北交大激光原理-第4章-谐振腔部分.doc

第三章第三章 光学谐振腔理论光学谐振腔理论 一、一、学习要求与重点难点学习要求与重点难点 学习要求学习要求 1 了解光学谐振腔的构成、分类和模式等基本知识，及其研究方法。 2 理解腔的损耗和无源腔的单模线宽。 3 掌握传播矩阵和光学谐振腔的稳定条件。 4 理解自再现模积分本征方程，了解针对平行平面腔模的数值迭代解法，理解针对 球面对称共焦腔模式积分本征方程的近似方法及其解。 5 掌握等价共焦腔方法，掌握谐振腔的模式概念和光束特性。 6 了解非稳腔的模式理论。 重点重点 1 谐振腔的作用，谐振腔的构成和分类，腔和模的联系； 2 传播矩阵分析方法； 3 光学谐振腔的稳定条件； 4 模自再现概念； 5 自再现模积分本征方程的建立，及其近似； 6 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解； 7 谐振腔的横纵模式和光束特性； 8 稳定谐振腔的等价共焦腔。 难点难点 1 传播矩阵的近似； 2 非稳腔； 3 模自再现概念； 4 自再现模积分本征方程的建立 5 球面对称共焦腔积分本征方程的近似方法，及其解； 6 谐振腔的横纵模式和光束特性； 二、知识点总结二、知识点总结 , mnq TEMm nq 驻波条件 自再现模 分立的本征态 有限范围的电磁场 形成驻波纵模光的频率（振荡频率，空间分布） 模式的形成反映腔内光场的分布 谐振腔的作用腔和模的联系衍射筛选横模光场横向能量分布 腔内存在的电磁场激光模式 模式的表示方法：横模指数，纵模指数 衍射理论：不同模式按场分布，损耗，谐振频率来区分， 理论方法 几何光学干涉仪理 1212 12 12 ()1 1 )1 2 ()1 010 1,1 AD AD AD g gorgg LL gg RR 论：忽略镜边缘引起的衍射效应，不同模式按传输方向和谐振频率区分粗略但简单明了 光腔的损耗光子的平均寿命无源腔的Q值无源腔的线宽 1 -1稳定腔 2 （非稳定腔适用任何形式的腔，只要列出往返矩阵就能判断其稳定与否 1 共轴球面腔的稳定条件：稳定判据 临界腔 2 只使用于简单的共轴球面镜腔 （直腔） 1 谐振腔衍射积分方程推导 自再现模的概念求解方法 引进复常数因子 解析解：特殊腔（对称共焦腔）本征函数振幅和相位分布（等相位面） 菲涅尔基尔霍夫积分公式推广到谐振腔自再现模积分方程 数值求解（数值迭代法）本征值模的损耗、相移和谐振频率 22 / 0000 (1)(1)2 ( , ) N 11 4( ,1)( ,1) arg(1) 2 xy L mnmnomon mnmn mn x yc e NRCRC kLmn 基模： 角向长椭球函数； 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时，厄密高斯函数 相位分布：反射镜构成等相位面 方形镜： 对 单程损耗： 称 本征值径向长椭球函数单程相移： 共 焦 谐振频率：谐振条件2- 腔 的 自 再 现 模 2 / 0000 2(1) 4 ( , ) N arg(21) 2 mnq r L mnmn mn c qmn L x yc e kLmn q 2 基模： 超椭球函数； 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时，拉盖尔高斯函数 相位分布：反射镜构成等相位面 圆形镜： 单程损耗：只有精确解能够给出。 本征值单程相移： 谐振频率：谐振条件22(21) 4 mnq c qmn L -q 2 22 2 2 ( )0 000 2 ( , , ( )(1) ( )2 2 ( ) lim xy wz z wLz x y zA Eew z w zf w z z 00 0 基模振幅： E 模体积 腔内行波场 等相位面：腔轴线附近近似为球面 远场发散角： 一般稳定球面腔 共焦腔与稳定球面腔的等价关系 高斯光束 22 / 0000 (1)(1)2 ( , ) N 11 4( ,1)( ,1) arg(1) 2 xy L mnmnomon mnmn mn x yc e NRCRC kLmn 基模： 角向长椭球函数； 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时，厄密高斯函数 相位分布：反射镜构成等相位面 方形镜： 对 单程损耗： 称 本征值径向长椭球函数单程相移： 共 焦 谐振频率：谐振条件2- 腔 的 自 再 现 模 2 / 0000 2(1) 4 ( , ) N arg(21) 2 mnq r L mnmn mn c qmn L x yc e kLmn q 2 基模： 超椭球函数； 本征函数振幅和相位 高阶横模 不是很小时，拉盖尔高斯函数 相位分布：反射镜构成等相位面 圆形镜： 单程损耗：只有精确解能够给出。 