dic?dic?d1?i1?i?i， ?i 1?i1?i z1?z2?z1?z2， z1?z2?z1?z2， ? z?z?z， z?z z1?z2?z1?z2?z1?z2 2?z1?z1?， z?z ?z2?z2 z1?z2?z1?z2， z1?z2?z1?z2， z?z nn 四、复数的平方根与立方根 1. 平方根 若 (a?bi)2?c?di，则 a?bi 是 c?di 的一个平方根， ?(a?bi)也是 c?di的平方根 66 / 76 2. 立方根 如果复数 z1、 z2 满足 z13?z2，则称 z1 是z2的立方根 1 的立方根： 1,?,2 ? 1 21， ?2?， ?3?1 1?2?0 211?z? 22 ?1的立方根： ?1,z? 67 / 76 五、复数方程 1. 常见图形的复数方程 圆： z?z0?r，表示以 z0对应的点 Z0为圆心， r为半径的圆 线段 Z1Z2的中垂线： z?z1?z?z2 椭圆： z?z1?z?z2?2a，表示以 z1,z2 对应的点 F1、 F2为焦点，长轴长为 2a的椭圆 双曲线： z?z1?z?z2?2a，表示以 z1,z2对应的点 F1、 F2为焦点，实轴长为 2a的双曲线 2. 实系数方程在复数范围内求根 ?b?0 一对实根 x1,2?2a?b 求根公式： ?0 一对相等的实根 x1,2? 2a?0 一对共轭虚根 x1,2? b?x?x?12a 韦达定理： ? 68 / 76 ?xx?c 12?a? 专题二 复数 一基本知识 【 1】复数的基本概念 形如 a + bi 的数叫做复数；复数的单位为 i，它的平方等于 1，即 i2?1.其中 a叫做复数的实部， b 叫做虚部 实数：当 b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当 b?0 时的复数 a + bi为虚数； 纯虚数 ：当 a = 0 且 b?0时的复数 a + bi为纯虚数 两个复数相等的定义： a?bi?c?di?a?c 且 b?d特别地 a?bi?0?a?b?0 共轭复数： z?a?bi 的共轭记作 ?a?bi； 69 / 76 复平面：