复变函数总结

1 / 61 复变函数总结 第一章 复数 1 i2=-1 i?1 欧拉公式 z=x+iy 实部 Re z 虚部 Im z 2 运算 z1?z2?Rez1?Rez2 Imz1?Imz2 ?z1?z2?Re?z1?z2?Im?z1?z2?Rez1?Rez2?Imz1?Imz2? z1?z2 ?x1?iy1?x2?iy2?x1x2?ix1y2?ix2y1?y1y2?x1x2?y1y2?i?x1y2?x2y1? 2 / 61 z1z1z2?x1?iy1?x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?x1y2 ?i2222 z2z2z2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2 z?x?iy 共轭复数 z?z?x?iy?x?iy?x2?y2 共轭技巧 运算律 P1页 3 代数，几何表示 z?x?iy z 与平面点 ?x,y?一一对应，与向量一一对应 辐角 当 z0 时，向量 z 和 x 轴正向之间的夹角 ，记作=Arg z=?0?2k? k=123 把位于 - ?0 的 ?0叫做 Arg z辐角主值 记作 ?0=argz0 3 / 61 4 如何寻找 arg z 例： z=1-i ? z=i ? 4 ? 2? z=1+i 4 z=-1 4 / 61 5 极坐标： x?rcos? ， y?rsin? z?x?iy?r?cos?isin? i? 利用欧拉公式 e? cos?isin? 可得到 z?re i? z1?z2?r1ei?1?r2ei?2?r1r2ei?1?ei?2?r1r2ei?1?2? 6 高次幂及 n次方 zn?z?z?z?z?rnein?rn?cosn?isinn? 凡是满足方程 ?z 的 值称为 z的 n 次方根，记作 n 5 / 61 ?nz z?rei?2k?n 即 r? n ?2k?n? ? ?r ?2k? n 1n 第二章解析函数 1 极限 2 函数极限 复变函数 6 / 61 对于任一 Z?D 都有 W? 与其对应 ?f?z? 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 f?z?z limf?z? z?z0 称 f?z?当 z?z0时以 A为极限 z?z0 当 ?f?z0?时，连续 例 1 证明 f?z?在每一点都连续 证： f?z?f?z0?z?z0?z?z0?0 z?z0 所以 f?z?在每一点都连续 3 导数 f?z0?lim z?z0 f?z?f?z0?df?z? ? 7 / 61 z?z0zz?z0 例 2 f?z?C 时有 ?C?0 证：对 ?z有 lim ?z?0 f?z?z?f?z?C?C ?lim?0 所以 ?C?0 ?z?0?z?z 例 3 证明 f?z?不可导 解：令 ?z?z0 f?z?f?z0?z?z0z?z0x?iy ? z?z0z?z0z?z0?x?iy 8 / 61 当 ?0时，不存在，所以不可导。 定理： f?z?u?x,y?iv?x,y?在 z?x?iy处可导 ?u， v 在 ?x,y?处可微，且满足 C-R 条件 ?u?v?u?v?u?v ?i ? 且 f?z? ?x?x?x?y?y?x 例 4 证明 f?z?不可导 解： f?z?x?iy 其中 u?x,y?x v?x,y?y u,v 关于 x,y可微 ?u?v ?1?1 不满足 C-R 条件 所以在每一点都不可导 ?x?y 9 / 61 例 5 f?z?Rez 解： f?z?Rez?x u?x,y?x v?x,y?0 ?u?v?1?0 不满足 C-R 条件 所以在每一点都不可导 ?x?y 例 6： f?z?z 2 解： f?z?z 2 ?x2?y2 其中 u?x,y?x2?y2 v?x,y?0 根据 C-R条件可得 2x?0,2y?0?x?0,y?0 所以该函数在 z?0处可导 4 解析 10 / 61 若 f?z?在 z0 的一个邻域内都可导，此时称 f?z?在 z0 处解析。 用 C-R 条件必须明确 u,v 四则运算 ?f?g?f?g? ?f?g?z?f?g?g?z? ?kf ? ?kf? ?zn?nzn?1 ? z ?f?g?f?g?f?g? e ?e z 11 / 61 ? ?f?f?g?f?g? ? ?2?g?g? 例：证明 f?z?ez e ?e z z 解： f?z?ez?excosy?iexsiny 则 u?x,y?excosy v?x,y?exsiny ?u?v ?excosy?excosy ?x?y ?u?v 12 / 61 ?exsiny?exsiny 任一点 z?x?iy 处满足 C-R条件 ?y?x z 所以 e处处解析 f?z? ?u?v?i?excosy?iexsiny?ez ?x?x 练习：求下列函数的导数 f?z?z?z 2 2232233223 解 : f?z?z?z?x?y?x?iy?x?ixy?xy?iy?x?xy?ixy?y 2 13 / 61 ? u?x,y?x3?xy2 v?x,y?x2y?y3 所以 ?u ?2xy ?y ?u?v?3x2?y2 ?x2?3y2 ?x?y C-R 方程可得 ? ?v ?2xy 根据 ?x ?u?v?3x2?y2?x2?3y2 ?x?y 14 / 61 ?u?v ?2xy?2xy ?x?0,y?0 ?y?x 所以当 z?0时 f?z?存在导数且导数为 0，其它点不存在导数。 初等函数 常数 指数函数 ez?ex?cosy?isiny? 定义域 e1?e z z2 ? ?ez1?z2 ez?2?i?ez?cos2?isin2?ez?ez?ez 15 / 61 对数函数 称满足 z?e?的 ?叫做 z 的对数 函数，记作 ?lnz 分类：类比 z的求法 目标：寻找 ?arg?幅角主值 ?i? 可用： z?e z?re ?u?iv i?u?iv ?eu?eiv?rei? ?r?eu,ei?eiv 过程： z?re?e?e ?u?lnr,v?2k? k?0,?1,?2? 