本征值单程相移： 谐振频率：谐振条件22(21) 4 mnq c qmn L -q 2 22 2 2 ( )0 000 2 ( , , ( )(1) ( )2 2 ( ) lim xy wz z wLz x y zA Eew z w zf w z z 00 0 基模振幅： E 模体积 腔内行波场 等相位面：腔轴线附近近似为球面 远场发散角： 一般稳定球面腔 共焦腔与稳定球面腔的等价关系 高斯光束 三、典型三、典型问题的分析思路问题的分析思路 1纵模间隔问题 根据纵模频率间隔的公式计算，问题还可以变为腔长如何选择，可获得单纵模 2 q c L = 输出等。 2分析某一谐振腔的稳定性问题 这类问题分三种情况，第一种是只由两个球面镜组成的共轴球面镜腔，可以利用下面的稳 定腔判据公式： 1212 12 12 010 1,1 g gorgg LL gg RR 第二种情况是两个球面镜组成的共轴球面镜腔中插入其它光学元件。这时要首先写出这个 谐振腔的传输矩阵。利用下面的稳定判据公式： ()1 1 )1 2 ()1 AD AD AD 1 -1稳定腔 2 （非稳定腔 1 临界腔 2 分析谐振腔各参数所应满足的条件。 第三种情况是非共轴球面镜腔，如折叠腔和环形腔。求环形腔、折叠腔的往返矩阵时，要 将其化为直腔，如果考虑象散，需要对往返矩阵的修正。对于共轴球面镜腔的近(傍)轴光 线。而对于环形腔和折叠腔（非共轴球面腔） ，由于象散，球面镜在子午面和弧矢 2 R f 面的焦距不共点。其中子午面为环形回路所在平面，弧矢面为包含回路一边长，垂直于子 午面的平面。对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，。对于在与此cos 2 R f 子午 垂直的平面内传输的弧矢光线，为光轴与球面镜法线的夹角。 2cos R f 弧矢 3谐振腔损耗问题 光学谐振腔积分方程的特征值，它的实部决定腔损耗，特征值的虚部决定光波e 的单程相移。将特征值代入中得：。即表示腔内经 1 1 qq UU 1 i qq Ue U e e 单程度越后自再现模的振幅衰减。即的实部决定腔损耗，表示每经一次度越的相 位滞后，所以的虚部决定的单程相移。 单程损耗: 2 221 111 mnmnmn mn 单程相移: 1 argarg mnmn mn 共焦腔模的谐振条件22 mn q 1 (1) 22 1 (21) 22 mnq mnq c qmn L c qmn L 方形镜共焦腔谐振频率 圆形镜共焦腔谐振频率 4共焦腔问题 例如求方形镜或圆形镜共焦腔面上各阶（低阶）横模的节线位置。 对于方形镜共焦腔，镜面上的高阶横模与基模光斑尺寸之比为 00 21,21 msns ss ww mn ww 而圆形镜共焦腔镜面上的高阶横模的光斑半径。只要求得了镜面上 1 2 2 plsos wplw 基模光斑的大小，就可求出高阶横模的光斑半径。 我们知道方形镜和圆形镜镜面上基模光斑的大小都为。 0s L w 方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的基模光束的振幅分布、基模光斑尺寸、等相位面的曲率半 径及光束发散角都完全相同。 基模场振幅分布 zw yx e zw w EAzyxE 2 22 0 00000 , 基模光斑尺寸 2 0 2 0 2 2 11 2 1 2 f z w f zw f zL zw s 镜面上基模的光斑半径，高斯光束的基模的腰斑半径，坐标原点选在腔的中心。腰 0s w 0 w 斑尺寸： 镜面上光斑尺寸： 共 0 0 22 s wLf w 0s L w zwfw 焦腔基模体积： 高阶模体积: 2 02 000 1 22 s L VL w (模阶次愈高模体积愈大)等相位面（共 2 1212 2 1 2 0 L nmwwLV nsmsmn 焦场的等相位面近似为球面）的曲率半径： 2 0 00 00 zff R zzf zfz 等相位面与共焦腔镜面重合。 00 2 2 L zfR zfL 等相位面为平面 0000 0;zR zzR z (共焦腔基模光束)远场发散角： 弧度 2 lim z w z z fz f zL z e 2 1 2 2 lim 2 2 1 2 2 1 2 1 ln2 0.939 2 e L 5一般稳定球面腔问题 可以借助于其等价共焦腔行波场的解析解的特性表达出来，此处可参考教科书。 6非稳定谐振腔问题 关于非稳定谐振腔的问题主要包括求出共轭像点和的位置；计算非稳腔的能量损耗率、 1 P 2 P 几何放大率等。 共轭像点和的位置分别为，由球面镜成像公式 1 P 2 P 12 ,l l 122 211 112 112 LllR LllR 解得： 21212 1 12 11212 2 12 L LRL LRLRLRR l RR L LRL LRLRLRR l RR （）+（）（）（） 2L （）+（）（）（） 2L 几何放大率 镜的单程放大率 1 M 1 1 1 a m a 镜的单程放大率 2 M 2 2 2 a m a 非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率 12 Mm m 对望远镜非稳定腔（实共焦腔和虚共焦腔） 2 1 21 2 1 2 2 2 1 1 1 1 R R mmM R R a a m a a m 平均单程能量损耗 12 12 111 111 m mM 单程 往返能量损耗 12 222 12 111 111 m mM 往返 四、思考题四、思考题 1.