中考数学思维方法讲义第3讲反比例函数性质与定义.doc

第3讲 反比例函数【精彩知识】1反比例函数的定义 一般地，如果两个变量，之间的关系可以表示为（或）（为常数，且）的形式，那么称是的 函数。自变量与的取值范围是 。是的反比例函数与成反比例函数。2.反比例函数的图象和性质反比例函数（）的图象是由两支曲线组成的，称为 ，它们关于原点成 对称，关于直线成 对称，与两坐标轴 交点。当k0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，随的增大而 ；当k0时， 图象（双曲线）的两个分支分别在第 象限，且在每个象限内，随的增大而 。3.反比例函数（）中的比例系数的几何意义过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线PM、PN所得的矩形PMON的面积；若连接PO，则。【典例解析】考点1: 反比例函数的概念【例1】已知（1）如果是正比例函数，求的值；（2）如果是反比例函数，求的值。【例2】已知，其中与成反比例，与成正比例，且所表示的函数图象相交于点P（1，5）。求当时的值。变式训练1：1.已知函数是反比例函数，则的值为 ；2. 若与成反比例函数，与成正比例函数，则是的（ ） A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D二次函数考点2: 反比例函数的图象和性质【例3】若M、N、P三点都在函数的图象上，则的大小关系为（）A、 B、 C、 D、【例4】如图，一次函数y=x+3的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE有下列四个结论：CEF与DEF的面积相等；AOBFOE；DCECDF； 其中正确的结论是 。变式训练2：1. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=x+6于A、B两点，若反比例函数（x0）的图像与ABC有公共点，则k的取值范围是（ ）A2k9 B. 2k8 C. 2k5 D. 5k82. 如图，P是函数(x0)的图象上的一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P分别作PMx轴于点M，交AB于点E，作PNy轴于点N，交AB于点F，则AFBE的值为 。考点3: 反比例函数（）中的比例系数的几何意义与面积法的综合运用【例5】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数的图象上若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S则当S=m(m为常数，且0m4)时，则点R的坐标是 。(用含m的代数式表示)变式训练3：1.如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQy轴，分别交函数（x0）和（x0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（ ）A.POQ不可能等于900 B. C.这两个函数的图象一定关于x轴对称 D. POQ的面积是G2.如图，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线上，且，；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 考点4:函数综合题（待定系数法+数形结合、函数与方程思想、分类讨论思想）【例6】已知反比例函数与一次函数，其中一次函数的图象经过（a,b）、（a+1,b+k）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知A点是上述两函数图象在第一象限内的交点，求A点的坐标；（3）利用（2）的结果，在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，请把所有符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.变式训练4：如图，一次函数的图象 与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CDx轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，AOB的面积为1，（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据两函数图象直接写出不等式的解集。【例7】如图，已知双曲线，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CAx轴，过D作DBy轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC（1）求k的值；（2）若BCD的面积为12，求直线CD的解析式；（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由变式训练5：如图,直线与函数（x0，m0）的图像交于A，B两点，且与轴分别交于C，D两点（1）若直线y=kx+4与直线y=-x-2平行，且AOD面积为2，求的值；（2）若COD的面积是AOB的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，AE与BF交于H点求的值； 求k与之间的函数关系式（3）若点P坐标为（2，0），在（2）的条件下，是否存在，使得APB为直角三角形，且若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【例8】如图，直线y=x4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2bxc经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD轴于D，交AB于点E当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【课后测试】1在同一坐标系内,表示函数与的图像是下图中的（ ）（A） （B） （C） （D）2如图，直线交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则( ) A8 B6 C4 D 第2题图 第3题图 第4题图3如上图中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点B，若取1，2，3，20，对应的RtAOB的面积分别为，则= ；4两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCx轴于点C，交的图象于点A，PDy轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：ODB与OCA的面积相等； 四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等； 当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点其中一定正确的是 。5.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tanBOA=（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长 6.如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，其中过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，（1）若的面积为4，求点的坐标；（2）求证：；（3）当时，求直线的函数解析式学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 【例4】根据题意可求得D（1，4 ），C（4，1），则F（1，0），DEF的面积是：，CEF的面积是：，CEF的面积=DEF的面积，故正确；即CEF和DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，故EFCD，AOBFOE，故正确；DF=CE，四边形CEFD是等腰梯形，所以DCECDF，正确；BDEF，DFBE，四边形BDFE是平行四边形，BD=EF，同理EF=AC，AC=BD，故正确；正确的有4个【例7】解：（1）双曲线经过点D（6，1），解得k=6。（2）设点C到BD的距离为h，点D的坐标为（6，1），DBy轴，BD=6，SBCD=6h=12，解得h=4。点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，点C的纵坐标为14= 3。，解得x= 2。点C的坐标为（2，3）。设直线CD的解析式为y=kxb，则，解得。直线CD的解析式为。（3）ABCD。理由如下：CAx轴，DBy轴，点C的坐标为（2，3），点D的坐标为（6，1），点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，1）。设直线AB的解析式为y=mx+n，则，解得。直线AB的解析式为。AB、CD的解析式k都等于相等。AB与CD的位置关系是ABCD。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定。【分析】（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解。（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答。（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。7解：（1）直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，A（4，0），B（0，4）。抛物线y=x2bxc经过A、B两点， ，解得 。抛物线解析式为y=x23x4。令y=0，得x23x4=0，解得x1=4，x2=1，C（1，0）。（2）如图1，设D（t，0）。OA=OB，BAO=45。E（t，t4），P（t，t23t4）。PE=yPyE=t23t4t4=t24t=（t+2）2+4。当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（2，6）。（3）存在。如图2，过N点作NHx轴于点H。设OH=m（m0），OA=OB，BAO=45。NH=AH=4m，yQ=4m。又M为OA中点，MH=2m。当MON为等腰三角形时：若MN=ON，则H为底边OM的中点，m=1，yQ=4m=3。由xQ23xQ4=3，解得。点Q坐标为（，3）或（，3）。若MN=OM=2，则在RtMNH中，根据勾股定理得：MN2=NH2MH2，即22=（4m）2（2m）2，化简得m26m8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）。yQ=2，由xQ23xQ4=2，解得。点Q坐标为（，2）或（，2）。若ON=OM=2，则在RtNOH中，根据勾股定理得：ON2=NH2OH2，即22=（4m）2m2，化简得m24m6=0，=80，此时不存在这样的直线l，使得MON为等腰三角形。综上所述，存在这样的直线l，使得MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）。【考点】二次函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议： 家长签字： 学生对本次课的评价：特别