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全国高中数学联合竞赛试题一、选择题1. 已知ABC，若对任意，则ABC一定为A锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定2. 设，则的取值范围为A B C D 3. 已知集合，,，且，则整数对的个数为A. 20 B. 25 C. 30 D. 424. 在直三棱柱中，. 已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 5. 设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, B, C, D,二、填空题7. 设，则的值域是 8若对一切R，向量的模不超过2，则实数的取值范围为9. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3.10方程的正实数解的个数为 .11等比数列，的公比是_。三. 解答题12. 在ABC中，M为BC边的中点，B=2C，C的平分线交AM于D。证明：MDC45。13设A，B，C是ABC的三个内角。若向量，且mn=.(1)求证：tanAtanB=；(2)求的最大值。14如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ答案：1. 已知ABC，若对任意，则ABC一定为A锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ C ）【解】令，过A作于D。由，推出,令，代入上式，得 ，即 , 也即 。从而有。由此可得 。 2. 设，则的取值范围为A B C D 【答】（ B ）【解】因为，解得 . 由 解得 ；或 解得 ，所以的取值范围为 . 3. 已知集合，,，且，则整数对的个数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ C ）【解】；。要使，则，即。所以数对共有。 4. 在直三棱柱中，. 已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，从而有 。5. 设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ A ）【解】显然为奇函数，且单调递增。于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。 6棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A, B, C, D,【解】可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有,得,外接球的体积,选D.二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 设，则的值域是 。【解】。令，则。因此。 即得。8. 若对一切R，向量的模不超过2，则实数的取值范围为.【解】依题意，得 （）（对任意实数成立） . 故 的取值范围为 。9. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.【解】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水。10. 方程的实数解的个数为 1 .【解】要使等号成立，必须，即。但是时，不满足原方程。所以是原方程的全部解。因此原方程的实数解个数为 1 。11等比数列，的公比是_。设公比为q，由已知条件知，由比例性质，12在ABC中，M为BC边的中点，B=2C，C的平分线交AM于D。证明：MDC45。证明：设B的平分线交AC于E，易证EMBC作EFAB于F，则有EF=EM，AEEF=EM，从而EMAEAM,即90-AMBEAM。又2MDC=2（MAC+ACD）=2MAC+ACM=MAC+AMB，90AMD+MAC=2MDC，MDC45。13设A，B，C是ABC的三个内角。若向量，且mn=.(1)求证：tanAtanB=；(2)求的最大值。（1）由mn=,得，即亦即4cos(A-B)=5cos(A+B).所以tanAtanB=（2）因，而所以tan(A+B)有最小值。当且仅当tanA=tanB=时，取得最小值。又tanC=-tan(A+B)，则tanC有最大值故的最大值为14如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角Q的正切.ABCDPQ解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设,则Q,P(0,0,1),D得,由,有,得 若方程有解,必为正数解,且小于.由,得.(i)当时,BC上存在点Q,使PQQD;