光学谐振腔的作用是什么？ 2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？ 3.光学谐振腔有哪些常用研究方法？ 4.什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？ 5.光学谐振腔的横模模斑形状是客观存在，还是有人为因素，为什么？ 6.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？稳定条件的导出根据何在？ 7.所谓“自洽”在光学谐振腔模式讨论中是如何应用的？ 8.谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度。因此， 谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的条件，为什么？ 9.共焦腔是什么腔？稳定性如何？ 10. 共焦腔是不是稳定腔？为什么？ 11. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？ 12. 试分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用。 13. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？ 14. 非稳腔的优点是什么？ 15. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？ 16. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？ 17. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？ 18. Fox-Li 的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？ 19. 分别由方形镜和圆形镜组成稳定谐振腔有没有区别，为什么？ 20. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的实部决定腔损耗？ 21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的虚部决定光波的单程相移？ 22. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗 1-1/2，它与单程衍射损耗因子之间有何 关系？ 23. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？ 24. 为什么说对称共焦腔非常重要？ 25. 试由行波场导出圆形镜共焦腔内的波前表示。 26. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？ 27. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？ 28. 若 A 激光器的激光束经透镜变换匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能匹配 地射入 A 激光器，为什么？ 29. 能否得到稳定谐振腔横模的解析表示，为什么？ 四、练习题四、练习题 1.光学谐振腔的作用。是什么？ 2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？ 3.CO2激光器的腔长 L1.5m，增益介质折射率 n1，腔镜反射系数分别为 r10.985，r20.8，忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗，光子寿命，Q 值和 R 无源腔线宽。 4.证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为。折射率分别为的 2 1 2 12 01 R 21, 两介质分界球面半径为 R。 5.证明：下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为。折射率为 n 的棱 10 2 1 d 镜高 d。 6.导出下图中 1、2、3 光线的传输矩阵。 R 1 2 3 d 7.已知两平板的折射系数及厚度分别为 n1，d1，n2，d2。(1)两平板平行放置，相距 l，(2)两平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵， 是什么? 8.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只 是要求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要 求较低的条件，为什么？ 