所 以 ?u?iv?lnr?i?2k?lnr?i?rgz?lnz?i?argz?2k? k?0,?1,?2? 16 / 61 例：求 Ln?1? Ln?1?i? Ln?i? 的值 arg?1? Ln?1?ln?i?arg?1?2k?i?2k?1? k?0,?1,?2? arg?1?i? ? 4 Ln?1?i?ln?i?i?arg?1?i?2k?arg?i? 1? ln2?i?2k? k?0,?1,?2? 2?4? ? 2 17 / 61 ? Ln?i?lni?i?argi?2k?1?i?2k? k?0,?1,?2? ?2? 幂函数 对于任意复数 ?，当 z?0时 ?z?e?Lnz 例 1：求 i 解 1?i 的值 ： i1?i?elni 18 / 61 1?i ?e?1?i?L?e ?lni?i?1?i?n?i?i ?e ? ?1?i?i?2k?Ar ?2 ? ?e ? ?i?1?2k? 19 / 61 ?2 ? k?0,?1,?2? 例 2：求 ?1?i? 3?i ?eln?1?i? 3?i ?e?3?i?ln?1?i?e 1?3?i?ln2?i?2k? ? ? 20 / 61 ?2 ?4 ? 三角函数 复变小结 1.幅角 y?,x?0?x?,x?0,y?0argz?2?y ?,x?0,y?0?x?,x?0,y?0? y?argtg?.2x2 - Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2 其中 ? 2. 求根： 由 z=e=r(cos?+isin?)得 r(cosn?+isinn?) 21 / 61 当 r=1时， (cos?isin?)=(cosn?isinn?) =ni?zenin?n 当 wn?z 求方根公式 (牢记 !): i ?2k? w= ? n ?cos?2 k?isin?2k? 其中 k?0,1,2,?,n?1。 ?icos)10 22 / 61 55 ?argz (sin 例： ?可直接利用式求解 可令 z=1+i,利用式求解 3.复函数： a. 一般情况下： w=f(z),直接将 z=x+iy 代换求解 但遇到特殊情况时：如课本 P12 例可考虑： z=ei?=r(cos?+isin?)代换。 b.对于 P12例题可理解为高中所学的平面上三点共线所满足的公式 : (向量 ) OC=tOA+OB=OB+tBA c.对于 P15例题中可直接转换成 X和 Y的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数 f(z)在区域 D 内是否连续可借助课本 P17 定义 23 / 61 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导 ，可导不一定解析。 b.柯西 黎曼条件，自己牢记 : c.指数函数 :复数转换成三角的定义。 d.只需记住： Lnz=lnz+i(argz+2k?) e.幂函数：底数为 e 时直接运算 当底数不为 e时， w= za= eaLnz(幂指数为 Ln而非 ln) i?ee?ii,?,e 能够区分： , i 的计算。 f.三角函数和双曲函数： eiz?e?izeiz?e?iz cos只需记住： z ? , sin z ? . 22i 24 / 61 其他可自己试着去推导一下。 ?e?y?eycosiy?chy?2? (2 .15 ) 及 e? y ? e ysiniy?ishy?2i? 反三角中前三个最 好自己记住，特别 Arctgz?iLn1?iz 21?iz因为下一章求积分会用到 5.复变函数的积分 (arctanz),?1z2?1(如第三章的习题 9) a.注：只有当函数 解析即满足柯西 -黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。 例如 : ?zdz与路径无关。而 ?zdz与路径有关。 cc b.柯西 -古萨基本定理：当函数 f(z)在以简单闭 曲线 C 为边界的有界区域 D内解析且在闭区域上连续时： 重要公式 ?f(z)dz?0C ?2i,n?0,dz n?1? ? (z?z0)?0,n?0.|z?z0|?r 25 / 61 c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分： 1 f ( z ) dz.() 2 i z ? z f(z0)? 0C0! f( f ( n )( z ) ? nz) d z () d.调和函数： 22 ? ? ?n?1?2i?(z?z)0Cn?1,2,? 。 x ? y ? 一般与柯西 -黎曼公式一起用 :熟知课本 P52中的例中三种解法即可。 6.级数 ?(x,y)2?2?0 a.熟知课本 P59定理及其推导性质。 b.阿贝尔定理 :判断收敛和发散区间。 26 / 61 c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。 d. 泰勒级数： n ? 0 f(z)?cn(z?z0)n? 1(n) 成立 , 其中 c n ? f ( z 0 ), n ? 0 , 1 ,2 ,?. n!五个重要初等函数展开式： 2z n e z ? 1 ? z ? z ? ? ? ?.()2!n! 2n?1z3z5znsinz?z?(?1)? 3! 5! (2n?1)!? ( 4 . 10 ) z2z4z2n n? ( cos z ? 1 ? 2!? 4! ? ? ? 1 ) (2n)!? ? ( 4 . 11 ) 其余可由式： 27 / 61 1?1?z?z2?(?1)nzn?,|z|?1. 1?z 直接推导。 e.洛朗展开式 :与泰勒展开式的主要区别在于其包含 Z 的负次数方幂。泰勒展开式是洛朗 展开式的特殊形式。 f.零点，奇点，极点 零点 :即使得函数 f(z)=0的点。 奇点：即使得函数 f(z)无意义的点。 奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。 可去奇点：即洛朗展开式中不存在 Z 的负次数方幂。 