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全国高中数学联合竞赛试题一、选择题1. 已知ABC,若对任意,则ABC一定为A锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定2. 设,则的取值范围为A B C D 3. 已知集合,,,且,则整数对的个数为A. 20 B. 25 C. 30 D. 424. 在直三棱柱中,. 已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点(不包括端点). 若,则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 5. 设,则对任意实数,是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, B, C, D,二、填空题7. 设,则的值域是 8若对一切R,向量的模不超过2,则实数的取值范围为9. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 cm3.10方程的正实数解的个数为 .11等比数列,的公比是_。三. 解答题12. 在ABC中,M为BC边的中点,B=2C,C的平分线交AM于D。证明:MDC45。13设A,B,C是ABC的三个内角。若向量,且mn=.(1)求证:tanAtanB=;(2)求的最大值。14如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ答案:1. 已知ABC,若对任意,则ABC一定为A锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 ( C )【解】令,过A作于D。由,推出,令,代入上式,得 ,即 , 也即 。从而有。由此可得 。 2. 设,则的取值范围为A B C D 【答】( B )【解】因为,解得 . 由 解得 ;或 解得 ,所以的取值范围为 . 3. 已知集合,,,且,则整数对的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 ( C )【解】;。要使,则,即。所以数对共有。 4. 在直三棱柱中,. 已知与分别为和的中点,与分别为线段和上的动点(不包括端点). 若,则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 【答】 ( A )【解】建立直角坐标系,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,则(),()。所以,。因为,所以,由此推出 。又,从而有 。5. 设,则对任意实数,是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 ( A )【解】显然为奇函数,且单调递增。于是若,则,有,即,从而有.反之,若,则,推出 ,即 。 6棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, B, C, D,【解】可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,外接球的体积,选D.二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)7. 设,则的值域是 。【解】。令,则。因此。 即得。8. 若对一切R,向量的模不超过2,则实数的取值范围为.【解】依题意,得 ()(对任意实数成立) . 故 的取值范围为 。9. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水cm3.【解】设四个实心铁球的球心为,其中为下层两球的球心,分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水。10. 方程的实数解的个数为 1 .【解】要使等号成立,必须,即。但是时,不满足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。11等比数列,的公比是_。设公比为q,由已知条件知,由比例性质,12在ABC中,M为BC边的中点,B=2C,C的平分线交AM于D。证明:MDC45。证明:设B的平分线交AC于E,易证EMBC作EFAB于F,则有EF=EM,AEEF=EM,从而EMAEAM,即90-AMBEAM。又2MDC=2(MAC+ACD)=2MAC+ACM=MAC+AMB,90AMD+MAC=2MDC,MDC45。13设A,B,C是ABC的三个内角。若向量,且mn=.(1)求证:tanAtanB=;(2)求的最大值。(1)由mn=,得,即亦即4cos(A-B)=5cos(A+B).所以tanAtanB=(2)因,而所以tan(A+B)有最小值。当且仅当tanA=tanB=时,取得最小值。又tanC=-tan(A+B),则tanC有最大值故的最大值为14如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得 若方程有解,必为正数解,且小于.由,得.(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;

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