9.有两个反射镜，镜面曲率半径，R1=50cm，R2=100cm，试问： (1)构成介稳腔的两镜间距多大? (2)构成稳定腔的两镜间距在什么范围? (3)构成非稳腔的两镜间距在什么范围? 10. 共焦腔是不是稳定腔，为什么？ 11. 腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余部分所对应传输矩阵元为ABCD， 腔镜曲率半径为、，证明：稳定性条件为，其中 1 R 2 R 12 01g g ；。 11 /gDB R 22 /gAB R 12. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 13. 激光器谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工 作物质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L 在什么范围内是稳定腔。 14. 如下图所示三镜环形腔，已知 l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半 径 R 在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情况下， 对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，f = Rcos/2，对于在于此垂直的平 面内传输的弧矢光线，f = R/(2cos)，为光轴与球面镜法线的夹角。 l l l 15. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？ 16. 试分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用。 17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？ 18. 非稳腔的优点是什么？ 19. 几何损耗存在于哪一类型的谐振腔中？ 20. 光学谐振腔的衍射损耗与其什么参数相关？ 21. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的模决定腔损耗？ 22. 为什么说光学谐振腔积分方程的特征值的幅角决定光波的单程相移？ 23. 稳定谐振腔有哪些可能的形式？与非稳定谐振腔相比有哪些缺点？ 24. 光学谐振腔有哪些常用研究方法？如何理解自再现模？采用衍射积分方程方法研 究激光器的模式和采用几何光学的办法研究各有什么优缺点？ 25. 什么是光学谐振腔的模式？对纵、横模的要求各是什么？其中含有什么物理思想？ 26. 谐振腔腔长 L1m，介质折射率 n1，两腔镜反射系数分别为 r11，r20.99， 求 1500MHz 线宽内包含的纵模个数。 27.，的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？100Rcm40Lcm 28. 若法卜里珀罗平面干涉仪的腔长为 4.5，它的自由谱宽为多少，能否分辨cm ，=0.01nm 的 HeNe 激光谱线？ 4 6 10 mm 29. Fox-Li 的数值迭代法解平行平面镜谐振腔，有哪些结论，有哪些意义？ 30. 稳定球面谐振腔旁轴光线的单程相对功率损耗 1-1/2，它与单程衍射损耗因子之 间有何关系？ 31. 试由方形镜共焦腔内行波场，导出腔内等相位面表示。 32. 同一个光学谐振腔中的不同横模，有什么异同？ 33. 高阶横模的不同模斑若相遇，能否干涉，为什么？ 34. 分别由方形镜和圆形镜组成的稳定谐振腔有没有区别，为什么？ 35. 能否得到稳定腔横模的解析表示，为什么？ 36. 为什么说对称共焦腔非常重要？ 37. 如果使用一个参数描述稳定谐振腔的衍射损耗大小，你愿意用哪个，为什么？ 38. 腔长 L=1m 的双凹稳定腔，两腔镜的半径分别为 R11.5m，R23m，求其等效共 焦腔的腔长，并画出等效共焦腔的位置。 39. 方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30cm，腔镜反射率分别为 r11，r20.96，方形孔边长d=2a=0.12cm，其它损耗以每程 0.003 计，工作波 长=632.8nm。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形 小孔阑来选择模，小孔的边长应为多大？试根据公式 00 TEM 估算氦氖增益，l 为增益介质放电管长度。 0 g4 e1 3 10 l l d 40. 腔长 L 的对称双凹腔，反射镜曲率半径为 R=2.5L，工作波长为，求镜面上的基 模高斯光束的光斑半径。 41. 今有一平面反射镜和一曲率半径为R=1m的凹面反射镜，问：应如何构成一平- 凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长 L 的关系曲线。 