本性奇点：即展开式中存在 Z的负无穷次方幂。 一般奇点：即展开式中存在 Z的有限次负次数方幂。 极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。 极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。 28 / 61 P84定理： 极点和零点的关系。 7.留数 a.留数定理： Resf(z),z0?1 2?i?f(z)dz C() 利用课本 P93-94 三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数 f ( z),b. z ) d z ? 2 i ? Res z k . (5 . 7 ) f ( Ck?1n 有些情况下利用留数和定理： 29 / 61 Resf(z),?Resf(z),zkk?1n ?1 2iC?f(z)dz?12iCf(z)dz?0. 更便于求解 ?1?1? 特殊转换：Resf(z),?Res?f?z?z2,0? c.用留数计算实积分： 2 ?0R(cos?,sin?)d? 学习 复变函数心得 在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心 得感受。所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。 我认为，在接触一门新的课程 时，不妨先了解其发展历史，30 / 61 这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。 复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。其中， Riemann,Welerstrass 及 Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。 知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。 复变函数这门课程是将数从实数域拓展到复数域，在一开始书中介绍了什么是复数及其一些简单的四则运算，而这些在中学时就已经有过接触了，所以，在一开始还是挺容易上手的。而接下来，讲的就是复平面及复数的模跟辐角，还有就是复变函数的概念及其极限与连续。需要说一下的是，复变31 / 61 函数的概念跟实变函数概念的不同，实变函数是单值函数，而复变函数可以是单值函数也可以是多值函数，这对以后的深入学习还算比较重要的。 在学习 接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西 黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了， 应该就没有大问题了。 而接下来的第三、第四章中，我觉得，第三章最主要的就是掌握柯西积分定理及其柯西积分公式，其中，柯西积分定理及其推理等能使我们免去繁琐的计算过程，直接就知道答案。而柯西积分公式也是经常会用到的， 所以也是比较重要的。至于第四章的解析函数的幂级数表示法，首先，就是要32 / 61 了解复级数的一些基本性质，学会求幂级数的收敛性及其收敛半径。还有，就是要了解一些初等函数的泰勒展式并利用它来求其他一些函数的泰勒展式。 在学习了复变函数的这些知识后，使我的知识范围得到了拓展 ，学到了很多，我觉得，复变函数这门课程真的是很不错。 对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。 复变函数的记号是 w f。 从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。 在直角坐标系复平面上，自变量记作 z x iy，函数值记作w u iv。那么复变函数 w f 就等价于两个二元函数u=u,v=v，即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。 在物理学或力学中，可以用复变函数来建立 “ 平面场 ” 的数学模型，例如在流体力学中 ，平面流速场的速度分布可用33 / 61 复函数 V V Vx i Vy 来表示，其中， Vx 和 Vy 是坐标轴方向的速度分量， V 则称为复速度。 在静电学中，平面静电场也可以用复函数 E Ex i Ey来表示， Ex和 Ey是坐标轴方向的场强分量， E 称为复场强。 对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业， “ 复变函数与数学物理方法 ” 课程都是很基础的一门课程。 复变函数泛谈 首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。 复数的出现，使 得基本运算中的开方运算不再存在无解情况， n 此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。 复数的集合 复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。 34 / 61 而就在最近 我弄清了两个概念：数学与科学。结论为：数学不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。哪怕是假命题如地心说，也是科学。而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。 这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。 曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。就好比将著名的佯谬 薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上 ，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。