42. 试导出如下腔型所对应的共轭共焦腔结构和输出光参数。 R=1m L=0.3m 43. 试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 30 TEM 44. 求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。 20 TEM 02 TEM 45. 腔长 L=0.8m 的球面腔，腔镜曲率半径分别为 R1=1.5m 和 R2=1m。试证明该腔为 稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。 46. 某二氧化碳激光器采用平、凹腔，L=50cm，R=2m，2a=1cm，。6.10 试计算、各为多少。 s1 s2 0 0 1 00 2 00 47. 试证明，在所有相同而 R 不同的对称球面镜稳定腔中，共焦腔的衍射损La / 2 耗最低。L 表示腔长，为腔镜的曲率半径，a 为镜面半径。 21 RRR 48. 推导出平-凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表示式，做出：（1）当R=100cm 时，、随 L 而变化的曲线；（2）当L=100cm时，、随 R 而变化 s1 s2 s1 s2 的曲线。 49. 平凹腔中凹面镜曲率半径为 R，腔长 L=0.2R，光波长为，求此平凹腔产生的基 模高斯光束的束腰半径。 50. 试证明经过焦距为 F 的薄透镜，高斯光束的 q 参数传播满足 ABCD 定律。 51. 若 A 激光器的激光束经透镜变换匹配地射入 B 激光器，B 激光器的激光束能不能 匹配地射入 A 激光器，为什么？ 52. 已知一高斯光束束腰半径为0，束腰与焦距为 f 的薄透镜相距为 l，经透镜变换后 传输距离 l1，又经一折射率为 n，长 L 的透明介质后输出（如下图所示） ，求： 1)高斯光束在介质出射面处的 q 参数和光斑半径； 2)若将介质移到薄透镜处，即 l10 (不考虑可能存在的间隙)，求输出高斯光束的远场 发散角； 53. 两支 He-Ne 激光器都采用平凹腔，尺寸如图所示，请问在何处插入焦距为多少的 透镜可以实现而者的模式匹配。 54. 采用方形共焦腔 He-Ne 激光器的腔长 L=30cm，反射镜尺寸为 2a=0.2cm，如果一 个模式的光斑大小超过镜面尺寸，则认为该模式不可能存在，求此激光器的最高 横模阶次。 55. 已知高斯光束的束腰半径为0，求： 1）A 点与束腰相距为 z，求光斑半径(z)； 2）如果测量到 A 点光斑光强下降到最大值的处的半径为p，求p和(z)的关系。 2 1 六、部分答案六、部分答案 1.光学谐振腔的作用。是什么？ 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：光学谐振腔 答：答：一是提供正反馈，二是控制振荡模式特性。 2.光学谐振腔的构成要素有哪些，各自有哪些作用？ 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：光学谐振腔，构成要素，作用 答：答：光学谐振腔的构成要素有：是否有边界、是否有反射镜以外的反射面、反射镜外 形、反射镜面形状、镜曲率半径与腔长关系。 是否有边界，决定光学谐振腔是否是封闭腔、波导腔或开式腔；是否有反射镜以外的 反射面，决定光学谐振腔是复合腔还是简单腔；反射镜面形状，决定光学谐振腔是球 面腔、非球面腔，以及是否是双凹腔、平凹腔、平平腔、凹凸腔、双凸腔；镜曲率半 径与腔长关系，决定光学谐振腔是稳定腔、临界腔或非稳腔。 3.CO2 激光器的腔长 L1.5m，增益介质折射率 n1，腔镜反射系数分别为 r10.985，r20.8，忽略其它损耗，求该谐振腔的损耗，光子寿命，Q 值和无 R 源腔线宽。 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：谐振腔单程损耗因子、光子寿命、Q 值和无源腔纵模线宽 ，腔镜 R 反射系数，CO2激光器的波长 关键公式：关键公式： 1 2 11 ln 2rr R L c 2 R Q 1 2 1 ln 4 R c Lrr 解：解： 1 2 11 ln 2rr 11 ln0.119 20.985 0.8 R L c 8 8 1.5 4.2 10 ( ) 0.119 3 10 s 2 R Q 8 86 6 3 10 24.2 107.47 10 10.6 10 1 2 1 ln 4 R c Lrr 8 6 3 101 ln3.8 10 () 41.50.985 0.8 Hz 4.证明：下图所示的球面折射的传播矩阵为。折射率分别为的两介 2 1 2 12 01 R 21, 质分界球面半径为 R。 