当然，这种35 / 61 简单的推理本身便不甚科学。但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。 ? ? 学习复变函数心得 ? ?在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心 得感受。所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。 ? 我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。 ? 复变函数，又称为36 / 61 复分析，是分析学的一个分支。它产生于十八 世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。其中， Riemann,Welerstrass 及 Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。 ? 知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。 ? 复变函数这门课程是将数从实数域拓展到复数域，在一开始书中介绍了什么是复数及其一些简单的四则运算，而这些在中学时就已经有过接触了，所以，在一开始还是挺容易上手的。而接下来，讲的就是复平面及复数的模跟辐角，还有就是复变函数的概念及其极限与连续。需要说一下的是，复变函数的概念 跟实变函数概念的不同，实变函数是单值函数，而复变函数可以是单值函数也可以是多值函数，这对以后的深入学习还算比较重要的。 ? 37 / 61 在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西 黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也 挺有意思的。在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了， ? ? 应该就没有大问题了。 ? 而接下来的第三、第四章中，我觉得，第三章最主要的就是掌握柯西积分定理及其柯西积分公式，其中，柯西积分定理及其推理等能使我们免去繁琐的计算过程，直接就知道答案。而柯西积分公式也是经常会用到的，所以也是比较重要38 / 61 的。至于第四章的 解析函数的幂级数表示法，首先，就是要了解复级数的一些基本性质，学会求幂级数的收敛性及其收敛半径。还有，就是要了解一些初等函数的泰勒展式并利用它来求其他一些函数的泰勒展式。 ? 在学习了复变函数的这些知识后，使我的知识范围得到了拓展 ，学到了很多，我觉得，复变函数这门课程真的是很不错。 对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。 复变函数的记号是 w f。 从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。 在直角坐标系复平面上，自变量记作 z x iy，函数值记作w u iv。那么复变函数 w f 就等价于两个二元函数u=u,v=v，即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。 39 / 61 在物理学或力学中，可以用复 变函数来建立 “ 平面场 ” 的数学模型，例如在流体力学中 ，平面流速场的速度分布可用复函数 V V Vx i Vy 来表示，其中， Vx 和 Vy 是坐标轴方向的速度分量， V 则称为复速度。 在静电学中，平面静电场也可以用复函数 E Ex i Ey来表示， Ex和 Ey是坐标轴方向的场强分量， E 称为复场强。 对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业， “ 复变函数与数学物理方法 ” 课程都是很基础的一门课程。 复变函数泛谈 首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。 复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无 解情况， n 此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。 复数的集合 复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世40 / 61 界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。 而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。结 论为：数学不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。哪怕是假命题如地心说，也是科学。而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。 这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。 曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。就好比将著名的佯谬 薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数41 / 61 反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数 的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。当然，这种简单的推理本身便不甚科学。但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。 