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：折射，传播矩阵 关键公式：关键公式： 12 21 sin = sin 证：证： 两介质分界球面光线出射处： (1)= iz r r 由折射定律和旁轴光线近似： (2) 211 122 sin sin 以及入射、反射和折射光线间的几何关系： (3) 2 11 2 z z i r R i 1 2 ri rz z 式(1) (3)联立解得： 11 22 1 (1) zi zzi rr r R 上式写成矩阵形式： 211 22 10 iz iz rr R 证毕 5.证明：下图所示的直角全反射棱镜的传播矩阵为。折射率为的棱镜高 d。 2 1 01 d 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：传播矩阵 关键公式：关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵：，平面镜反射传播矩阵： 1 01 L ，平面界面透射传播矩阵： 10 01 1 2 10 0 n n 关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。 解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为解：设图中棱镜材料中光垂直方向传播距离为 2l l l = 10 0 1 01 dl 10 01 12 01 l 10 01 1 01 dl 10 1 0 2 1 01 d 6.导出下图中 1、2、3 光线的传输矩阵。 R 1 2 3 d 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：传播矩阵 关键公式：关键公式：各向同性自由空间传播传输矩阵：，球面界面反射传播矩阵： 1 01 L ，平面镜反射传播矩阵：，球面界面透射传播矩阵： 1 2 01 R 10 01 2 1 2 12 01 n n Rn nn 关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。 解：解：设图中透镜材料的折射率为 n 光线 1： 1 2 01 R 光线 2：= 10 1 n n R 1 01 d 10 01 1 01 d 10 11n nRn 2 2 12 12 (1)1 212 nd d nRn nn dd RnR 光线 3：= 10 0n 1 01 d 10 11n nRn 1 1 1 1 nd d nRn n R 7.已知两平板的折射系数及厚度分别为 n1，d1，n2，d2。(1)两平板平行放置，相距 l，(2)两 平板紧贴在一起，光线相继垂直通过空气中这两块平行平板的传输矩阵，是什么? 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：传播矩阵 关键公式：关键公式：长方体传播传输矩阵：,各向同性自由空间传播传输矩阵： 10 1 n L ，平面界面透射传播矩阵： 1 01 L 1 2 10 0 n n 关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积。 解：解：(1) = 2 2 1 01 d n 1 01 L 1 1 1 01 d n 12 12 1 01 dd L nn (2) = 2 2 1 01 d n 1 1 1 01 d n 12 12 1 01 dd nn 另法解：= 2 10 0n 2 1 01 d 1 2 10 0 n n 1 1 01 d 1 10 1 0 n 12 12 1 01 dd nn 8.光学谐振腔的稳定条件是什么，有没有例外？谐振腔稳定条件的推导过程中，只是要 求光线相对于光轴的偏折角小于 90 度。因此，谐振腔稳定条件是不是一个要求较低的 条件，为什么？ 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：光学谐振腔，光学谐振腔稳定条件 关键公式：关键公式： 1 1 1 1 r DB CAr n n n1 1 nn nn ACr BD 答：答：光学谐振腔稳定条件是。10 21 gg 这是一个要求很高的条件，没有例外。这是因为，在导出这一稳定条件时，尽管只是要求 光线相对于光轴的偏折角小于 90 度，并没有限定光线的往还次数，因此这是一个严苛的条 件。 9.有两个反射镜，镜面曲率半径，R1=50cm，R2=100cm，试问： (1)构成介稳腔的两镜间距多大? (2)构成稳定腔的两镜间距在什么范围? (3)构成非稳腔的两镜间距在什么范围? 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：光学谐振稳定条件： 10 21 gg 1 1 1 R L g 2 2 1 R L g 关键公式：关键公式：稳定腔：，介稳腔：或，非稳腔：10 21 gg 12 0g g 12 1g g 或 12 0g g 12 1g g 解：解： (1)由，有，解得：或(无物理意义，舍弃) 12 0g g (1)(1)0 50100 LL 100L 50L 由，有，解得：或(无物理意义，舍弃) 12 1g g (1)(1)1 50100 LL 50L 0L 构成介稳腔的两镜间距：或50L 100 (2)由，有，解得：或 10 21 gg 0(1)(1)1 50100 LL 50100L500L (无物理意义，舍弃) 构成稳定腔的两镜间距：50100L (3)由，有，解得：或(无物理意义，舍弃) 12 0g g (1)(1)0 50100 LL 100L 50L 由，有，解得： 12 1g g (1)(1)1 50100 LL 050L 构成非稳腔的两镜间距：或100L 050L 10. 共焦腔是不是稳定腔，为什么？ 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：共焦腔、对称共焦腔、稳定腔 关键公式：关键公式：光学谐振稳定条件：，共焦腔：10 21 gg 21 2 1 2 1 RRL 关键点：关键点：腔镜曲率半径的正负 解：解：共焦腔： 21 2 1 2 1 RRL 121221 12 121212 1 (1)(1)(1)(1)(2) 224 RRRRRRLL g g RRRRRR 12 12 21 1212 12 0 11 (2) 04 0 RR RRRR RRRR RR 对称共焦腔 若该共焦腔为双凹腔，令： 21 12 RR ab RR 由： 122 12 0 () 0 RR ab RR 有： 1222 12 2 2 RR ab RR 所以： 12 21 12 1212 0 1 (2) 04 RR RR g g RRRR 若该共焦腔为凹凸腔： 21 12 12 1 (2+) 4 RR g g RR 可令： 21 12 RR ab RR 有： 12 21 12 1212 =1=-()1 (2+) 41- RRRR g g RRRR 非共焦腔舍弃 综上所述，由光学谐振稳定条件：判定，共焦腔不是稳定腔；只有对称10 21 gg 共焦腔是介稳腔，其它结构类型的共焦腔均是非稳腔。 11. 腔内有其它元件的两镜腔中，除两腔镜外的其余部分所对应传输矩阵元为 ABCD，腔 镜曲率半径为、，证明：稳定性条件为，其中； 1 R 2 R 12 01g g 11 /gDB R 。 22 /gAB R 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：光学谐振腔、稳定腔、传播矩阵 关键公式：关键公式：球面界面反射传播矩阵： 1 2 01 R 关键点：关键点：以光线传播顺序对相应光学元件的传播矩阵进行逆序乘积，并考虑光线在谐振 腔中的多次往返。 解：解：光线在谐振腔中的一次往返： 1 10 2 1 R AB CD 2 10 2 1 R AB CD EF GH 其中： 2 2 2 2 2 112 112 2 2 222 ()() 222 ()() AB EABC R B FABBD R ABA GACDC RRR ABBB HBCDD RRR 由： ， 1 1 B gD R 2 2 B gA R 可得： ， 1 1 1Dg RB 2 2 1Ag RB 则： 2 2 2 222 12222 2 11122 2 2 2 (g2g2gg)2g 2g -2 g +4g g2g EAgABC FBgABBD GAAAADCACDC B HDADDBC 光线在腔内往返谐振 n 次，由 Sylvester 定理可得 sinsin(1)sin 1 sinsinsin(1)sin n nn nn EFEFEnnFn GHGHGnHnn 其中，。 1 cos() 2 EH 若希望旁轴光线不横向逸出腔外，应要求这四个矩阵元值不能无限大，即要求： 1cos 也就是要求： 1 ()1 2 EH 对于题目所述球面镜谐振腔： 22 121122 11 2g g - ggg() 22 EHADAgDBCAD 对于光学谐振腔来说，光线传输矩阵元须满足： det1TEHFG 即： 22 1122 1 g -g -g -()1 2 ADAgDBCAD 所以： 1 2 EH 12 21g g 光学谐振腔稳定性条件为：10 21 gg 12. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：平凹、双凹、凹凸共轴球面镜光学谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、 稳定性判据 关键公式：关键公式：10 21 gg 解：解： (1)平凹腔 平面镜曲率半径为无穷大：，假设凹面镜腔对应正曲率半径： 1 1g 2 R 2 2 1 L g R 由稳定性条件：10 21 gg 可得： 2 RL 可见，凹面镜腔正曲率半径超过腔长的平凹腔，为稳定腔。 (2) 双凹腔 假设凹面镜腔正曲率半径和，且： ， 1 R 2 R 21 RR 1 1 1 L g R 2 2 1 L g R 由稳定性条件：10 21 gg 可得： 2 LR 或 1 LR 可见，双凹镜腔的腔长取值，或者超过两凹面腔镜中曲率半径较大的曲率半径，或者小 于两者之中曲率半径较小的曲率半径，即为稳定腔。 (3) 凹凸腔 假设凹面镜腔正曲率半径，凸面镜腔的负曲率半径： ， 1 R 2 R 1 1 1 L g R 2 2 1 L g R 由稳定性条件：10 21 gg 可得： 12 LRR 或 2 LR 进一步分析不等式解中对腔长取值要求可见，若凹面腔镜曲率半径值等于凸面腔镜曲率 半径值的二倍：，腔长取值：时为稳定腔；若凹面腔镜曲率半径值小于 12 2RR 2 LR 凸面腔镜曲率半径值的二倍：，腔长取值：时也为稳定腔； 12 2RR 212 RLRR 若凹面腔镜曲率半径值大于凸面腔镜曲率半径值的二倍：，则两镜无法组成稳定 12 2RR 腔，即凹面腔镜曲率半径值须低于凸面腔镜曲率半径值二倍是凹凸镜组成稳定腔的前提。 13. 激光器谐振腔由一面曲率半径为 1m 的凸面镜和曲率半径为 2m 的凹面镜组成，工作物 质长 0.5m，其折射率为 1.52，求腔长 L 在什么范围内是稳定腔。 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：凹凸面镜谐振腔、镜腔曲率半径正负取值规定、等效腔长、稳定性判据 关键公式：关键公式：10 21 gg l LLl n 解：解：， 1 1R 2 2R 0.5l 1.52n l LLl n ， 1 1 1 L g R 2 2 1 L g R 由稳定性条件：10 21 gg 12 0(1)(1)1 ll LlLl nn RR 0(0.829)(2.17)2LL 可得： 2.17(m)1.17(m)L 或 (腔长小于工作物质长度，不合理，舍弃)00.17(m)L 腔长 L 取值在1.17m, 2.17m范围内是稳定腔。 14. 如下图所示三镜环形腔，已知 l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径 R 在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔，在这种情况下，对于在 由光轴组成的平面内传输的子午光线，f = Rcos/2，对于在于此垂直的平面内传输的 弧矢光线，f = R/(2cos)，为光轴与球面镜法线的夹角。 l l l 15. 什么样的光学谐振腔腔内存在焦点？ 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：稳定腔、介稳腔、非稳腔，谐振腔腔内行波、束腰、焦点 关键公式：关键公式： 2 2121 2 2121 2 12 21122 2121 21 12 1 2 2121 12 12 2 1 )2( )1 ( )()( )()( 2 ) 1( )()( )( 2 ) 1( )()( )( gggg Lgggg RLRL LRRLRLRL F gggg gLg RLRL LRL z gggg gLg RLRL LRL z 解：解：焦点即谐振腔腔内行波束最细之处，即束腰之处。腔内存在行波束，即存在稳定模式， 是光学谐振腔内存在焦点的前提。 光学谐振腔又分为非稳腔、介稳腔和稳定腔，完整的解答本题需要针对非稳腔、介稳 腔和稳定腔三种情形分别予以讨论。但是，本课程对非稳腔和介稳腔腔内行波束性质涉及 的较少，所以针对非稳腔和介稳腔腔内是否存在焦点，也只能根据本课程已介绍的内容来 回答。针对稳定腔则可以通过与等价的对称共焦腔作细致的讨论。 对于非稳腔情形，双凹镜组成的不对称实共焦腔腔内存在焦点。 对于介稳腔情形，双凹镜组成的对称共焦腔腔内存在束腰，存在焦点。 对于稳定腔情形，其有等价的对称共焦腔腔内存在束腰，若该束腰位于稳定腔两腔镜 之间： 2 1 21 1 2 21 2 2112 2 21 () 0 ()() () 0 ()() ()()() 0 ()() L RL z LRLR L RL z LRLR L RL RL RRL F LRLR 则对应稳定腔腔内存在焦点。 由上述方程组解得： 1 2 RL RL 或者 1 2 12 RL RL RRL 分别对应由曲率半径超过腔长的双凹面镜组成的稳定腔，以及由曲率半径不超过 腔长但两镜曲率半径之和超过腔长的两镜组成的稳定腔。 16. 试分析 ABCD 定律在光学谐振腔分析中的作用。 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：传播矩阵、ABCD 定律、谐振腔稳定性 解：解：在光学谐振腔分析中，光学谐振腔中光线 n 次往返反射传播所对应的传播矩阵为： sinsin(1)sin 1 sinsinsin(1)sin n nn nn ABABAnnBn CDCDCnDnn 按照 ABCD 定律，光学谐振腔中光线的最终坐标通过传播矩阵中的矩阵元素 ABCD 与 初始坐标联系起来。在初始坐标为近轴光线的情况下，通过要求传播矩阵中的矩阵元素 ABCD 为有限量，得到了光学谐振腔的稳定性条件。可见，ABCD 定律在在光学谐振腔的 稳定性分析中发挥了重要作用。 17. 一般稳定球面镜谐振腔与其等价共焦谐振腔，有什么相同，有什么不同？ 解题思考：解题思考： 关键概念：关键概念：对称共焦腔、