第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数构成复数 z?x?iy, 其中x?Re?z?,y?Im?z?.i2?1， X 称为复数的实部， y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z? 2）幅角：在 z?0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为是位于(?,?中的幅角。 arg?z?Arg?z?；主值 42 / 61 3） arg?z?与 arctan y x 之间的关系如下： y x； 当 x?0, argz?arctan ? y?0,argz?arctan?x?0,? ?y?0,argz?arctan? 当 y 43 / 61 ?xy?x 4）三角表示： z?z?cos?isin?，其中 ?argz；注：中间一定是 “+” 5 ）指数表示： 2.复数的四则运算 1 ） . 加 减 法 ： 若 z1?x1?iy1,z2?x2?iy2 ，则z1?z2?x1?x2?i?y1?y2? 2） .乘除法： 3）若 z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则 z1z2?x1x2?y1y2?i?x2y1?x1y2? z?zei? ，其中 ?argz ； 。 44 / 61 z1x1?iy1?x1?iy1?x2?iy2?x1x2?y1y2y1x2?y2x1 ?i2222z2x2?iy2x2?iy2x2?iy2x2?y2x2?y2 4）若 z1?z1ei?1,z2?z2ei?2 , 则 z1z2?z1z2ei?1?2? ； z1i?1?2?z1?ez2z2 5.无穷远点得扩充 与扩充复平面 复平面对内任一点 z, 用直线将 z 与 N 相连 , 与球面相交于P 点 , 则球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 , 45 / 61 而 N点本身可代表无穷远点 , 记作 ?.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面 . 扩充复平面 -引进一个 “ 理想点 ”: 无穷远点 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 设 G 是一个复数 z?x?iy 的集合 . 如果有一个确定的法则存在 , 按这个法则 , 对于集合 G 中的每一个复数 z, 就有一个或几个复数 w?u?iv 与 之对应 , 那末称复变数 w 是复变数 z 的函数 (简称复变函数 ), 记作 w?f(z). 1）复变函数的反演变换 2）复变函数性质 46 / 61 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 设函数 w?f(z) 定义在 z0 的去心邻域 连续性 0?z?z0? 内 , 如果有一确定的数 A 存在 , 对于任意给定的 ?0, 相 应 地 必 有 一 正 数 ?(?) 使 得 当 0?z?z0?(0?)时 ,有 f(z)?A? 那末称 A 为 f(z) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 如果 limf(z)?f(z0), 那末我们就说 f(z) z?z0 在 z0 处连续 . 如果 f(z) 在区域 D 内处处连续 , 我们说 f(z) 在 D 内连续 . 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 47 / 61 ez?ex?cosy?isiny?e 2)指数函数：，在 z 平面处处可导，处处解析；且注： e 是以2?i为周期的周期函数。 3)对数函数： 主值： z z ?e z 。 Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?) ； 。 48 / 61 lnz?lnz?iargz Lnz 的每一个主值分支 lnz 在除去原点及负实轴的 z 平面内处处解析，且 ?lnz? 1 z； 注：负复数也有对数存在。 4)乘幂与幂函数： ab?ebLna (a?0)； zb?ebLnz (z?0) b 49 / 61 ?b?1 注：在除去原点及负实轴的 z平面内处处解析，且 ?z?bz。 eiz?e?izeiz?e?iz5)三 角函数： sinz?2i,cosz?2,tgz?sinzcosz,ctgz? coszsinz sinz,cosz 在 z 平 面 内 解 析 ，且 ?sinz?cosz,?cosz? ?sinz 注：有界性 sinz?1,cosz?1 不再成立； 50 / 61 ez?e?zez?e?z 6）双曲函数 shz?2,chz? 2； shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz,chz 在 z 平面内解析 ?shz?chz,?chz? ?shz 第三章 解析函数的定义 1.复变量函数的导数 设函数 w?f(z) 定义于区域 D, z0 为 D 中的一 点 ,点 z0?z 不出 D 的范围 , f(z0?z)?f(z0) 如果极限 ?limz?0?z 存在 , 那末就称 f(z) 在 z0 可导 .这个极限值称为 f(z) 在 z0 51 / 61 的导数 , 复变量函数的解析性 如果函数 f(z)在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导 , 那末称 f(z)在 z0 解析 . 如果函数 f(z)在区域 D内每一点解析 , 则称 f(z)在区域 D内解析 . 或称 f(z)是区域 D 内的一 个解析函数 (全纯函数或正则函数 ). 2.函数可导与解析的充要条件 1）函数可导的充要条件： f?z?u?x,y?iv?x,y? 在 z?x?iy可导 ?u?x,y?和 v?x,y?在 ?x,y?可微，且在 ?x,